模型论

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数学上，模型论是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。

模型论是一门“尽量抽象”的学科，不关心某个具体论域或某个具体模型，而是广泛地研究一切模型的建构本身，探索“对象构造”与“形式语言”之间的内在联系，通常被作为逻辑的语义研究的基石之一，也是数学基础研究的基石之一。同时它的许多结论也有很重要的分析哲学和本体论意义。

选择公理和连续统假设各自相对于其它集合论公理的独立性（被Paul Cohen和哥德尔证明）是模型论中产生的两个最著名的结果。选择公理和其否命题都被证明和集合论的策墨罗-弗兰克公理系统相容；同样的结果对于连续统假设也成立。这些正是模型论方法应用于公理化集合论的成果。

比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和(或)函数，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题，显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数y, 即所谓2的平方根；对于有理数，该陈述却并不成立。一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立，却在复数中成立，因为 i × i = 0 − 1。

模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的，以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。

[编辑] 定义

结构被形式的定义于某个语言 L 的上下文中，它由常量符号的集合，关系符号的集合，和函数符号的集合组成。在语言 L 上的结构，或L-结构，由如下东西组成:

一个全集或底层集合 A，它包含所有感兴趣的对象("论域")，
给 L 的每个常量符号一个在 A 中元素，
给 L 的每个 n 价函数符号一个从 Aⁿ 到 A 的函数，和
给 L 的每个 n 价关系符号一个在 A 上的 n-元关系(换句话说，Aⁿ的一个子集)。

函数或关系的价有时也叫做元数(术语"一元"、"二元" 和"n-元"中的那个元)。

在语言 L 中的理论，或L-理论，被定义为 L 中的句子的集合，并被叫做闭合理论，如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下。例如，在某个特定 L-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合 L-理论。

L-理论 T 的模型由在其中 T 的所有句子都为真的一个 L-结构组出，它通常用T-模式的方式定义。

理论被称为可满足的，如果它有模型。

例如，偏序的语言有一个二元关系 ≥。因而偏序的语言的结构就是带有 ≥ 所指示的二元关系的一个集合，它是偏序的理论的模型，如果此外它还满足偏序的公理。

[编辑] 定理

哥德尔完备性定理表明理论有一个模型当且仅当它是自洽的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完备定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的自洽理论可以通过扩展一个自洽的理论得到。

紧致性定理说一组语句S是可满足的（即有一个模型）当且仅当S的每一个有限子集可满足。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。目前已知的有两个证明方法，一个是库尔特·哥德尔提出的（通过证明论），另一个是阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫提出的（这个更直接,并允许我们限制最后模型的基数）。

模型论一般与一阶逻辑有关。许多模型论的重要结果(例如哥德尔完备性定理和紧致性定理)在二阶逻辑或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个可数的语言，任何理论都有可数的模型。这在勒文海姆-斯科伦定理中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。

特别地ZFC如果有集合论模型，则必然有可数的模型,这个被称为Skolem佯谬，虽然它是真的(如果你接受集合论公理的话)！如果要知道为什么它被认为是佯谬，让我们考虑集合论中假设不可数集存在的句子-而这些句子在我们可数的模型中为真。特别的有，连续统假设要求考虑模型中的集合，它们从模型的内部看起来不可数，但对模型外的人来讲是可数的。