测度

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测度论，

在数学中，测度(Measure)是一个给给定集合的子集指定一个数（例如，大小，体积，或者概率等）的函数。在数学分析和概率论方面，这个概念是非常重要的。

测度论是研究 $σ$ -代数、测度、可测函数和积分的实分析的一个分支。这些在概率论和统计学中都是重点。

另请参照勒贝格积分，勒贝格测度。

[编辑] 形式定义

形式上说，可数可加的测度 $μ$ 是一个定义在 $X$ 的子集的 $σ$ 代数 $\mathcal{A}$ 上的函数，其值域为扩展的区间 $[0,\infty]$ ，并且满足以下性质：

空集的测度为零：

$\mu(\emptyset) = 0$ 。

可数可加性或者 $σ$ 可加性：

如果 $E_1,E_2,\cdots$ 为 $\mathcal{A}$ 中两两不相交的集合的列，则有

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$ 。

$\mathcal{A}$ 的元素被称为是可测集，而且三元组 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 被称为是测度空间。

[编辑] 性质

以下的性质可由上面的定义推出：

单调性: 如果 $E 1$ 和 $E 2$ 为可测集

$E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu(E_1) \leq \mu(E_2)$

若 $E_1,E_2,\cdots$ 为可测集，并且对于所有的 $n$ ， $E n$ 是 $E n + 1$ 的子集，则集合 $E n$ 的并集是可测的。

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$

若 $E_1,E_2,\cdots$ 为可测集，并且对于所有的 $n$ ， $E n + 1$ 是 $E n$ 的子集，则 $E n$ 的交集是可测的，进一步说，只要至少一个 $E n$ 具有有限测度，则

$\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)$

需要注意的是如若没有只要至少一个 $E n$ 具有有限测度的假设，则上述的性质不能成立。例如，对于每一个 $n\in N$ ，设

$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R},$

这里所有的集合都具有无限测度，但其交集是空的。

[编辑] $σ$ -有限测度

测度空间 $Ω$ 被称为是有限的，如果 $μ(Ω)$ 是一个有限的实数（而不是 $\infty$ ）。当 $Ω$ 为可数个具有有限测度的可测集合的并集，它被称为是 $σ$ -有限，。当测度空间中的集合为可数个具有有限测度的集合的并集时它被称为具有 $σ$ -有限测度。

例如，按勒贝格测度 $λ$ 定义的全体实数空间R¹是 $σ$ -有限但不是有限的。考虑闭区间族[k, k+1]，k为整数。每一闭区间的勒贝格测度为1，R¹为可数个这样的闭区间的并集，所以测度空间 $(Ω,λ)$ 是 $σ$ -有限的。又例如，如果我们把上一例中的勒贝格测度换为记数测度，则新的测度空间不再是 $σ$ -有限的。这是因为任一具有有限测度的集合最多含有有限个点而R¹中含有不可数个点，所以包含整个R¹需要不可数个具有有限测度的集合的并集。

$σ$ -有限的测度空间有些很好的性质。从这点上说， $σ$ -有限可以类比于拓扑空间的可分性。

[编辑] 相关条目

外测度
豪斯多夫测度

[编辑] 参考文献

P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953

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