Ortogonalita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Původem řecké slovo ortogonální znamená pravoúhlý (z řec. ορθος pravý a γονια úhel).

Obsah

1 Elementární geometrie
2 Zobecněné významy
- 2.1 Ortogonální funkce
  - 2.1.1 Systém ortogonálních funkcí v L2
3 Podívejte se také na

[editovat] Elementární geometrie

Původně byl termín užíván pouze v kontextu elementární geometrie pro označení přímek protínajících se v pravém úhlu (jinak řečeno pokud všechny čtyři úhly, které protínající se přímky vymezují, jsou stejné. Pravému úhlu odpovídá velikost 90° nebo π/2 radiánu. Viz též pravoúhlý trojúhelník. V geometrii je ortogonalita označována jako kolmost.

[editovat] Zobecněné významy

S rozvojem linearní algebry došlo k zobecnění pojmu ortogonality na obecné vektorové prostory se skalárním součinem (tzv. unitární prostory). Vektory jsou nazývány ortogonálními, je-li jejich skalární součin nulový. Význačnou úlohu hrají ortogonální báze, zvláště u nekonečnědimenzionálních prostorů, kde je pojem úplnosti báze netriviální a ortogonalita usnadňuje jeho definici. Důležitým příkladem jsou systémy ortogonálních funkcí umožňující vyjádřit libovolnou funkci z daného prostoru funkcí jako součet nekonečné řady vektorů báze.

Pokud mají navíc vektory jednotkovou normu (velikost), pak jde o ortonormalitu (ortonomální vektor, ortonomální báze).

V kvantové teorii, kde jsou stavům systému přiřazeny vektory z Hilbertova prostoru, odpovídají ortogonální vektory takovým stavům, kde pravděpodobnost nalezení jednoho ve druhém je nulová. Obvykle pak stavy odpovídající klasickým stavům (tj. stavy jednoznačně určené hodnotami měřitelných veličin) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru.

[editovat] Ortogonální funkce

Systém funkcí $f n$ je v intervalu $\langle a,b\rangle$ ortogonální s váhou $w (x)$ , kde $w(x)\geq 0$ , pokud pro každou dvojici $f i (x), f k (x)$ platí

$\int_a^b w(x)f_i(x)f_k(x) \mathrm{d}x = 0 \; \mbox{ pro } i \neq k$ .

Funkci f nazýváme normovanou s váhou $w (x)$ , jestliže platí

$\int_a^b w(x)f^2(x)\mathrm{d}x = 1$

Systém funkcí $f n$ ortogonální s váhou $w (x)$ , kde každá funkce $f n$ je normovaná s váhou $w (x)$ , nazýváme ortonormální (ortonormovaný) s váhou $w (x)$ .

[editovat] Systém ortogonálních funkcí v $L 2$

Systémy ortogonálních funkcí v prostoru $L 2$ našel praktické uplatnění především v kvantové mechanice.

Funkce $f,g \in L_2(a,b)$ označujeme jako ortogonální v prostoru $L 2 (a, b)$ (na intervalu $\langle a,b\rangle$ ), pokud platí

(f, g) = 0

přičemž skalární součin v předchozím vztahu vyjadřujeme jako

$\int_a^b f(x)\overline{g(x)} \mathrm{d}x=0$

Funkci f nazýváme normovanou v prostoru $L 2 (a, b)$ , je-li její norma rovna jedné, tzn.

$\|f\|=1$

Máme-li konečný nebo spočetný systém funkcí $f_n \in L_2(a,b)$ , pak říkáme, že tento systém je ortogonální v $L 2 (a, b)$ , pokud pro každou dvojici funkcí $f i, f k$ platí

$(f_i,f_k)=0 \; \mbox{ pro } i \neq k$ .

Je-li navíc každá funkce $f n$ normovaná, pak říkáme, že systém funkcí je ortonormovaný (ortonormální). V takovém případě platí

(f i, f k) = δ i k

kde $δ i k$ je Kroneckerův symbol.

Máme-li ortogonální systém funkcí a pro všechny funkce $f n$ platí, $\|f_n\|\neq 0$ , pak lze vytvořit ortonormální systém zavedením $g_n(x) = \frac{f_n(x)}{\|f_n\|}$ .