Integrale

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In analisi matematica l'integrale di una funzione è un operatore matematico che associa alla funzione l'area sottesa dalla funzione rispetto all'ascissa nel caso di una funzione a una variabile. Nel caso di funzioni a più variabili l'integrale calcola l'area, il volume sotteso, ecc a seconda del numero di variabili della funzione da integrare.

Indice

1 Cenni storici
2 Introduzione euristica
3 Integrale di Riemann
- 3.1 Definizione
4 Condizione d'integrabilità
5 Proprietà degli integrali
6 Esempio di calcolo di un integrale
7 Calcolo differenziale e calcolo integrale
8 Metodi di integrazione
9 Esempio di calcolo di un integrale (2)
10 Funzione Integrale
- 10.1 Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale
- 10.2 Formula fondamentale del calcolo integrale del secondo teorema
11 Integrali impropri
12 Integrale di Steiltjes
13 Integrale di Lebesgue
14 Stima di somme tramite integrale
- 14.1 Dimostrazione
15 Voci correlate
16 Tavole di integrali
17 Altre tipologie di integrali
18 Bibliografia

[modifica] Cenni storici

L'idea di base del concetto di integrale si trova già in Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 ed il 212 a.C, e precisamente nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o del segmento di parabola detto metodo di esaustione.

Nel XVII secolo, vari matematici trovarono altri metodi ingegnosi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, ad esempio:

$x^\alpha (\alpha > - 1)\;$ (Fermat 1636), $1\over x$ (Nicolaus Mercator, 1668).

Tutto ciò prima che Newton, Leibniz, Giovanni Bernoulli scoprissero indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale che ricondusse tale problema alla ricerca di una primitiva o antiderivata di una funzione.

La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da Pietro Mengoli ed espressa con maggiore rigore da Cauchy, venne posta su base diversa da Riemann in modo da evitare il concetto di limite e da comprendere più estese classi di funzioni. Ma nel 1875 Gaston Darboux mostrò con un suo celebre teorema che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purché si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann. Tale maggior generalità servì di spunto a Mauro Picone nel 1923 per la definizione del limite d'una variabile detta ordinata.

[modifica] Introduzione euristica

Il problema originario del calcolo integrale è quello di calcolare le aree sottese a porzioni di curve definite in un compatto. L'idea di base consiste nel suddividere in intervalli infinitesimi l'asse delle ascisse, prendere un punto campione in ciascun intervallo e moltiplicarlo per l'immagine di tale punto in modo che tale prodotto restituisca l'area di un rettangolino; a questo punto, per avere un'approssimazione - anche se grossolana - dell'area sottesa ad una porzione di curva basta sommare le aree dei rettangolini costruiti.

In termini più formali suddividiamo il compatto $\ [a,b]$ in n intervalli di tipo $\ (x_{s-1},x_{s})$ con $\ s=1,2,...,n$ e $\ x_{0}=a; x_{n}=b$ . Prendiamo ora in ciascun intervallo un punto $\ t_s$ tale che l'immagine di tale punto sull'asse delle ordinate è $\ f(t_{s})$ ; l'area data dalla somma dei rettangolini sottesi alla curva $\ f(x)$ definita nel compatto $\ [a,b]$ è data dalla somma (detta di Cauchy-Riemann)

$\sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1}) := \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_s$

al diminuire dell'ampiezza degli intervalli $\ \delta x_s$ l'approssimazione tende verso il valore vero dell'area sottesa alla curva $\ f(x)$ definita nel compatto $\ [a,b]$ .

L'intera analisi poggia sul fatto che sia il modo di suddividere gli intervalli, sia la scelta dei punti interni a tali intervalli devono risultare irrilevanti, altrimenti si avrebbe che l'area sottesa alla curva in un dato intervallo risulta diversa a seconda delle scelte effettuate in merito alla suddivisione degli intervalli e ai punti interni agli intervalli che sono stati scelti. Tale condizione sussiste in quanto la curva è uniformemente continua all'interno del singolo intervallino in cui è stato suddiviso il compatto.

Infatti, se vale la continuità uniforme, presi due punti $\ t_s$ e $\ t'_s$ interni all'intervallo $\ (x_{s-1},x_{s})$ , ove $\ x_{s}-x_{s-1}=\delta x$ e pertanto il numero di tali intervallini (dato che suddividiamo [a,b] in intervalli di ampiezza $\ \delta x$ ) sarà pari ad
$n = {{(b - a)} \over {\delta x}}$
le altezza dei relativi rettangoli $\ f(t_{s})$ ed $\ f(t'_{s})$ differiranno della quantità $\ \delta f(t_{s})$ . Da ciò discende che, se poniamo $\ \delta f(t)$ come la più grande delle quantità $\ |\delta f(t_{s})|$ la differenza di valutazione dell'area del generico rettangolino conseguente alla scelta del punto $\ t_s$ o del punto $\ t'_s$ è al massimo di $\ \delta f(t) \delta x$ .
La differenza di valutazione della somma di s rettangolini (in cui ricordiamo che $n = {{(b - a)} \over {\delta x}}$ ) è al massimo pari a :

$\ {{(b - a)} \over {\delta x}} \delta f(t) \delta x= (b-a) \delta f(t)$

Come è facile notare tale discrepanza di valutazione diminuisce al tendere a zero dell'ampiezza del generico intervalli in cui è suddiviso $\ [a,b]$ essendo per ipotesi la funzione uniformemente continua.

[modifica] Integrale di Riemann

Per approfondire, vedi la voce integrale di Riemann.

Rappresentazione grafica dell'integrale di Riemann

Se si suddivide tramite una partizione un compatto $\ [a,b]$ in n sottointervalli $\ [x_{s},x_{s-1}]$ d'uguale ampiezza $\delta x = {{(b - a)} \over {n}}$ , e si sceglie in ogni intervallo un punto arbitrario $\ t_s$ è possibile confezionare la somma $\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$ detta somma integrale di Riemann.

Esiste un altro metodo di procedura per la costruzione dell'integrale. Una volta effettuata la partizione il punto $\ t_s$ non è arbitrario. Vengono definiti due punti:

$m_k = inf f(x): x \in [x_{k-1},x_k] \equiv inf_{[x_{k-1},x_k]} f(x)$

$M_k = sup f(x): x \in [x_{k-1},x_k] \equiv sup_{[x_{k-1},x_k]} f(x)$

Questi due punti corrispondono all'ordinata minore nell'intervallo (m_k) e all'ordinata maggiore dell'intervallo (M_K).

Si definisce somma integrale inferiore (relativa alla partizione P):

$s(P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})$

Ammettendo che f assuma valori positivi nell'intervallo, la s(P) è la somma dei rettangoli inscritti alla regione del piano.

Si definisce somma integrale superiore (relativa alla partizione P):

$S(P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})$

Analogamente su quanto detto prima, S(P) è la somma delle aree dei rettangoli circoscritti alla regione R.

Lemma: Sia $m_k \leq f(x) \leq M_k \ \forall x \in [a,b]$ allora per ogni coppia di partizioni P,Q di [a,b] si ha:

$m(b-a) \leq s(P) \leq S(Q) \leq M (b-a)$ .

Siano

$\delta = s(p) \ \forall P$ partizione di [a,b]

$\Sigma = S(p) \ \forall P$ partizione di [a,b]

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi $\delta, \ \Sigma$ sono separati cioè:

$\forall s \in \delta, \ \forall S \in \Sigma$ si ha che $s \leq S$ .

L'assioma di completezza di R afferma allora che esiste almeno un numero reale $\xi \in \R$ tale che:

$s \leq \xi \leq S \ \forall s \in \delta \ \forall S \in \Sigma$

Se vi è un unico elemento di separazione $ξ$ tra $\delta, \ \Sigma$ allora si dice che f(x) è integrabile in [a,b] secondo Riemann e l'elemento $ξ$ si indica con:

$\int_{a}^{b} f(x) dx$

e si chiama integrale definito di f in [a,b]. I numeri a,b sono detti estremi di integrazione ed f è detta funzione integranda (a primo estremo, b secondo estremo). La variabile di integrazione è una variabile muta cioè $\int f(x)dx$ ha lo stesso significato $\int f(t)dt$ , $\int f(j)dj$ . Il dx è detto differenziale della variabile di integrazione.

[modifica] Definizione

Definizione (Integrale secondo Riemann) - L'integrale di f nell'intervallo chiuso è limitato $\ [a,b]$ è il limite per n che tende ad infinito della somma integrale $\ \sigma_{n}={{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$ , se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti $\ t_s$ :

$\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$

L'esistenza di un unico elemento separatore tra $\delta \ \Sigma$ nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:

$s (f) = S (f)$

in questo caso:

$s(f) = S(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx$

La funzione limitata f(x) è integrabile in [a,b] se e solo se

$\forall \epsilon \,>\, 0 \exists P \in [a,b] \to S(P) - s(p) < \epsilon$

Se la funzione integrabile f(x) è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:

$r = {(x,y),0 \leq y \leq f(x), x \in [a,b]}$ .

Se la funzione f cambia segno su [a,b] allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

[modifica] Condizione d'integrabilità

La seguente è condizione sufficiente ai fini dell'integrabilità di una funzione

Se la funzione $\ f:[a,b] \to \R$ è continua (e quindi continua uniformemente), allora è integrabile.

Per provare ciò si suddivide l'intervallo $\ [a,b]$ in n sottointervalli $\ [x_{i-1},x_{i}]$ di uguale ampiezza $\delta x = {{(b - a)} \over {n}}$ , si sceglie in ogni intervallo un punto $\ t_{i}$ interno a $\ [x_{i-1},x_{i}]$ e si confeziona la somma integrale

$\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$

Ponendo $\ M_i$ ed $\ m_i$ il massimo ed il minimo di $\ f$ in ogni intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$ si costruiscono quindi le somme

$\ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$ $\ s_{n}= \sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

Ovviamente si ha che all'aumentare di n $\ S_{n}$ diminuisce, mentre $\ s_{n}$ cresce. Essendo allora le due successioni monotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Essendo ora $\ m_{i} \le f(t_{i}) \le M_{i}$ , si avrà che $\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}$

Per il teorema di [[Limite (matematica)#Limite di funzioni da $\reals \,\!$ a $\reals \,\!$ |esistenza del limite di successioni monotone]] risulta $\ s_{n} \to s$ ed $\ S_{n} \to S$ , con $\ s \le S$ . All'affinarsi della partizione di $\ [a,b]$ risulta $\ s = S$ . Infatti è possibile fissare un $\ \epsilon$ piccolo a piacere ed un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare

$\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< \epsilon$

Infatti, per la continuità uniforme di f, la differenza $\ M_{i}-m_{i}$ minore di $\ {{ \epsilon} \over {(b-a)}}$ , se la distanza dei rispettivi punti di massimo e di minimo è minore di un $\ \lambda$ opportunamente scelto, il quale può essere determinato in dipendenza da $\ \epsilon$ . Ovvero per un numero di n suddivisioni abbastanza elevato si ha

$\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< {{ \epsilon} \over {(b-a)}} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1}) = \epsilon$

Essendo la precedente espressione valida anche definitivamente, per il teorema del confronto delle successioni si avrà:

$\ \lim_{n \to + \infty} (S_{n}-s_{n}) \le \epsilon$

ovvero

$\ S-s \le \epsilon$

da cui, data l'arbitrarietà del fattore $\ \epsilon$ risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero, da cui:

$\ S=s=I$

Finalmente essendo $\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}$ , per il teorema del confronto risulta $\ \sigma_{n} \to I$ da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto $\ [a,b]$ , l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli $\ [x_{i-1},x_{i}]$ , ovvero la funzione è integrabile.

Non tutte le funzioni limitate sono integrabili.

La continuità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità.

[modifica] Proprietà degli integrali

[modifica] Linearità

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e siano $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ . Allora: $\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$

Prova: Dalla definizione si ha che

$\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} [\alpha f(t_{s}) + \beta g(t_{s})]$

da cui

$\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} [\alpha \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})]$

dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha

$\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})$

da cui discende la proprietà di linearità

[modifica] Additività

Sia f continua e definita in un intervallo [a, b] e sia $c \in [a, b]$ . Allora: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$

Prova: Dalla definizione si ha che

$\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_(s))$

da cui se si ha $\ c \in [a,b]$ esistono un valore $\ h$ ed un valore $\ k$ la cui somma è $\ n$ tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti

$\ {{b-c} \over {h}} = {{c-a} \over {k}} = \delta x$

$\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} ([ \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s})] + [ \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s})] )$

da cui distribuendo la misura dell'intervallo

$\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) + \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s})$

In cui $\ n-k=h$ e, considerando l'intervallo $\ [c,b]$ , l'indice $\ s=h+1,...,n$ può essere riscritto come $\ s=1,...,k$ in quanto $\ t_{h+1}$ è il valore superiore del primo intervallo della partizione di $\ [c,b]$ . Risulta allora ( ricordando che $\ {{b-c} \over {h}} = {{c-a} \over {k}} = \delta x$ )

$\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{h \to + \infty} {{c-a} \over {h}} \sum_{s=1}^{h} f(t_{s}) + \lim_{k \to + \infty} {{b-c} \over {k}} \sum_{s=1}^{k} f(t(s))$

da cui discende la proprietà di additività

[modifica] Monotonia (o teorema del confronto)

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e tali che $f(x) \le g(x)$ in [a, b]. Allora $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$

Prova: Infatti se si ha che $f(x) \le g(x)$ nel compatto $\ [a,b]$ , effettuando una partizione di tale compatto ovviamente la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore $\ {{b-a} \over {n}}$ si ottiene

$\ {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le {{b-a} \over {n}} g(t_{s})$

per ogni $\ t_{s}$ .

A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente

$\ \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})$

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

$\ \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})$

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali

[modifica] Valore assoluto

(lo si potrebbe considerare come un "corollario" del teorema del Confronto)
Sia f e g integrabile in un intervallo [a, b], allora si ha:

$\left | \int_a^b f(x) dx \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | dx$

Prova: Essendo valida la relazione $- | f(t_{s}) | \le f(t_{s}) \le | f(t_{s}) |$ per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

$- \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |$ .

Moltiplicando ogni membro per il fattore $\ {{b-a} \over {n}}$ ed applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali

$- \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |$ .

$- \int_a^b |f(x)| dx \le \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b |f(x)| dx$

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

$\left | \int_a^b f(x) dx \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | dx$

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.

[modifica] Teorema della media

Teorema: Teorema della media integrale

Se $f:[a,b]\to \mathbb R\!$ è continua allora esiste $c \in [a,b]\!$ tale che ${{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(c)\!$ .

Per approfondire, vedi la voce Teorema della media integrale.

Per approfondire, vedi la voce Teorema della media pesata.

[modifica] Esempio di calcolo di un integrale

Supponiamo di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali ed orientate delle ascisse e delle ordinate. Supponiamo ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è $\ f(x)=mx$ . Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto $\ [a,b]$ situato sull'asse delle ascisse.

Supponiamo per semplicità che i punti a e b si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi.

Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto $\ [a,b]$ è pari all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza pari a $\ b-a$ , base maggiore $\ mb$ e base minore $\ ma$ . L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula $\ {{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a)$ , ovvero

$\ m{{b^2-a^2} \over {2}}$

Nell'ottica di effettuare il calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto $\ [a,b]$ effettuiamo una partizione di tale intervallo, dividendolo in n parti uguali

$\ x_{0}=a; \, \, \, x_{1}=a+{{b-a} \over {n}}; \, \, \, x_{2}= a+2{{b-a} \over {n}};...; \, \, \, x_{n}= a+n{{b-a} \over {n}}=b$

Nel generico intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$ scegliamo come punto arbitrario il punto più esterno $\ x_{i}$ (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione $\ y=mx$ nel generico punto $\ x_{i}$ interno all'intervallo $\ [x_{i-1},x_{i}]$ .

Si avrà quindi $\ f(x_{i})=m[a+i{{b-a} \over {n}}]$ , e la somma integrale di Riemann diventa

$\ \sigma_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}){{b-a} \over {n}} =m[a+i{{b-a} \over {n}}]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m({{b-a} \over {n}})^2 \sum_{i=1}^{n}i$

nella quale la progressione aritmetica $\ \sum_{i=1}^{n}i= {{n(n+1)} \over {2}}$ restituisce un'espressione delle somme di Riemann pari a

$\ \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 {{n+1} \over {2n}}$

Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

$\ \int^{b}_{a} mx \, dx = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 \lim_{n \to + \infty} {{n+1} \over {2n}}$

Calcolando il limite per $\ n \to \infty$ , dato che $\ {{n+1} \over {2n}} \to \ {{1} \over {2}}$ , s'ottiene

$\ \int^{b}_{a} mx \, dx = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+{{m(b-a)^2} \over {2}}$

dalla quale, eseguendo la somma si ricava

$\ \int^{b}_{a} mx \, dx = m{{b^2-a^2} \over {2}}$

la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta $\ y=mx$ sul piano insieme all'asse delle ascisse.

[modifica] Calcolo differenziale e calcolo integrale

In questa sezione vengono riportati i due teoremi fondamentali del calcolo integrale i quali, grazie agli studi ed alle intuizioni di Leibniz, Newton, Torricelli e Barrow, stabiliscono l'intima connessione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale.

Vale il seguente

[modifica] Teorema fondamentale del calcolo integrale

Per approfondire, vedi la voce teorema fondamentale del calcolo integrale.

Una funzione $\ F$ , continua e derivabile in un intervallo $\ [a,b]$ è detta primitiva di f in $\ [a,b]$ se:

$\ F'(x)=f(x) \ \forall x \in [a,b]$

Questo teorema viene definito teorema di Torricelli.

Questo teorema è il "pilastro portante" dell'analisi integrale in quanto funge da collante tra calcolo differenziale e calcolo integrale, sancendo che un integrale può essere visto sotto forma di funzione e la forma algebrica di tale funzione è tale che la sua derivata coincide con la funzione integrata, a meno di una costante. Infatti esistono infinite funzioni la cui derivata coincide con $\ f(x)$ , e tali funzioni di partenza si differenziano l'una dall'altra per un termine costante. A causa di ciò una particolare forma della funzione la cui derivata è $\ f(x)$ è detta primitiva di $\ f(x)$

[modifica] Infinite Primitive

Se F'(X) = f(x), allora D(F(X) + c) = f(x) dove c è una qualunque costante in $\mathbb{R}$ . Quindi se una funzione f(x) ammette primitiva F(x), esiste un'intera classe di primitive del tipo G(x)=F(x)+c, viceversa tutte le primitive di f(x) sono della forma F(x)+c.

[modifica] Dimostrazione

Sia H(x) = F(x) - G(x) e F(x), G(x) sono due primitive di f(x). Per definizione di primitiva effettuiamo il passaggio alla derivata prima:

$H'(x) = F'(x) - G'(x)$

$H'(x) = f (x) - f (x)$

$H'(x) = 0 \forall x \in [a,b]$

Dato che H(x) si mantiene costante su tutto l'intervallo a,b vuol dire che H(x) è uguale a c. Da qui otteniamo la tesi.

[modifica] Condizione sufficiente per l'esistenza di una primitiva

Se f(x) è continua in [a,b] allora f(x) ammette una (e dunque infinite) primitive (primo teorema fondamentale del calcolo integrale).

[modifica] Integrale Indefinito

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. La totalità delle primitive di una funzione f(x) si chiama intergale indefinito della funzione f(x) e si indica con il simbolo: $\int f(x)\,dx$ Che si legge "integrale indefinito della funzione f(x) in dx; f(x) è detta funzione integranda. L'intergazione è quindi il processo inverso alla derivazione. Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto.

Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b]: l'insieme di tutte le primitive di f in [a,b] si chiama integrale indefinito di f e si indica

$\int f(x)\,dx$

mentre la forma funzionale generica (in cui la costante è indefinita) di tale funzione è detta integrale indefinito di $\ f(x)$ e si indica con

$\ \int f(x) \, dx= F(x)+c$

dove $\ c$ rappresenta la costante indefinita. Valgono le stesse proprietà dell'integrale definito come linearità ed additività.

Come conseguenza diretta del primo teorema fondamentale del calcolo integrale si ha il seguente

[modifica] Formula fondamentale del calcolo integrale del primo teorema

Se $\ f$ è continua in $\ [a,b]$ , ed $\ F$ è una primitiva di $\ f$ in $\ [a,b]$ allora

$\ \int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b)-F(a)$

Dimostrazione. Come già notato in precedenza si ha

$\ F(b)-F(a) = \int_{a}^{a} f(t)dt - \int_{a}^{b} f(t)dt = \int_{a}^{a} f(t)dt + \int_{a}^{b} f(t)dt - \int_{a}^{a} f(t)dt$

da cui si ottiene

$\ \int_{a}^{b} f(t)dt = F(b)-F(a)$

ossia la tesi.

La precedente è una vera e propria formula di calcolo per gli integrali definiti.

[modifica] Metodi di integrazione

Per approfondire, vedi la voce Metodo di integrazione.

[modifica] Esempio di calcolo di un integrale (2)

In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da derivare. A questo scopo possono essere d'aiuto le tavole d'integrazione.

Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza $\ f(x)=mx$ attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula

$\ \int mx^{\alpha} dx= {{mx^{ \alpha + 1}} \over { \alpha + 1}} + c$

la cui derivata coincide proprio con $\ mx^{\alpha}$ .

Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione $\ f(x)=mx$ ed integrandola si ottiene

$\ \int mx dx= {{mx^{2}} \over {2}} + c$

Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto $\ [a,b]$ si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

$\ \int_{a}^{b} mx dx= [{{mb^{2}} \over {2}} + c] - [{{ma^{2}} \over {2}} + c] = m {{b^2-a^2} \over {2}}$

esattamente (ovviamente) lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

[modifica] Funzione Integrale

Sia f una funzione continua in un intervallo I. Consideriamo l'integrale di f su un intervallo J contenuto in I. Ovviamente al variare dell'intervallo J varia il valore di tale integrale. Se J è l'intervallo che ha un estremo x₀ fissato una volta per tutte e l'altro estremo x variabile, l'integrale di f su tale intervallo [x₀,x] diventa una funzione di x. Tale funzione si dice funzione integrale di f (chiamata anche integrale di Torricelli), e si indica con:

$F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t) \, dt$

Si noti che la variabile di integrazione t (variabile muta) ha un nome diverso dalla variabile x, estremo mobile dell'intervallo di integrazione: infatti t varia tra x₀ e x.

[modifica] Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f continua nell'intervallo [a,b]. La funzione integrale di f è:

$F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt \ : \ [a,b] \to \R$

è derivabile e la derivata vale:

$F'(x) = f(x) \ \forall x \in [a,b]$

Cioè la funzione integrale di una funzione continua f(x) è una primitiva di f(x).

[modifica] Formula fondamentale del calcolo integrale del secondo teorema

Sia f una funzione continua su [a,b]. Sia G una primitiva di f. Allora:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = G(b) - G(a)$

Poiché due qualsiasi primitive di f differiscono per una costante additiva la differenza G(b) - G(a) non dipende da quale primitiva si sceglie.

La formula precedente riconduce il calcolo dell'integrale definito a quello dell'integrale indefinito. In questo modo possiamo riformulare i metodi di integrazione.

[modifica] Integrali impropri

Per approfondire, vedi la voce Integrale improprio.

[modifica] Integrale di Steiltjes

Questa sezione è solo un abbozzo. Se puoi, contribuisci adesso ad ampliarla.

[modifica] Integrale di Lebesgue

Per approfondire, vedi la voce integrale di Lebesgue.

Esistono diversi modi per definire l'integrale di una funzione. Tra i più importanti, oltre all'integrale di Riemann, sopra riportato, è degna di nota la modalità di definizione nota come integrale di Lebesgue.

La definizione dell'integrale di Lebesgue, al contrario dell'integrale di Riemann, si basa sulla definizione di area (definita in altro modo), o più in generale di misura di una superficie o di un insieme. La definizione di Lebesgue si applica direttamente a funzioni definite in un dominio multidimensionale, mentre la definizione di Riemann vale soltanto per funzioni definite in sottoinsiemi di $\mathbb{R}\$ e soltanto successivamente si estende, in maniera un po' artificiale, a funzioni definite in $\mathbb{R}^2\$ , $\mathbb{R}^3\$ , a curve e superfici.

Si dimostra che il risultato ottenuto dall'integrale proprio di Riemann, quando esiste, coincide con l'integrale di Lebesgue. Al contrario esistono casi in cui esiste l'integrale di Lebesgue ma non esiste l'integrale di Riemann.

[modifica] Stima di somme tramite integrale

Un metodo molto semplice e più generale di altri metodi, per ottenere la stima asintotica di una somma è l'approssimzione di una serie tramite il suo integrale.

Sia $f: \R \to \R^+$ una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni $a \in \N$ e ogni intero $n \geq a$ abbiamo

$f(a) + \int_{a}^{n} f(x) dx \leq \sum_{k =a}^n f(k) \leq \int_{a}^{n} f(x) dx + f(n)$

[modifica] Dimostrazione

Se n = a la proprietà è banale. Supponiamo allora $n \,>\, a$ . Osserviamo che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di $\R^+$ e inoltre per ogni $k \in \N$ si ha che

$f(k)\leq \int_{k}^{k+1} f(x) dx \leq f(k+1)$

Sommando per k = a, a+1, ... n-1 otteniamo dalla prima disuguaglianza

$\sum_{k=a}^{n-1} f(k) \leq \sum_{k=a}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)dx = \int_{a}^{n} f(x)dx$

mentre dalla seconda

$\int_{a}^{n}f(x)dx = \sum_{k=a}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(x)dx \leq \sum_{k=a}^{n-1}f(k+1)$

Aggiungendo ora f(a) e f(n) alle due somme precedenti si ottiene l'enunciato

[modifica] Voci correlate

Calcolo di integrali attraverso software

[modifica] Tavole di integrali

Integrali indefiniti

[modifica] Altre tipologie di integrali

[modifica] Bibliografia

Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
Henry Lebesgue - Leçons sur integration - Parigi
Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli

Analisi matematica

Calcolo infinitesimale: Numero reale · Limite · Funzione continua · Successione · Serie

Calcolo differenziale: Derivata · Teorema di Rolle e Lagrange · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiano · Hessiano
Integrale: di Riemann, di Lebesgue e improprio · Teorema fondamentale · Metodo di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea e di superficie

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Categorie: Sect-stub | Calcolo integrale

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Integrale

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Indice

[modifica] Cenni storici

[modifica] Introduzione euristica

[modifica] Integrale di Riemann

[modifica] Definizione

[modifica] Condizione d'integrabilità

[modifica] Proprietà degli integrali

[modifica] Linearità

[modifica] Additività

[modifica] Monotonia (o teorema del confronto)

[modifica] Valore assoluto

[modifica] Teorema della media

[modifica] Esempio di calcolo di un integrale

[modifica] Calcolo differenziale e calcolo integrale

[modifica] Teorema fondamentale del calcolo integrale

[modifica] Infinite Primitive

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Condizione sufficiente per l'esistenza di una primitiva

[modifica] Integrale Indefinito

[modifica] Formula fondamentale del calcolo integrale del primo teorema

[modifica] Metodi di integrazione

[modifica] Esempio di calcolo di un integrale (2)

[modifica] Funzione Integrale

[modifica] Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale

[modifica] Formula fondamentale del calcolo integrale del secondo teorema

[modifica] Integrali impropri

[modifica] Integrale di Steiltjes

[modifica] Integrale di Lebesgue

[modifica] Stima di somme tramite integrale

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Voci correlate

[modifica] Tavole di integrali

[modifica] Altre tipologie di integrali

[modifica] Bibliografia

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