Spazio di Hilbert

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In matematica uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio euclideo.

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebre matematico David Hilbert all'inizio del XX secolo, ed hanno fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'analisi funzionale ed armonica. L'interesse della nozione introdotta da Hilbert risiede nel fatto che essa evidenzia la conservazione di alcune proprietà degli spazi euclidei in spazi di funzioni infinito dimensionali. Grazie agli spazi di Hilbert è possibile formalizzare la teoria delle serie di Fourier e generalizzarla a basi arbitrarie. Inoltre, il loro ruolo è cruciale nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica.

Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un'insieme con una struttura lineare (spazio vettoriale), su cui è definito un prodotto scalare interno (in particolare, quindi, è possibile parlare di distanze, angoli, ortogonalità), e tale che sia garantita la completezza (ossia, che non vi siano dei comportamenti patologici nel processo di passaggio al limite). Nelle applicazioni, gli elementi di uno spazio di Hilbert (vettori) sono spesso successioni di numeri complessi o funzioni.

In meccanica quantistica un elemento di uno spazio di Hilbert rappresenta uno stato fisico, ed è talvolta anche detto funzione d'onda. In tale contesto, a volte si considerano gli spazi di Hilbert allargati, che consentono di formalizzare sia stati liberi che stati legati.

[modifica] Storia

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti da David Hilbert nell'ambito delle equazioni integrali^[1]. John von Neumann fu il primo ad utilizzare la denominazione der abstrakte Hilbertsche Raum (lo spazio di Hilbert astratto) nel suo celebre lavoro sugli operatori hermitiani non limitati del 1929^[2]. Allo stesso von Neumann si deve la comprensione dell'importanza di questa struttura matematica, che egli utilizzò ampiamente nel suo approccio rigoroso alla meccanica quantistica^[3]. Ben presto il nome spazio di Hilbert divenne di largo uso nella matematica^[4].

[modifica] Definizione

[modifica] Preliminari

Un prodotto scalare definito positivo definisce una norma e quindi una distanza: si dimostrano infatti facilmente i fatti seguenti.

Se $V$ è uno spazio vettoriale sul campo reale o complesso, e $\langle\cdot, \cdot\rangle$ un prodotto scalare (nel caso complesso, una forma hermitiana) definito positivo su $V$ , allora rimane naturalmente definita una norma $\| \cdot \|$ sullo stesso spazio ponendo:

$\|v\|:= \sqrt{\langle v,v\rangle}$ , per ogni vettore $v \in V$ ;

Con questa norma lo spazio ha la struttura di spazio normato.
A uno spazio normato $(V,\|\cdot \|)$ è associata una naturale struttura metrica, ottenuta definendo la distanza $d$ come:

$\mathrm{d}(u,v):= \|u-v\|$ per ogni $u,\, v \in V$ .

In pratica, secondo la usuale indentificazione di uno spazio vettoriale con uno spazio affine costruito prendendo come punti i vettori stessi, si pone come distanza tra due vettori la norma della loro differenza. Nel caso in cui la norma derivi da un prodotto scalare, vale dunque la seguente uguaglianza:

$\mathrm{d}(u,v)=\sqrt{\langle u-v,u-v\rangle}$ .

[modifica] Definizione matematica

Uno spazio di Hilbert è una coppia $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ dove $H$ è uno spazio vettoriale reale o complesso^[5] e $\langle\cdot,\cdot\rangle$ è un prodotto scalare (o una forma hermitiana) su $H$ , tale che, detta $d$ la distanza da esso indotta su $H$ , lo spazio metrico $(H,d)$ sia completo.

[modifica] Altre definizioni

La presenza di un prodotto scalare dà modo di definire in generale alcune nozioni che qui richiamiamo brevemente nell'ambito degli spazi di Hilbert^[6].

Dati due vettori $u,\,v\in H$ possiamo definire l'angolo $θ$ da essi formato mediante la relazione:

$\cos{\theta} = \frac{\langle u, v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}$ .
Coerentemente con la precedente definizione di angolo, dato un insieme qualsiasi $K \subset H$ si definisce il complemento ortogonale di $K$ come il sottospazio:

$K^\perp = \{v \in H\ | \langle u,v \rangle = 0\ \forall u\in H\}$ .

In particolare, due vettori $u$ e $v$ si diranno ortogonali se $\langle u,v \rangle =0$ , ossia se l'uno è nel complemento ortogonale dell'altro; inoltre, una famiglia di vettori si dirà ortonormale se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali ed hanno norma 1.
Dati due vettori $u, e \in H$ , si definisce la componente di $v$ lungo $e$ lo scalare $\langle v,e \rangle$ , e la proiezione di $v$ su $e$ il vettore

$\frac{\langle v,e \rangle}{\langle e,e \rangle}\,e$ .

[modifica] Esempi

[modifica] Spazi di Hilbert di dimensione finita

Lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ dei vettori di numeri reali:

$\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)$

con il prodotto scalare euclideo:

$\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_i b_i$

è uno spazio di Hilbert reale di dimensione finita $n$ , detto spazio euclideo $n$ -dimensionale.
Lo spazio vettoriale $\mathbb{C}^n$ dei vettori di numeri complessi:

$\vec a = (a_1, a_2, ... , a_n)$

dotato della forma hermitiana standard

$\left \langle \vec a , \vec b \right \rangle = \sum_{i=1}^{n} a_i^{*} b_{i}$

è uno spazio di Hilbert complesso di dimensione finita $n$ .

[modifica] Successioni a quadrato sommabile l₂

Lo spazio delle successioni di numeri reali a quadrato sommabile:

$l_2(\mathbb{R})=\left\{\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}, x_i\in\mathbb{R}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\},$

dotato del prodotto scalare

$\langle \{x_n\}|\{y_n\} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k} y_k$

è uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita.

Lo stesso vale per l'analogo complesso:

$l_2(\mathbb{C})=\left\{\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}, x_i\in\mathbb{C}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\},$

dotato del prodotto hermitiano

$\langle \{x_n\}|\{y_n\} \rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{*} y_k$ .

[modifica] Lo spazio L₂

Per approfondire, vedi le voci funzione a quadrato sommabile e Spazio Lp.

Lo spazio $V$ delle funzioni misurabili $f$ su un aperto $A \subset \mathbb{R}^n$ , a valori complessi e di quadrato sommabile

$V = \left\{f: A \longrightarrow \mathbb{C}\ \Bigg|\ \int_{A}|f(x)|^2 <\infty \right\}$

è uno spazio vettoriale complesso, e la forma

$\langle f , g \rangle = \int_{A} f(x)^* g(x) dx$

è hermitiana. Tale spazio non è però di Hilbert, poiché la forma hermitiana è solo semi-definita positiva: esistono infatti funzioni $f$ non nulle, ma tali che $\langle f , f \rangle$ è nullo. Ad esempio una funzione che vale 1 su un punto fissato di $A$ , e 0 in tutti gli altri punti di $A$ ha questa proprietà (più in generale, l'integrale di una funzione che vale 0 fuori di un insieme di misura nulla ha integrale nullo).

Per ovviare a questo problema, si definisce lo spazio come quoziente di $V$ tramite la relazione di equivalenza che identifica due funzioni misurabili se differiscono solo su un insieme di misura nulla. La proiezione della forma hermitiana $\langle \cdot, \cdot \rangle$ su questo spazio è definita positiva, e la struttura che ne risulta è uno spazio di Hilbert, che viene indicato con $L^2(A,\mathbb C)$ .

[modifica] Prime proprietà degli spazi di Hilbert

Le proprietà seguenti, valide per gli spazi euclidei, si estendono anche agli spazi di Hilbert.

Vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

$|\left \langle \vec x, \vec y \right \rangle|^2 \le \left \langle \vec x, \vec x \right \rangle \left \langle \vec y, \vec y \right \rangle$

La a norma indotta dal prodotto scalare soddisfa l'identità del parallelogramma:

$\| \vec x + \vec y \|^2 + \| \vec x - \vec y \|^2 = 2 \| \vec x \|^2 + 2 \| \vec y \|^2$

Vale il teorema di Pitagora: se $\{ \vec x_k \}$ è una successione di vettori a due a due ortogonali, allora:

$\| \sum_{k=1}^{\infty} \vec x_k \|^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \| \vec x_k \|^2$

Vale l'identità di polarizzazione:

$\langle \vec x, \vec y \rangle = \frac{1}{4} \left( ||\vec x+ \vec y||^2 - ||\vec x-\vec y||^2 - i (|| \vec x + i \vec y||^2 - ||\vec x - i \vec y||^2) \right)$

Vale la disuguaglianza di Bessel: se ${e n}$ è un insieme numerabile di vettori ortonormali allora per ogni $v\in U$ accade:

$\langle v ,v\rangle \equiv \|v\|^2 \ge \sum_{k=1}^{\infty} | \langle \vec x , \vec e_k \rangle |^2$ .

Ogni spazio di Hilbert è naturalmente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche di Hilbert se e solo la sua norma è indotta da un prodotto scalare, o equivalentemente se esso è autoduale (ossia, se esso si può identificare con il suo spazio duale).

[modifica] Spazi di Hilbert separabili

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Ricordiamo che uno spazio topologico si dice separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. Gli spazi di Hilbert finito dimensionali sono sempre separabili. Nel caso infinito dimensionale, invece, ci sono sia esempi di spazi separabili che non separabili. I primi sono di grande interesse nelle applicazioni, e su di essi si è costruita una teoria piuttosto ricca. Potremmo dire che, tra gli spazi infinito dimensionali, gli spazi di Hilbert separabili sono quelli che più assomigliano agli spazi finito dimensionali, e sono pertanto più facili da studiare.

[modifica] Basi hilbertiane e decomposizioni

Se H è uno spazio di hilbert, H ammette una base hilbertiana. Inoltre se $B = {e i}$ è una base ortonormale, per ogni x in H vale:

$x = \sum_{i=0}^{\infty} \langle e_i | x \rangle e_i$

$\|x \|^2 = \sum_{i=0}^{\infty} |\langle e_i | x \rangle |^2$

e vale che $\forall x,y \in H$ :

$\langle x|y \rangle = \sum_{i=0}^{\infty} \langle x |e_i \rangle \langle e_i | y \rangle e_i$

[modifica] Analisi di Fourier

[modifica] Applicazioni in meccanica quantistica

Per approfondire, vedi le voci Postulati della meccanica quantistica#Gli stati quantici e Principio di sovrapposizione.

[modifica] Ulteriori esempi

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Spazi L².
Spazi di Sobolev

[modifica] Risultati principali

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[modifica] Dualità negli spazi di Hilbert

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[modifica] Operatori lineari su spazi di Hilbert

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[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Carl B. Boyer. History of Mathematics. 2nd edition. New York, John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-54397-7.

Jean Dieudonné. Foundations of Modern Analysis. Academic Press, 1960.

Avner Friedman. Foundations of Modern Analysis. New York, Courier Dover Publications, 1982. ISBN 0-48664-062-0.

von Neumann, John (1929). "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren". Mathematische Annalen 102: 49-131.

Hermann Weyl. Dover Press The Theory of Groups and Quantum Mechanics. 1950. ISBN 0-486-60269-9.

[modifica] Note

↑ Per un'introduzione storica più dettagliata al contesto intellettuale in cui sono nate le idee che hanno dato vita allo studio degli spazi di Hilbert, si veda Boyer History of Mathematics cap. 27 e 28.
↑ von Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren.
↑ Nell'approccio di von Neumann, la meccanica quantistica viene studiata mediante C^*-algebre. Tuttavia ogni C^*-algebra è una sottoalgebra dell'algebra degli operatori limitati su di uno spazio di Hilbert. Di qui l'importanza di tali spazi in questo contesto. È interessante notare che questo approccio alla meccanica quantistica è stato iniziato da von Neumann proprio insieme ad Hilbert.
↑ Dopo von Neumann, uno dei primi usi documentati del nome spazio di Hilbert si trova in Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics.
↑ Per semplicità, omettiamo nella definizione la presenza delle operazioni di somma e moltiplicazione per scalari proprie di uno spazio vettoriale, ed identifichiamo H con l'insieme stesso su cui lo spazio vettoriale è costruito. Si veda la voce spazio vettoriale per ulteriori chiarimenti.
↑ Nella voce prodotto scalare questi concetti sono trattati più approfonditamente.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../s/p/a/Spazio_di_Hilbert_73f0.html"

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