Limite (matematica)
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In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica, in quanto sono usati per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.
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[modifica] Cenni storici
Il concetto di limite era già presente in modo intutivo nell'antichità, per esempio da Archimede, ed è stato utilizzato anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.
Tuttavia, la prima definizione di limite abbastanza rigorosa risale al XIX secolo con Cauchy, formalizzata meglio da Weierstrass.
Una completa teoria del limite si ha solo grazie ad Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca. Heine stilò tutte le regole e proprietà riguardanti la tematica del limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.
Tuttavia è solo nel 1922 che E.H. Moore ed H.L. Smith danno una nozione generale (topologica) di limite[1], che è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornirà una versione equivalente basata sul concetto di filtro.
[modifica] Limite di una successione
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Per approfondire, vedi la voce limite di una successione. |
Il limite di una successione {an} di numeri reali è un numero a a cui la successione "si avvicina sempre di più": formalmente, questa nozione è resa chiedendo che:
Per ogni ε > 0 esista un numero naturale N tale che | an − a | < ε per ogni n > N.
Una successione può non avere limite, ad esempio an = ( − 1)n, data da:
non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite a, si dice che la successione converge ad a; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione an = 1 / n, data da:
converge a zero.
[modifica] Limite di una funzione
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Per approfondire, vedi la voce limite di una funzione. |
Il concetto di limite di una funzione è strettamente correlato a quello di limite di una successione.
Sia 
una funzione, definita su un aperto X della retta reale 
. Sia x0 un punto del dominio, oppure un punto di accumulazione di questo. Un numero reale l è il limite della funzione in x0 se, all'avvicinarsi di x a x0, l'immagine f(x) si avvicina a l. Formalmente:
Per ogni intorno V di l, è possibile trovare un intorno U di x0 tale che ogni elemento di U diverso da x0 abbia immagine in V.
In altre parole, per ogni numero reale ε > 0 esiste un altro numero reale δ > 0 tale che:
- se 0 < | x − x0 | < δ allora | f(x) − l | < ε.
Come per le successioni, il limite può non esistere, ma se esiste è unico, e si scrive:
La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.
[modifica] Voci correlate
[modifica] Collegamenti esterni
[modifica] Bibliografia
- Moore E.H., Smith H.L., A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121 (1922).
[modifica] Note
- ↑ Si veda Moore, Smith A General Theory of Limits
