Teorema di Rolle

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Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo $[a, b]$ , derivabile in ogni punto di $(a, b)$ e assume valori uguali agli estremi, esiste almeno un punto interno all'intervallo la cui derivata si annulla (Punto critico o stazionario).

Formalmente:

Teorema: Teorema di Rolle

Sia $f : [a,b] \Rightarrow \mathbb{R}$

se f

è continua in [a,b]
derivabile in (a,b)
con $f (a) = f (b)$

allora:

$\exists \ c \in (a,b) : f'(c) = 0$

[modifica] Osservazione sulle ipotesi

Quando si legge l'enunciato del Teorema di Rolle, ci si chiede quasi sempre perché la funzione debba essere continua sull'intervallo chiuso e derivabile invece su un aperto.

L'enunciato è formulato in questo modo per due motivi:

Perché la nozione di derivata come limite presuppone che la funzione sia definita in un intorno di un punto e questo non accade per gli estremi dell'intervallo. Per definire la derivabilità in un estremo di solito si suppone che la funzione sia la restrizione di una funzione derivabile su un intervallo aperto più grande che contenga l'estremo.
Perché il teorema vale anche se la funzione non è la restrizione di una funzione derivabile negli estremi. Esempio: La funzione $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sull'intervallo [-1,1] non è la restrizione di alcuna funzione derivabile, tuttavia è continua su [-1,1], derivabile su (-1,1) e f(1)=f(-1) per cui vale il Teorema di Rolle (c=0).

[modifica] Dimostrazione

In virtù del Teorema di Weierstrass la funzione sull'intervallo $[a, b]$ ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con $M$ e $m$ ).

Si danno due casi: o il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi oppure uno dei due appartiene all'intervallo $(a, b)$ .

Caso 1) Il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi e quindi poiché $f (a) = f (b)$ ne segue che

$M = m .$

Questo implica che la funzione è costante sull'intervallo $[a, b]$ e quindi ciascun punto dell'intervallo $(a, b)$ è di massimo e quindi, per il Lemma 1, la derivata è nulla in ciascun punto $c$ dell'intervallo $(a, b)$ .

Caso 2) Il massimo o il minimo sono raggiunti all'interno dell'intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto $c$ dell'intervallo aperto $(a, b)$ , cioè $f (c) = M$ .

Per il Lemma 1, la derivata è nulla nel punto $c$ .

[modifica] Lemma 1

Sia $f (x)$ una funzione derivabile in un intervallo aperto $(a, b)$ , e sia $c$ un punto di massimo o di minimo relativo per $f (x)$ allora

$f'(c) = 0$

Per definizione, esisterà anche un intorno $I$ di $c$ tale che in ogni suo punto la funzione assuma un valore minore o uguale a $c$ :

$f(x) \leq f(c) \qquad \forall \ x \in I$

Preso un numero $h \in I$ , si avrà:

$f(c + h) \le f(c) \qquad \forall \ h \in I$

Quindi i rapporti incrementali destro e sinistro della funzione nel punto c saranno:

$\frac{f(c + h) - f(c)}{h} \leq 0$ se $h > 0$

$\frac{f(c + h) - f(c)}{h} \geq 0$ se $h < 0$

Poiché, per ipotesi, la funzione $f$ nel punto $c$ è derivabile, esiste il limite del rapporto incrementale che è uguale a $f'(c)$ :

$\lim_{h \to 0^-}\frac{f(c + h) - f(c)}{h} = f'(c) \geq 0$

$\lim_{h \to 0^+}\frac{f(c + h) - f(c)}{h} = f'(c) \leq 0$

ne segue che

$f'(c) = 0$

essendo 0 l'unico numero reale contemporaneamente maggiore o uguale a zero e minore o uguale a zero.

[modifica] Dimostrazione alternativa

Il teorema può anche essere considerato come una particolare caso del teorema di Lagrange. Il teorema di Lagrange afferma che, date le stesse ipotesi:

$\exists \ c \in [a; b] : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

se $f (a) = f (b)$ , il numeratore è = 0, dunque è verificato il teorema di Rolle.

Nota:tale dimostrazione non è coerente logicamente perché è necessario il teorema di Rolle per dimostrare il teorema di Lagrange pertanto la dimostrazione più appropriata è la prima.

[modifica] Controesempi

Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.

Esempio 1. Se $f(a)\neq f(b)$ non vale il teorema di Rolle, basta considerare il semplice controesempio.

$f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow x$

che è una funzione continua su [0,1], derivabile su (0,1), ma tale che $f(0)=0\neq f(1)=1$ , e infatti il teorema di Rolle non vale.

Esempio 2. Se $f$ non è continua su $[a, b]$ non vale il teorema di Rolle. Basta considerare il semplice controesempio

$f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f (x) = x$ per $x < 1$ e $f (1) = 0$ .

La funzione è derivabile in (0,1) e $f (0) = f (1) = 0$ non è continua nel punto 1. Per questa funzione non vale il Teorema di Rolle, infatti la derivata non è mai nulla.

Esempio 3. Se $f$ non è derivabile in $(a, b)$ non vale il teorema di Rolle. Basta considerare la funzione

$f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow |x|$ .

Essa è una funzione continua su [-1,1], inoltre $f (1) = | 1 | = 1 = | - 1 | = f ( - 1)$ , tuttavia non è derivabile in $(a, b)$ quindi non valgono le ipotesi del teorema di Rolle e infatti la derivata dove esiste non è mai nulla.

Attenzione! Il fatto che non valgano le ipotesi del Teorema di Rolle, non vuol dire che non vale la tesi, ma solo che esistono dei casi come quelli visti sopra in cui la tesi non vale.

[modifica] Generalizzazioni

Una possibile generalizzazione del Teorema di Rolle ammette l'esistenza di punti di non derivabilità del tipo flesso a tangente verticale, cioè punti in cui il limite del rapporto incrementale è infinito.