Serie

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Nota disambigua - Se stai cercando altri significati, vedi Serie (disambigua).

Nell'analisi matematica il meccanismo delle serie è stato introdotto per generalizzare l'operazione di somma al caso in cui si vogliano sommare infiniti termini.

Formalmente si definisce serie una particolare successione associata ad un'altra successione predeterminata: il termine n-esimo della successione serie viene definito come la somma parziale dei primi n termini della successione predeterminata.

Le serie si distinguono primariamente in base alla natura dei termini che si sommano. Le serie di numeri reali o complessi sono utilizzate, in particolare, per calcolare vari numeri irrazionali a partire da successioni di numeri razionali; le serie di funzioni costituiscono un efficace strumento per lo studio delle funzioni speciali e per la risoluzione di equazioni differenziali. Vengono anche considerate serie di altre entità: serie formali di potenze, serie formali varianti delle precedenti, serie di vettori, di matrici, di linguaggi formali.

[modifica] Definizioni

Consideriamo una prima successione numerica $\{a_n\,:\, n\in \mathbb{P} \subseteq \N \}$ ed associamo ad ogni a_n la cosiddetta somma parziale definita da:

s 1 = a 1

s 2 = a 1 + a 2

s 3 = a 1 + a 2 + a 3

...

s n = a 1 + a 2 + ... + a n

...

ovvero dall'espressione generale

$s_n = \sum_{k=1}^n a_k \,\!$

Definiamo dunque serie la successione delle somme parziali.

In altri termini l'n-esima componente della nuova successione è la somma delle prime n componenti della successione di partenza; essa è chiamata somma parziale n-esima della prima successione, mentre a_n viene detto termine generale.

Con la scrittura $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \,\!$ si intende formalmente il limite della successione delle somme parziali, ovvero $\lim_{n\to + \infty} s_n$ .
Il limite sopra enunciato si definisce somma della serie, ed esprime il carattere della serie. Con tale scrittura però è ormai invalsa l'abitudine di riferirsi anche alla serie in sé, non solamente alla sua somma. Sono dunque entrambe sensate le scritture $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \,\!$ e $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k < \infty$ , in quanto con la prima ci si riferisce alla successione delle somme parziali, con la seconda si asserisce che il suo limite (la sua somma) esiste ed è finito.

La precedente definizione può ripetersi in modo prevedibile per successioni e serie i cui indici corrono sui numeri naturali con lo zero, cioè l'indice varia in n = 0, 1, 2, ... . Queste definizioni possono essere riprese anche per successioni e serie di funzioni: ad esempio per funzioni di una varibile complessa z:

$\{a_n(z)\,|\!:\, n\in \mathbb{N}\} \qquad s_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k(z)$

[modifica] Carattere delle serie

Il carattere di una serie rappresenta il valore della somma dei suoi infiniti termini. Per studiare il carattere di una serie si può calcolare il limite per n che tende ad infinito della sua somma parziale.

Si distinguono tre casi:

Se il limite esiste ed è finito la serie si dice convergente.
Se il limite è infinito la serie si dice divergente.
Se il limite non esiste la serie si dice indeterminata o oscillante.

[modifica] Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza

$\forall \epsilon > 0 \ \exist v \in N \,:\, \forall n \ge v \ \forall p \in \N \ \left|\sum_{j = n + 1}^{n + p} a_j \right| \le \epsilon$

L'enunciato si rifà al criterio di convergenza di Cauchy applicato alla successione delle somme parziali. Per ogni $ε$ maggiore di 0 esiste un indice v appartente ad N tale che ogni indice n maggiore o uguale a v e per ogni p appartenente a N risulta che la serie a_j è minore di $ε$ .

[modifica] Condizione necessaria per la convergenza

Condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga è che $\lim_{n \to +\infty} a_n$ = 0. Un controesempio è dato dalla serie armonica.

Dimostrazione Sia $s n = a 1 + a 2 + ... + a n$ la somma parziale ennesima. La convergenza della serie significa che esiste il limite finito $\lim_{n \to \infty}s_n = l$ , ovviamente si ha pure che $\lim_{n - 1 \to \infty}s_n = l$ .
Poiché $a n = s n - s n - 1$ si ha $\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}{s_n - s_{n-1}} = l - l = 0$

[modifica] Serie numeriche fondamentali

È importante conoscere il carattere di alcune cosiddette serie fondamentali, cioè serie specifiche che vengono utilizzate spesso nell'applicazione dei criteri di convergenza.

[modifica] Serie notevoli

$\sum^n_{k=0} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ da cui viene $\sum^\infty_{k=0} q^k = \frac{1}{1-q}$
$\sum^\infty_{k=1} \left(\frac{1}{k}\right)^2= \frac{\pi^2}{6}$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{1}{2k+1}= \frac{\pi}{4}$
$\sum^\infty_{k=0} \left(\frac{z^k}{k!}\right)= e^z$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin z$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} = \cos z$
$\sum^\infty_{k=0} \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sinh z$
$\sum^\infty_{k=0} \frac{z^{2k}}{(2k)!} = \cosh z$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} = \log(1+x)$ ovviamente con $x \in \left(-1 ; 1 \right]$
$\sum^\infty_{k=0} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \arctan(x)$ ovviamente con $x \in \left[-1 ; 1 \right]$

[modifica] Serie numeriche

Nelle serie numeriche il termine generale della serie $a n$ è un numero, reale o complesso, che dipende solo da n e non da altre variabili. Per la determinazione della convergenza o meno delle serie numeriche conviene individuarne tre tipi per i quali sono disponibili criteri di convergenza spesso semplici ed efficaci.

[modifica] Serie a termini positivi

Una serie si dice a termini positivi quando tutti i suoi termini sono reali positivi. Si noti che tali serie possono solo divergere o convergere.

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \,\!$

Dove $a n$ è un numero reale positivo.

Una proprietà di questo tipo di serie e che le somme parziali sono monotone non decrescenti:
$s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \geq s_n$ , perciò per il teorema di esistenza del limite nel caso di successioni monotone, questo tipo di serie convergono, se le somme parziali n-esime sono limitate, o sono divergenti ma non possono essere indeterminate.

[modifica] Somma di serie

Date le serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n , \ \sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ si dice somma delle due serie la serie:

$\sum_{n=0}^{+\infty} (a_n + b_n)$

Se le serie a_n e b_n sono convergenti anche la somma delle due serie sarà convergente. Se una delle due serie diverge anche la somma delle serie sarà divergente.

[modifica] Prodotto di serie

Date le serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n , \ \sum_{n=0}^{+\infty} b_n$ si dice prodotto delle due serie la serie:

$\sum_{n=0}^{+\infty} (a_n b_0 + a_{n-1}b_1 + ... + a_0 b_n) = \sum_{n=0}^{+\infty} ( \sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_k)$

Se le due serie sono convergenti allora il prodotto è convergente, se una delle due serie diverge allora anche il prodotto è divergente.

[modifica] Serie a termini di segno qualunque

Si dicono serie a termini di segno qualsiasi le serie a termini reali le quali presentano sia infiniti termini positivi che infiniti termini negativi.

[modifica] Convergenza assoluta di una serie

La serie $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ a termini di segno qualunque si dice assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti $\sum_{n = 1}^{\infty}|a_n|$ è convergente.

Dunque la convergenza assoluta implica la convergenza (ordinaria), detta anche convergenza semplice.

Occorre sottolineare che non tutte le serie che convergono semplicemente convergono anche assolutamente. Ad esempio, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n$ converge semplicemente, ma non converge assolutamente, dato che la serie ad essa associata è quella armonica.

[modifica] Criteri di convergenza

Per determinare il carattere di una serie numerica (convergente, divergente, assolutamente convergente, oscillante) sono stati sviluppati diversi criteri di convergenza che legano la convergenza della serie allo studio del limite di successioni associate alla serie.

[modifica] Serie di funzioni

Per approfondire, vedi la voce Serie di funzioni.

Le serie di funzioni sono del tutto analoghe alle serie numeriche, ma il termine generale è una funzione e non un numero.

$z_n = \sum_{n=0}^{+\infty} f(x)_n \,\!$

Fissato un numero $x 0$ la serie di funzioni diventa una serie numerica. Si definisce dominio di convergenza della serie l'insieme dei valori di x per cui la serie converge.

[modifica] Serie di potenze

Per approfondire, vedi la voce Serie di potenze.

Le serie di potenze sono delle particolari serie di funzioni, quelle della forma:

$\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n \,\!$

Quando esiste il limite

$l = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

si individua il cosiddetto raggio di convergenza della serie di potenze $R$ uguale a:

$1 \over l$ se $l \not= 0, \infty$
$+ \infty\quad$ se $l = 0$
$0\quad$ se $l = \infty$

In questi casi se $| x | < R$ la serie converge, se $| x | > R$ essa diverge.
Per i valori della variabile per i quali $x = R$ invece, non si può affermare nulla di generale sul comportamento della serie di funzioni.

La serie geometrica è una serie di potenze, con raggio di convergenza uguale a 1 .

[modifica] Stima di somme

Data una funzione $f: N \to \R^+$ , l'espressione $\sum_{k=0}^n f(k)$ rappresenta la somma:

$\sum_{k=0}^n f(k) = f(0) + f(1) + ... + f(n)$

Essa definisce chiaramente una funzione $S: \N \to \R^+$ che associa ad ogni $n \in \N$ il valore $S(n) = \sum_{k=0}^n f(k)$ .

Dall'analisi degli algoritmi si utilizza sovente la valutazione di somme di questo tipo, ad esempio nello studio in un'istruzione del tipo

for i = 0 to n do C

per un comando C qualsiasi si ottiene la somma

$\sum_{k=o}^n c(k)$

dove c(k) è il tempo di calcolo del comando C quando la variabile i assume il valore k.

L'ordine di grandezza di una somma può essere dedotto dall'ordine di grandezza dei suoi addendi.

[modifica] Stima asintotica

Siano f e g due funzioni definite su N a valori in $\R^+$ e siano F e G le loro funzioni somma cioè $F(n) = \sum_{k=0}^n f(k) \ \ G(n) = \sum_{k=0}^n g(k) \ \forall n \in N$ . Allora $f (n) = θ(g (n))$ implica $F (n) = θ(G (n))$ .

In altre parole, si può ricondurre lo studio asintotico di F e G sapendo che la relazione esistente tra le loro funzioni f(n) e g(n) sono $f (n) = θ(g (n))$ , allora otteniamo che $F (n) = θ(G (n))$ .

Nota: Il simbolo $θ$ viene usato per indicare che due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza a meno di costanti moltiplicative.

[modifica] Dimostrazione

La proprietà è una semplice conseguenza della definizione di $θ$ . Infatti per l'ipotesi esistono due costanti positivie c,d tali che $c g(k) \leq d g(k)$ per ogni k abbastanza grande. Sostituendo questi valori nelle rispettive sommatorie otteniamo: