Kwaterniony

Z Wikipedii

Kwaterniony to struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności. Choć ich użycie zastąpione zostało wektorami, nadal znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, szczególnie w obliczeniach dotyczących obrotów trójwymiarowych.

Współczesna matematyka opisuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę ilorazową nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez $\mathbb H$ od nazwiska twórcy. Wspomniana algebra $\mathbb H$ zajmuje specjalne miejsce w analizie, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończeniewymiarowych pierścieni ilorazowych zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

Spis treści

1 Zapis
2 Sprzężenie, wyznacznik, moduł
- 2.1 Właściwości sprzężenia i modułu
3 Właściwości
- 3.1 Izomorficzność
- 3.2 Własności algebraiczne
4 Przykłady
5 Geometryczna interpretacja mnożenia kwaternionów
6 Kwaterniony jednostkowe a obroty przestrzeni trójwymiarowej
7 Zobacz też
8 Linki zewnętrzne

[edytuj] Zapis

Jest kilka sposobów przedstawiania kwaternionów. Jednym z nich jest przedstawienie kwaternionów w 'postaci macierzowej, czyli jako macierzy z przestrzeni $M_{2 \times 2}(\mathbb Z)$ takich, że

$\begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+bi & c+di\\ -c+di & a-bi \end{bmatrix}$ , gdzie $z=a+bi,\; w=c+di$ .

Innym sposobem zapisu macierzowego jest

$\begin{bmatrix} \;\; a & -b & \;\; d & -c \\ \;\; b & \;\; a & -c & -d \\ -d & \;\; c & \;\; a & -b \\ \;\; c & \;\; d & \;\; b & \;\; a \end{bmatrix}$ , dla $a, b, c, d \in \mathbb R$ .

Innym sposobem zapisu jest postać algebraiczna – jeżeli wprowadzimy oznaczenia dla szczególnych macierzy (kwaternionów)

$i=\begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{bmatrix},\quad j=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix},\quad k=\begin{bmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{bmatrix}\quad$

to będziemy w stanie zapisać dowolny kwaternion w postaci

q = a + b i + c j + d k

, gdzie $a, b, c, d \in \mathbb R$ .

Wprowadźmy jeszcze kwaternion $r$

$r=\begin{bmatrix} r & 0\\ 0 & r \end{bmatrix}\quad$ dla $r \in \mathbb R$ .

[edytuj] Sprzężenie, wyznacznik, moduł

Sprzężenie w kwaternionach definiujemy następującym wzorem:

$\overline \begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline z & -w\\ \overline w & z \end{bmatrix}$ ,

w postaci algebraicznej:

$\overline{a+bi+cj+dk}=a-bi-cj-dk$ .

Wyznacznik kwaternionu definiujemy wg wzoru

det q = | z | 2 + | w | 2

Moduł to pierwiastek z wyznacznika:

$|q|=\sqrt{\det q}=\begin{vmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{vmatrix} = \sqrt{|z|^2+|w|^2}$ ,

albo równoważnie w postaci algebraicznej:

$|a+bi+cj+dk|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

[edytuj] Właściwości sprzężenia i modułu

$|q|=|\overline q|=|-q|$ ,
$q\cdot \overline q=|q|^2$ ,
$|q\cdot w|=|q|\cdot|w|$ ,
$|q+w|\leq|q|+|w|$ .

[edytuj] Właściwości

Wykorzystując wspomniany izomorfizm kwaternionów i ich postaci macierzowej otrzymujemy:

z właściwości dodawania macierzy wnioskujemy, iż suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;

$\begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} p & q\\ -\overline q & \overline p \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} z+p & w+q\\ -\overline {w+q} & \overline {z+p} \end{bmatrix}$

podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem,
dla kwaternionu :
- $\mathbb R \ni \det q > 0$ ,
- istnieje kwaternion odwrotny zadany wzorem

$q^{-1} = \begin{bmatrix} z & w\\ -\overline w & \overline z \end{bmatrix}^{-1} =\frac{\begin{bmatrix} \overline z & -w\\ \overline w & z \end{bmatrix}}{|z|^2+|w|^2}$ .

Zauważmy jeszcze iż:

mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli $(a b) c = a (b c)$ ,
zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
- $x (y + z) = x y + x z$ ,
- $(y + z) x = y x + z x$ .

Tak zdefiniowane kwaterniony $i, j, k$ spełniają następujące zależności:

$i 2 = j 2 = k 2 = i j k = - 1$ ,
$i j = - j i = k$ ,
$j k = - k j = i$ ,
$k i = - i k = j$ ,
$1 q = q 1 = q$ dla dowolnego $q$ , czyli $1$ jest elementem neutralnym mnożenia,
$r q = q r$ o ile $r \in \mathbb R$ (jest kwaternionem postaci $r + 0 i + 0 j + 0 k$ ), natomiast $q$ dowolnym kwaternionem.
$q \overline q= |q|^2$ .

[edytuj] Izomorficzność

Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, poniżej wskazujemy izomorfizmy pewnych podzbiorów kwaternionów z tymi ciałami:

kwaterniony postaci $r+0i+0j+0k, r \in \mathbb R$ można utożsamiać z liczbami rzeczywstymi,
następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
- $\{q=a+bi: a, b\in \mathbb R\}$ ,
- $\{q=a+bj: a, b\in \mathbb R\}$ ,
- $\{q=a+bk: a, b\in \mathbb R\}$ .

[edytuj] Własności algebraiczne

Z powyższych własności i właściwości działań na macierzach wnioskujemy, iż zbiór ${1, - 1, i, - i, j, - j, k, - k}$ z mnożeniem tworzy grupę.

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy grupę abelową, a ponieważ działanie mnożenia jest łączne i zachodzi jego rozdzielność obustronna rozdzielność względem dodawania, to kwaterniony ze wspomnianymi dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny (ponieważ $ij \neq ji$ ), w którym rozwiązywalne są równania postaci $A x + B = C$ oraz $xA+B=C,\quad A \ne 0$ .

Co więcej: zbiór kwaternionów z działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało skośne, tzn. spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem warunku $a b = b a$ .

[edytuj] Przykłady

Niech

x = 2 + 3 i + 4 k

y = 2 + 3 j + 2 k

Wtedy

x + y = 4 + 3 i + 3 j + 6 k

x y = (2 + 3 i + 4 k)(2 + 3 j + 2 k) =

= 2(2 + 3 j + 2 k) + 3 i (2 + 3 j + 2 k) + 4 k (2 + 3 j + 2 k) =

= 4 + 6 j + 4 k + 6 i + 9 i j + 6 i k + 8 k + 12 k j + 8 k 2 =

= 4 + 6 j + 4 k + 6 i + 9 k + 6( - j) + 8 k + 12( - i) + 8( - 1) =

= - 4 - 6 i + 21 k

[edytuj] Geometryczna interpretacja mnożenia kwaternionów

Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej $a + v$ . W tej postaci $a \in \mathbb R$ , zaś $\mathrm v \in \mathbb R^3$ wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: $\mathrm{vw} = -(\mathrm v \cdot \mathrm w) + \mathrm v \times \mathrm w$ . We wzorze tym kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzyżyk iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

[edytuj] Kwaterniony jednostkowe a obroty przestrzeni trójwymiarowej

Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkowa $S 3$ w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów $S O 3$ przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi $h$ obrót $T h$ wg wzoru:

T h (x) = h x h - 1

Wówczas:

przekształcenie $T h$ jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych.
przekształcenie $h \mapsto T_h$ definiuje podwójne nakrycie grupy $S O 3$ przez sferę $S 3$ .
jeśli wyrazimy kwaternion $h$ w postaci wykładniczej $e v a$ , wtedy $T h$ jest obrotem wokół osi $v$ kąt $2 a$ .