Σ-άλγεβρα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Αν μιλάμε για το σύνολο Ω όλων των πιθανών ενδεχομένων, σ-άλγεβρα (σιγμα αλγεβρα) $F$ είναι μια κλάση από υποσύνολα του Ω (χονδρικά μπορούμε να πούμε ότι είναι ένα σύνολο με στοιχεία του κάποια υποσύνολα του Ω, αλλά η ορολογία είναι αδόκιμη).

Η σ-άλγεβρα είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο στα στοχαστικά μαθηματικά, κυρίως διότι αριθμήσιμες (το πολύ) το πλήθος συνολοθεωρητικές πράξεις μεταξύ συνόλων που ανήκουν στην ίδια σ-άλγεβρα δίνουν σύνολα που ανήκουν και αυτά στην ίδια σ-άλγεβρα. Οι σ-αλγεβρες ειναι η βαση για τον ορισμο του χωρου των μαζων και των πιθανοτητων.

[Επεξεργασία] Τεχνικος Ορισμος

Εστω Χ ενα συνολο. Τοτε η σ-αλγεβρα $F$ ειναι μια μη αδεια συλλογη υποσυνολων του Χ ετσι ωστε:

1) Το Χ ανηκει στο $F$

2) Αν το Α ειναι στο $F$ , τοτε ειναι και το συμπληρωματικο του Α

3) Αν έχουμε μια ακολουθία συνόλων { $A n$ , όπου n=1,2,...} στο $F$ τότε η ενωση των $A n$ ανηκει επισης στο $F$ .

Από τον ορισμό προκύπτει ότι σε κάθε σ-άλγεβρα ανήκει το Ω και το κενό σύνολο. Επισης καθε σ-αλγεβρα ειναι ενα συστημα Ντυνκιν.

[Επεξεργασία] Παραδειγματα

Για καθε συνολο $Ω$ το $\{\emptyset,\Omega\}$ ειναι η μικροτερη και το δυναμοσύνολο $\mathcal P(\Omega)$ η μεγαλυτερη σ-αλγεβρα.
Η σ-αλγεβρα των υποσυνολων κατα Μπορελ των πραγματικων αριθμων, περιεχει μεταξυ αλλων και ολα τα διαστηματα.