Sigma-álgebra

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En matemáticas, una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.

[editar] Definición Formal

Formalmente, Σ es una σ-álgebra sobre X si y sólo si se cumplen las siguientes propiedades:

El conjunto vacío está en Σ.
Si E está en Σ, también está su conjunto complemento X−E.
Si E₁, E₂, E₃, ... es una sucesión (contable) en Σ, entonces su unión (contable) también está en Σ.

De las propiedades 1 y 2 se deduce que X ∈ Σ; de 2 y 3 se concluye que la σ-álgebra también es cerrada bajo intersecciones contables (gracias a las leyes de De Morgan).

Los elementos de la σ-álgebra se denominan conjuntos Σ-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre Σ). Un par ordenado (X, Σ), donde X es un conjunto y Σ una σ-álgebra sobre éste, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, Σ) y (Y, Ω) son dos espacios medibles, una función f:X→Y es medible si para todo E ∈ Ω, f⁻¹(E) ∈ Σ. Una medida es una cierta clase de función de una σ-álgebra al intervalo [0,∞].

[editar] Notación

Las σ-álgebras usualmente se denotan con letras manuscritas mayúsculas en lugar de Σ, con lo que $(X,\mathcal{A})$ se usa en lugar de (X,Σ). Esto es útil para evitar que Σ se confunda con el operador de sumatoria.

[editar] Ejemplos

Si X es cualquier conjuntos, la familia {∅,X} es una σ-álgebra sobre X, llamada σ-álgebra trivial por obvias razones. Otra σ-álgebra sobre X es el conjunto de partes de X. La familia de conjuntos E ⊆ X donde, o bien E, o bien X−E es contable, forma también una σ-álgebra sobre X; si X es incontable, ésta será distinta de la σ-álgebra del conjunto de partes.

Si {Σ_α} es una familia de σ-álgebras sobre X, la intersección de todos los conjuntos Σ_α es también una σ-álgebra sobre X.

Si U es una familia arbitraria de subconjuntos de X, existe una mínima σ-álgebra sobre X que contiene a U, llamada σ-álgebra generada por U. Ésta se denota por σ(U), y se puede construir como sigue:

Es claro que existe al menos una σ-álgebra sobre X que contiene a U; a saber, el conjunto de partes de X.
Sea Φ la familia (no vacía) de todas las σ-álgebras sobre X que contienen a U (esto es, una σ-álgebra Σ sobre X está en Φ si y sólo si U ⊆ Σ).
Defínase entonces σ(U) como la intersección de todas las σ-álgebras en Φ. Por el párrafo anterior, σ(U) es una σ-álgebra sobre X; y por construcción, es la mínima que contiene a U.

Esto lleva a lo que tal vez sea el ejemplo más importante: el álgebra de Borel, o boreliana, sobre un espacio topológico es la σ-álgebra generada por el conjunto de conjuntos abiertos (o equivalentemente, el conjunto de conjuntos cerrados). En general, esta σ-álgebra no es el conjunto de partes, lo cual puede ser demostrado usando el axioma de elección.

En el espacio euclídeo Rⁿ, cabe destacar otra posible σ-álgebra: la formada por los conjuntos Lebesgue-medibles. Ésta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en Rⁿ, y es la que se prefiere en teoría de integración.