Histoire des mathématiques
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L’histoire des mathématiques s'étend sur plus de 4 000 ans et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l'Amérique centrale.
Dans la mesure où les concepts ont émergé dans divers endroits du globe, dans le présent article nous proposons une approche par îlots géographiques.
[modifier] Mathématiques et préhistoire
Avant l'apparition de l'écriture, des dessins reflètent des premières connaissances mathématiques. Dans une caverne en Afrique du Sud, des paléontologues ont retrouvé des peintures ocres ornées de figures géométriques, datant de 70 000 avant notre ère. Des artéfacts préhistoriques ont été retrouvés en Afrique et en France datant entre 35 000 et 20 000 avant notre ère, attestant de premières tentatives de mesurer le temps. Les concepts de un, deux et beaucoup étaient connus.
L'os d'Ishango datant de 20 000 ans avant notre ère est connu pour être la première preuve reconnue de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication. Il est dit que les mégalithes en Égypte au Ve miliénaire avant notre ère ou en Angleterre au IIIe millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les cercles, les ellipses et les triplets pythagoriciens. En 2 600 avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance précise et réfléchie de la géométrie.
[modifier] Mathématiques de Sumer à Babylone
On situe en général les débuts de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigation. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de km de Bagdad), ont été découvertes au XIXe siècle des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av J.-C). On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carrées (la tablette YBC 7289 prouve qu'ils connaissaient une valeur approchée de la racine carrée de deux au millionième près), racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision. On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent la liste des carrés d'entier, la liste des cubes et la liste des triplets pythagoriciens (tablette de Plimpton 322). On a retrouvé des tablettes décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes montrant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de 1000 ans avant Pythagore.
Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (XVIIIe siècle av. J.-C.). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique.
[modifier] Mathématiques égyptiennes
Voir l’article Mathématique en Égypte antique.Les meilleures sources sont le Papyrus Rhind (seconde période intermédiaire, XXe siècle avant J.-C.) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, le Papyrus de Moscou (1850 avant J.-C.) et le rouleau de cuir. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir Siences Égyptiennes. Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnel (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familier du calcul fractionnaire et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de π (voir le livre de Sylvia Couchoud, ci-dessous, #Ressources bibliographiques). Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données.
[modifier] Mathématiques en Chine
La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les mathématiques chinoises provient du manuscrit de Zhoubi Suanjing ou Les neuf chapitres sur l'art mathématique, qui regroupe des connaissances datant de l'époque précédente (Xe siècle av. J.-C.). On y découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du cercle, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant que dès 1300 avant J.-C., ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le Ier et le VIIe siècle après J.-C. puis entre le Xe et le XIIIe siècle.
[modifier] Mathématiques mayas
La civilisation maya s'étend de 2600 avant J.-C. jusqu'à 1500 ans après J.-C. avec un apogée au IIIe siècle. Les mathématiques sont principalement tounées vers l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya). Les sources mayas sont issues principalement des codex (écrits autour du XIIIe siècle). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui de Dresde, de Paris, de Madrid et de Grolier)
[modifier] Mathématiques indiennes
Voir l’article Mathématiques indiennes.La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les sulba-sutras (de 800 av. J.-C. jusqu'à 200) . Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstrations. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient contruire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de deux. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal.
Il faut ensuite attendre l'époque jaïniste (Ve siècle après J.-C) pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'infini, développent des calculs sur des nombres de la forme 
qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, on peut citer l'Aryabhata (499) du nom de son auteur écrit en sanscrit et en vers et les traités d'astronomie et de mathématiques de Brahmagupta (598-670) . Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de sinus qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la série des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaitre les premières règles d'addition et de soustraction sur les nombres négatifs. Mais c'est à Brahmagupta semble-t-il que l'on doit les règles opératoires sur le zéro en tant que nombre et la règle des signes.
[modifier] Mathématiques grecques
Voir l’article Mathématiques de la Grèce antique.
Concernant les mathématiques grecques, aucun ouvrage original ne nous est parvenu. Il ne reste que des copies, des traductions et des commentaires via les mathématiques de langue arabe. On peut donc penser que ne nous sont parvenues que les œuvres majeures de cette époque.
La grande nouveauté des mathématiques grecques c'est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de la pensée. Les mathématiques deviennent une branche de la philosophie. De l'argumentation philosophique découle l'argumentation mathématique. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la démonstration. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un cercle mais sur l'idée d'un cercle.
Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont Thalès (-625 - -547), Pythagore (-580 - -490) et l'école pythagoricienne, Hyppocrate (-470 - -410) et l'école de Chios, Eudoxe de Cnide (-408 - -355) et l'école de Cnide, Théétète d'Athènes (-415 - -369) puis Euclide.
De ses voyages en Égypte, Thalès rapporte en Grèce les connaissances en géométrie, travaille sur les triangles isocèles et les triangles inscrits dans un cercle.
De l'école pythagoricienne, nous pouvons retenir que tout est nombre. Les deux branches d'étude privilégiées sont l'arithmétique et la géométrie. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombre que les nombres rationnels matérialisées par la notion de longueurs commensurables : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationnalité de la racine carrée de deux les conduisent à n'accepter que les nombres constructibles à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. En arithmétique, ils mettent en place la notion de nombre pair, impair, parfait et figuré. Leurs calculs sont d'autant plus remarquables que la numération grecque est certes décimale, mais additive. En géométrie, ils étudient les polygones réguliers avec une préférence pour le pentagone régulier.
Hippocrate de Chios cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des lunules et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents.
Eudoxe de Cnide travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de nombres irrationnels. Il est probablement à l'origine de la formalisation de la méthode d'exhaustion pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes.
Théétète travaille sur les polyèdres réguliers.
Mais la révolution la plus importante vient des Éléments d'Euclide. Les objets géométriques doivent être définis : il ne s'agit plus d'objets imparfaits mais de l'idée parfaite des objets. Dans ses Éléments, Euclide se lance dans la première formalisation de la pensée mathématique. Il définit les objets géométriques (droites, cercles, angles), il définit l'espace par une série d'axiomes, il démontre par implication les propriétés qui en découlent et fait le lien formel entre nombre et longueur.
Après Euclide, deux grands noms éclairent les mathématiques grecques : Archimède qui perfectionne les méthode d'Eudoxe, et Apollonius dont le traité sur les coniques est considéré comme le sommet de la géométrie grecque.
Les mathématiques migrent alors à Alexandrie puis finissent pas se fondre dans les mathématiques de langue arabe.
[modifier] Mathématiques de langue arabe
- Article détaillé : mathématiques arabes.
Durant la période allant de 800 à 1500 après J.C., c'est dans les régions conquises par les musulmans que se développent les mathématiques. La langue arabe devient langue officielle des pays conquis. Un vaste effort de recueils et de commentaires de textes est entrepris. S'appuyant d'une part sur les mathématiques grecques, d'autre part sur les mathématiques indiennes et chinoises que leur relations commerciales leur permettent de connaître, les mathématiciens de langue arabe vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'algèbre, répandant le système décimal indien avec les chiffres improprement appelés chiffres arabes et développant des algorithmes de calculs. Parmi les nombreux mathématiciens de langue arabe, on peut citer Al-Khwarizmi et son ouvrage al-jabr. On assiste à un développement important de l'astronomie et de la trigonométrie.
[modifier] Mathématiques européennes et occidentales
[modifier] Les mathématiques du Moyen Âge
A faire
[modifier] La renaissance italienne
Dès le XIIe siècle est entrepris en Italie une traduction des textes arabes et, par la même, la redécouverte des textes grecs. Léonard de Pise avec son Liber abaci, fait redécouvrir les mathématiques à l'Europe. On assiste à un développement important de l'école italienne avec Cardan, Ferrari, Tartaglia, Scipione del Ferro, Bombelli, école principalement tournée vers la résolution des équations.
[modifier] L'écriture symbolique
Jusqu'au XVIe siècle, la résolution de problèmes était principalement rhétorique. Les calculs s'exprimaient en phrases complètes. Mais la complexité de ceux-ci conduit les mathématiciens à construire des notations symboliques. C'est le travail entrepris par Viète, Descartes,... qui font entrer les mathématiques dans l'ère de l'algèbre.
[modifier] Le calcul infinitésimal
Voir l’article Histoire du calcul infinitésimal.Fils de deux pères, (Newton et Leibnitz) le calcul infinitésimal fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'analyse (dérivée, intégrale, équation différentielle)
[modifier] L'école allemande et l'école française
A faire
[modifier] La question des fondements
A faire
[modifier] Les mathématiques contemporaines
A faire
[modifier] Les mathématiques du XXe siècle
Le métier de mathématicien a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du XIXe siècle. Le développement mathématique a explosé exponentiellement depuis. De nouveaux domaines de recherche sont nés ou ont vu se développer : la topologie, la géométrie différentielle, la logique, la géométrie algébrique, les probabilités, ...
Grace à la globalisation, la recherche mathématique n'est pas localisée sur un pays ou un continent.
L'apparation de l'ordinateur a sensiblement modifié les conditions de travail.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Ressources bibliographiques
- Karine Chemla, Les neuf chapitres
- Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, éditions du Renouveau Pédagogique Inc., Montréal, 1973.
- George Ifrah, Histoire universelle des chiffres
- Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004. Le livre reproduit les hyéroglyphes, donne leur traduction et procède à un examen critique du texte.
[modifier] Liens externes
- (fr) [http://www.gehimab.org Histoire des mathématiques à Béjaia
- (fr) Liens sur l'histoire des mathématiques (2)
- (fr) Chronomath
- (fr) calcul sexagésimal en Mésopotamie
- (en) Site de l'Université de St Andrews
- (fr) Dans la lettre de l'Académie des sciences"Histoire et philosophie des sciences" (pdf 2,12 Mo) - n°14 / hiver 2004: Mathématiques de la Chine ancienne
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