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Tavola dei limiti notevoli - Wikipedia

Tavola dei limiti notevoli

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Sono qui presentati alcuni limiti famosi, che è utile imparare, per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.

[modifica] Trigonometrici

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \!$

Dimostrazione

Sfruttando il fatto che per $x \in \left(0, \pi / 2 \right)$ vale

$0 < \sin x \le x \le \tan x$

Per i reciproci vale:

$\frac { 1 }{\sin{x}} \ge \frac {1}{x} \ge \frac {\cos x}{\sin x}$

ora si moltiplica per sin x:

$1 \ge \frac {\sin x}{x} \ge \cos x$

Ma cos x tende all'unità per x che tende a zero, quindi per il teorema del confronto il limite in mezzo dovrà avere lo stesso limite degli altri due.

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x} = 0 \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = 1 \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan(x)}{x} = 1 \!$

[modifica] Esponenziali e logaritmici

$\lim_{n\to \pm\infty} {\left (1+\frac{1}{n} \right )}^n = e \!$
$\lim_{n\to \pm\infty} {\left (1+\frac{\theta}{n} \right )}^n = e^\theta \!$
$\lim_{x\to 0} {\left ( 1 + \theta x \right ) }^{\frac{1}{x}} = e^\theta \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1 \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{\alpha^x-1}{x} = \log \alpha , \alpha > 0 \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \!$
$\lim_{x\to 0} \frac{{\left (1+x\right )}^\theta -1}{x} = \theta \!$

[modifica] Voci correlate

Limite di una funzione

Analisi matematica

Calcolo infinitesimale: Numero reale · Limite · Funzione continua · Successione · Serie

Calcolo differenziale: Derivata · Teorema di Rolle e Lagrange · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiano · Hessiano
Integrale: di Riemann, di Lebesgue e improprio · Teorema fondamentale · Metodo di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea e di superficie

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../t/a/v/Tavola_dei_limiti_notevoli.html"

Categoria: Funzioni reali di variabile reale

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