Funkcja Gudermanna

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja Gudermanna, nazwana od imienia niemieckiego matematyka, Christopha Gudermanna, zwana także amplitudą hiperboliczną, wyraża się wzorem:

${\rm gd}x\,$	$=\int\limits_0^x \frac{dt}{\cosh t}$
	$=2\mbox{arctg} \left(\mbox{tgh}\frac{x}{2}\right)$
	$=2\mbox{arctg } e^x-{\pi\over2}.$

Jak widać, stosowane funkcji Gudermanna ukazuje naturalny pomost, jaki istnieje między funkcjami cyklometrycznymi a hiperbolicznymi, bez potrzeby odwoływania się do narzędzi analizy zespolonej.

Zauważmy, że:

$\mbox{tgh}\frac{x}{2} = \mbox{tg} \frac{\mbox{gd}(x)}{2}.\,$

Prawdziwe są następujące tożsamości:

$\begin{array}{lcl} \sinh x &=&\mbox{tg}(\mbox{gd }x)\\ \cosh x&=&\sec(\mbox{gd }x)\\ \mbox{tgh}x&=&\sin(\mbox{gd }x)\\ \mbox{sech}x&=&\cos(\mbox{gd }x)\\ \mbox{csch}x&=&\mbox{ctg}(\mbox{gd }x)\\ \mbox{ctgh}x&=&\csc(\mbox{gd }x )\end{array}$

Funkcja odwrotna do funkcji Gudermanna (oznaczamy ją $\operatorname{arcgd}x$ ) wyraża się wzorem:

$\operatorname{arcgd}x$	$={\rm gd}^{-1}(x)=\int\limits_0^x \frac{dt}{\cos t}\,$
	$=\operatorname{arcosh}(\sec x)=\operatorname{artgh}(\sin x)\,$
	$=\ln\left(\sec x(1+\sin x)\right)\,$
	$=\ln(\mbox{tg} x+\sec x)=\ln\left(\mbox{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\right)\,$
	$=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right)=\operatorname{artgh}(\sin x).\,$

Istnieje sposób wyrażenia funkcji wykładniczej przy użyciu funkcji Gudermanna:

$exp x$	$=\frac{1}{\cos\left(\operatorname{gd }x\right)}+\mbox{tg}\left(\operatorname{gd }x\right)=\sec\left(\operatorname{gd }x\right)+\mbox{tg}\left(\operatorname{gd }x\right)$
	$=\mbox{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\operatorname{gd}x}{2}\right)$
	$=\frac{1+\sin\left(\operatorname{gd}x\right)}{\cos\left(\operatorname{gd}x\right)}$