História da trigonometria

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A história da trigonometria e das funções trigonométricas pode abranger em torno de 4000 anos.

Trigonometria
História Utilidade Funções Funções inversas Aprofundamento
Referência
Lista de identidades Constantes exatas Geração de tabelas trigonométricas CORDIC
Teoria euclidiana
Lei dos senos Lei dos cossenos Lei das tangentes Teorema de Pitágoras
Cálculo
A Integral trigonométrica Substituição trigonométrica Integrais de funções Integrais de inversas

[editar] Etimologia

A nossa palavra moderna seno é derivada do latim sinus, que significa "baía" ou "dobra", a partir de uma tradução errônea (via árabe) do sânscrito jiva, e sua variante jya.^[1] Aryabhata usou o termo ardha-jiva ("meia-corda"), que foi abreviada para jiva e então trasnliterada pelos árabes como jiba (جب). Tradutores europeus como Robert of Chester e Gherardo of Cremona na Toledo do século XII confundiram jiba com jaib (جب), que significa "bay", provavelmente porque jiba (جب) e jaib (جب) são escritas da mesma forma na escrita arábica (esse sistema de escrita, em uma de suas formas, não fornece ao leitor informações completas sobre as vogais). As palavras "minuto" e "segundo" são derivadas das frases latinas partes minutae primae e partes minutae secundae.^[2]

[editar] Desenvolvimento

A trigonometria não é obra de um só homem ou nação. A sua história tem milhares de anos e faz parte de todas as grandes civilizações. Deve ser notado que desde os tempos de Hiparco até os tempos modernos não havia tal coisa como "razão" trigonométrica. Ao invés disso, os gregos e depois os hindus e os muçulmanos usaram linhas trigonométricas. Essas linhas primeiro tomaram a forma de cordas e mais tarde meias cordas, ou senos. Essas cordas e linhas de senos então seriam associadas a valores numéricos, possivelmente aproximações e listados e tabelas trigonométricas.^[2]

[editar] Trigonometria antiga

Os antigos egípcios e babilônicos conheciam teoremas sobre as razões dos lados de triângulos similares por muitos anos. Mas sociedades pré helênicas não possuíam o conceito de medida de um ângulo e consequentemente, eram estudados os lados do triângulo, um campo de estudo que seria melhor chamado de "trilaterometria".^[3]

Com base na interpretação da tábua cuneiforme Plimpton 322 (cerca de 1900 AC), tem se afirmado que os babilônicos antigos tinham uma tábua de secantes.^[4] No entanto, existe muito debate sobre se ela é uma tabela de trinas pitagóricas, soluções de equações quadráticas ou uma tábua rigonométrica.

[editar] Matemática grega

A corda de um ângulo subentende o arco do ângulo.

Os matemáticos helênicos fizeram uso da corda. Dados um círculo e um arco nesse círculo, a corda é a linha que subentende o arco. Um bissetor perpendicular da corda pasa através do centro do círculo e bissecciona o ângulo. Uma metade da corda bisseccionada e o seno do ângulo bisseccionado, isto é, $\mbox{crd}\ \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ , e consequentemente a função seno é também conhecida como "meia corda". Devido a essa relação, muitas das identidades trigonométricas e teoremas conhecidos hoje também o eram aos matemáticos [[Civilização helenística|helênicos]s, mas na sua forma equivalente de corda.^[5]

Apesar de que não há nenhuma trigonometria nos trabalhos de Euclides e de Arquimedes, estritamente falando, existem teoremas apresentados de uma forma geométrica que equivalentes a fórmulas ou leis trigonométricas.^[3] Por exemplo, as proposições 12 e 13 dos Elementos são a lei dos cossenos para ângulos agudos e obtusos, respectivamente. Teoremas a respeito do comprimento das cordas são aplicações da lei dos senos. E o teorema de Arquimedes sobre cordas rompidas é equivalente às fórmulas para o seno de somas e diferenças de ângulos.^[3] Para compensar a falta de uma tabela de cordas, os matemáticos da época de Aristarco de Samos ás vezes usavam um conhecido teorema, que, na notação moderna, sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β sempre que 0° < β < α < 90°, dentre outros.^[6]

A primeira tabela trigonométrica aparentemente foi compilada por Hiparco de Nicéia (180 - 125 BC), que é agora conhecido como o "pai da trigonometria."^[7] Hipparchus was the first to tabulate the corresponding values of arc and chord for a series of angles.^[7]^[1]

Uma representação medieval de Claudius Ptolomeu

Apesar de não se saber quando o uso sistemático do círculo de 360° passou a fazer parte da matemática, é sabido que sua introdução se deu um pouco depois de Aristarco de Samos ter escrito Sobre os Tamanhos e Distâncias do Sol e da Lua (ca. 260 AC.), uma vez que ele mede o ângulo em termos da fração de um quadrante.^[6] Parece que o uso sistemático do círculo de 360° é em boa medida devido a Hiparco e sua tabela de cordas. Hiparco pode ter tirado a idéia dessa divisão de Hypsicles que tinha anteriormentedividido o dia em 360 partes, uma divisão do dia que deve ter sido sugerida pela astronomia babilônica.^[8] In ancient astronomy, the zodiac had been divided into twelve "signs" or thirty-six "decans". A seasonal cycle of roughly 360 days could have corresponded to the signs and decans of the zodiac by dividing each sign into thirty parts and each decan into ten parts.^[2] It is due to the Babylonian sexagesimal number system that each degree is divided into sixty minutes and each minute is divided into sixty seconds.^[2]

Menelau de Alexandria (ca. 100 A.C.) escreveu em três livros chamados Sphaerica. No Livro I, ele estabelece uma base para triângulos esféricos análogos à base de Euclides para os triângulos planos.^[5] Ele estabeleceu um teorema sem análogo em Euclides, que dois triângulos esféricos são congruentes se os ângulos correnpondentes sao iguais, no entanto, ele não estabeleceu uma distinção entre triângulos esféricos simétricos e congruentes.^[5] Outro teorema estabelecido por ele é que a soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior do que 180°.^[5] O Livro II de Sphaerica aplica a geometria esférica à astronomia e o Livro III contém o "teorema de Menelau".^[5] He further gave his famous "rule of six quantities".^[9]

Mais tarde, Claudius Ptolomeu (ca. 90 - ca. 168 A.D.) expandiu as Cordas em um Círculo de Hiparco no seu Almagesto, ou a Sintáxe Matemática. Os treze livros do Almagesto são os mais influentes e significativos trabalhos sobre trigonometris de toda a antiguidade.^[10] Um teorema central para o cálculo das cordas de Ptolomeu é conhecido ainda hoje como teorema de Ptolomeu e diz que a soma dos produtos de lados opostos de um quadrilátero cíclico é igual ao produto das diagonais. Um caso especial do teorema de Ptolomeu apareceu como a proposição 93 na obra Data, de Euclides. O teorema de Ptolomeu leva ao equivalente das quatro fórmulas de soma e diferença para senos e cossenos, conhecidas como fórmulas de Ptolomeu, apesar de que Ptolomeu na verdade usava cordas em vez de seno e cosseno. Ptolomeu ainda derivou o equivalente à fórmula da metade de um ângulo $\sin^2({x/2}) = \frac{1 - \cos(x)}{2}$ . Ele usou esses resultados para criar suas tabelas trigonométricas, mas se elas foram derivadas do trabalho de Hiparco não possível ser determinado.^[10]

Nem as tabelas de Hiparco nem as de Ptolome sobreviveram aos nossos dias, mas descrições delas feitas por outros autores antigos deixam pouca dúvida da sua existência.^[11]

[editar] Matemática hindu

Estátua de Aryabhata

O próximo desenvolvimento da trigonometria foi realizado na Índia. O matemático-astrônomo Aryabhata (476–550 D.C.), na sua obra Aryabhata-Siddhanta, primeiro definiu o seno como a relação moderna entre a metade de um ângulo e a metade de uma corda e então definiu o cosseno, verseno e o seno inverso. Seus trabalhos também contém as tabelas de valores de seno e verseno mais antigas que sobreviveram até nós (1 − cosine) valores, em intervalos de 3.75° de 0° até 90°, com uma precisão de 4 casas decimais. Ele usou as palavras jya para seno, kojya para cosseno, ukramajya para verseno e otkram jya para seno inverso. As palavras jya e kojya eventualmente se transformaram em seno e cosseno, respectivamente, depois de traduções equivocadas .

Outros matemáticos hindus expandiram os trabalhos de Aryabhata sobre trigonometria. No século VI, Varahamihira usou as fórmulas

$\ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
$\sin(x) = \cos\left (\frac{\pi}{2} - x\right )$
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^2(x)$

No século VII, Bhaskara I produziu uma fórmula para calcular o seno d eum ângulo agudo sem o uso de tabelas. ele também forneceu uma fórmula de aproximação para sin(x) com uma margem de erro relativa de menos de 1.9%:

$\sin x \approx \frac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad (0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} )$

Mais tarde no século VII, Brahmagupta ddesenvolveu a fórmula $\ 1 - \sin^2(x) = \cos^2(x) = \sin^2\left (\frac{\pi}{2} - x\right )$ assim como a Fórmula de interpolação de Brahmagupta para computar valores de seno.

[editar] Matemática islâmica

al-Khawarizmi representado num selo comemorativo soviético

Os trabalhos dos matemáticos hindus foram mais tarde traduzidos e expandidos no mundo islâmico por matemáticos árabes e persas. No século XIX, al-Khwārizmī produziu tabelas precisas de senos e cossenos e a primeira tabela de tangentes. Ele também foi uma pioneiro na trigonometria esférica.

Pelo século X, na obra de Abū al-Wafā' al-Būzjānī, matemáticos islâmicos estavam usando todas as seis funções rigonométricas, depois de descobrir as funções secante, cotangente e cossecante. Abu al-Wafa tinha tabelas em intervalos de 0.25°, com pecisão de 8 casas decimais e tabelas bastante precisas de valores de tangentes. Ele também desenvolveu a seguinte fórmula trigonométrica:

$\ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$

Também no século X, Al-Battani foi responsável por estabelecer um número importante de relações trigonométricas, como:

$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$

$\sec a = \sqrt{1 + \tan^2 a }$

Al-Jayyani (989–1079) de al-Andalus escreveu um tratado sobre trigonometria esférica chamado O livros dos arcos desconhecidos de uma esfera, que "contém fórmulas para triângulos retângulos especiais, a lei dos senos geral e a solução de um triângulo esférico zatravés de um triângulo polar." Mais tarde esse tratado exerceu uma "forte influência sobre a matemática européia", e sua "definição de razões como números" e "método para resolver um triângulo esférico quando todos os lados são conhecidos" provavelmente influenciaram Regiomontanus.^[12]

No século XI, Omar Khayyam (1048–1131) resolveu equações cúbicas usando soluções numéricas aproximadas encontradas por interpolações em tabelas trigonométricas.

Outros autores de assuntos trigonométricos incluem Bhaskara II e Nasir al-Din al-Tusi no século XIII. Nasir al-Din al-Tusi enunciou a lei dos senos fornecendo uma prova e também listou seis casos distintos para triângulos retângulos na trigonometria esférica.

No século XIV, Ghiyath al-Kashi forneceu tabelas trigonométricas de valores para a função seno para quatro dígitos sexagesimais (o equivalente a 8 casas decimais) para cada 1° de argumento com diferenças adicionáveis para cada 1/60 de 1°. Ulugh Beg (século XIV) também forneceu tabelas pecisas de senos e tangentes com precisão de 8 casas decimais.

O métoco da triangulação foi primeiramente desenvolvido por matemáticos muçulmanos que o deram aplicações práticas como na cartografia.^[13]

[editar] Ver também

[editar] Citações e notas de rodapé

↑ ^1,0 ^1,1 O'Connor (1996).
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Boyer (1991). “Greek Trigonometry and Mensuration”, , 166-167. “It should be recalled that form the days of Hipparchus until modern times there were no such things as trigonometric ratios. The Greeks, and after them the Hindus and the Arabs, used trigonometric lines. These at first took the form, as we have seen, of chords in a circle, and it became incumbent upon Ptolemy to associate numerical values (or approximations) with the chords. [...] It is not unlikely that the 260-degree measure was carried over from astronomy, where the zodiac had been divided into twelve "signs" or 36 "decans." A cycle of the seaons of roughly 360 days could readily be made to correspond to the system of zodiacal signs and decans by subdividing each sign into thirty parts and each decan into ten parts. Our common system of angle measure may stem from this correspondence. Moreover since the Babylonian position system for fractions was so obviously superior to the Egyptians unit fractions and the Greek common fractions, it was natural for Ptolemy to subdivide his degrees into sixty partes minutae primae, each of these latter into sixty partes minutae secundae, and so on. It is from the Latin phrases that translators used in this connection that our words "minute" and "second" have been derived. It undoubtedly was the sexagesimal system that led Ptolemy to subdivide the diameter of his trigonometric circle into 120 parts; each of these he further subdivided into sixty minutes and each minute of length sixty seconds.”
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Boyer (1991). “Greek Trigonometry and Mensuration”, , 158-159. “Trigonometry, like other branches of mathematics, was not the work of any one man, or nation. Theorems on ratios of the sides of similar triangles had been known to, and used by, the ancient Egyptians and Babylonians. In view of the pre-Hellenic lack of the concept of angle measure, such a study might better be called "trilaterometry," or the measure of three sided polygons (trilaterals), than "trigonometry," the measure of parts of a triangle. With the Greeks we first find a systematic study of relationships between angles (or arcs) in a circle and the lengths of chords subtending these. Properties of chords, as measures of central and inscribed angles in circles, were familiar to the Greeks of Hippocrates' day, and it is likely that Eudoxus had used ratios and angle measures in determining the size of the earth and the relative distances of the sun and the moon. In the works of Euclid there is no trigonometry in the strict sense of the word, but there are theorems equivalent to specific trigonometric laws or formulas. Propositions II.12 and 13 of the Elements, for example, are the laws of cosines for obtuse and acute angles respectively, stated in geometric rather than trigonometric language and proved by a method similar to that used by Euclid in connection with the Pythagorean theorem. Theorems on the lengths of chords are essentially applications of the modern law of sines. We have seen that Archimedes' theorem on the broken chord can readily be translated into trigonometric language analogous to formulas for sines of sums and differences of angles.”
↑ Joseph, pp. 383–4.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 Boyer (1991). “Greek Trigonometry and Mensuration”, , 163. “In Book I of this treatise Menelaus establishes a basis for spherical triangles analogous to that of Euclid I for plane triangles. Included is a theorem without Euclidean analogue - that two spherical triangles are congruent if corresponding angles are equal (Menelaus did not distinguish between congruent and symmetric spherical triangles); and the theorem A + B + C > 180° is established. The second book of the Sphaerica describes the application of spherical geometry to astronomical phenomena and is of little mathematical interest. Book III, the last, contains the well known "theorem of Menelaus" as part of what is essentially spherical trigonometry in the typical Greek form - a geometry or trigonometry of chords in a circle. In the circle in Fig. 10.4 we should write that chord AB is twice the sine of half the central angle AOB (multiplied by the radius of the circle). Menelaus and his Greek successors instead referred to AB simply as the chord corresponding to the arc AB. If BOB' is a diameter of the circle, then chord A' is twice the cosine of half the angle AOB (multiplied by the radius of the circle).”
↑ ^6,0 ^6,1 Boyer (1991). “Greek Trigonometry and Mensuration”, , 159. “Instead we have an Aristarchan treatise, perhaps composed earlier (ca. 260 B.C.), On the Sizes and Distances of the Sun and Moon, which assumes a geocentric universe. In this work Aristarchus made the observation that when the moon is just half-full, the angle between the lines of sight to the sun and the moon is less than a right angle by one thirtieth of a quadrant. (The systematic introduction of the 360° circle came a little later. In trigonometric language of today this would mean that the ratio of the distance of the moon to that of the sun (the ration ME to SE in Fig. 10.1) is sin 3°. Trigonometric tables not having being developed yet, Aristarchus fell back upon a well-known geometric theorem of the time which now would be expressed in the inequalities sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, where 0° < β < α < 90°.)”
↑ ^7,0 ^7,1 Boyer (1991). “Greek Trigonometry and Mensuration”, , 162. “For some two and a half centuries, from Hippocrates to Eratosthenes, Greek mathematicians had studied relationships between lines and circles and had applied these in a variety of astronomical problems, but no systematic trigonometry had resulted. Then, presumably during the second half of the second century B.C., the first trigonometric table apparently was compiled by the astronomer Hipparchus of Nicaea (ca. 180-ca. 125 B.C.), who thus earned the right to be known as "the father of trigonometry." Aristarchus had known that in a given circle the ratio of arc to chord decreases from 180° to 0°, tending toward a limit of 1. However, it appears that not until Hipparchus undertook the task had anyone tabulated corresponding values of arc and chord for a whole series of angles.”
↑ Boyer (1991). “Greek Trigonometry and Mensuration”, , 162. “It is not known just when the systematic use of the 360° circle came into mathematics, but it seems to be due largely to Hipparchus in connection with his table of chords. It is possible that he took over from Hypsicles, who earlier had divided the day into parts, a subdivision that may have been suggested by Babylonian astronomy.”
↑ Needham, Volume 3, 108.
↑ ^10,0 ^10,1 Boyer (1991). “Greek Trigonometry and Mensuration”, , 164-166. “O teorema de Menelau desempenhou um papel fundamental na trigonometria esférica e na astronomia, mas apesar disso, o trabalho trigonométrico de longe o mais influente de toda a antiguidade foi elaborado por Ptolomeu de Alexandria aproximadamente meio século depois de Menelau. [...] A respeito da vida do autor temos tão pouca informação quanto sobre a vida do autor dos Elementos. Não sabemos onde nem quando nasceram. Sabemos que Ptolomeu fez observações em Alexandria de 127 a 151 DC. e, portanto, assumimos que ele tenha nascido no começo do primeiro séculot. Suidas, um escritor que viveu no século X, relatou que Ptolomeu era vivo no reinado de Marco Aurélio (imperador romano de 161 a 180 DC.).
Presume-se que o Almagesto de Ptolomeu deva muito de seu método às Cordas em um Círculo de Hiparco, mas exatamente quanto é difícil saber. Está claro que na astronomia Ptolomeu fez uso do catálogo de posições estelares de Hiparco, mas se as tabelas trigonomátricas de Ptlomeu foram ou não derivadas em grande parte de seu eminente antecessor não pode ser determinado. [...] Central para os cálculos das cordas de Ptolomeu foi uma proposição geométrica ainda conhecida como o teorema de Ptolomeu: [...] isto é, a soma do produto dos lados opostos de um quadrilátero cíclico é igual ao produto de suas diagonais. [...] Um caso especial do teorema de Ptolomeu apareceu na obra Data de euclides (Proposição 93): [...] O teorema de Ptolomeu, portanto, leva ao resultado sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin Β. Um raciocínio similar nos leva à fórmula [...] Essas quatro fórmulas de soma e diferença consequentemente são frequentemente conhecidas hoje como fórmulas de Ptolomeu.
Foi a fórmula o seno da diferença de dois ângulos - ou, mais precisamente, a corda da diferença - que Ptolomeu percebeu ser extremamente útil para construir sua tabela. Outra fórmula que em muito o ajudou foi uma equivalente da nossa fórmula para o seno da metade de um ângulo.”
↑ Boyer, pp. 158–168.
↑ Predefinição:MacTutor
↑ Donald Routledge Hill (1996), "Engineering", in Roshdi Rashed, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 3, p. 751-795 [769].

[editar] Referências

Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc..
Gauchet, L. (1917). Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King.
Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
Katz, Victor J. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691114854.
Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd.
O'Connor, J.J., and E.F. Robertson, "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics Archive. (1996).
O'Connor, J.J., and E.F. Robertson, "Madhava of Sangamagramma", MacTutor History of Mathematics Archive. (2000).
Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma", MacTutor History of Mathematics Archive. (2002).
Restivo, Sal. (1992). Mathematics in Society and History: Sociological Inquiries. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 1402000391.

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