Função trigonométrica

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Função	Abreviatura	Identidade trigonométrica
Seno	sen (ou sin)	$\sin \theta \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\csc \theta}\,$
Co-seno	cos	$\cos \theta \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}\,$
Tangente	tan (ou tg)	$\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\cot \theta} \,$
Co-secante	csc (ou cosec)	$\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\sin \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta} \,$
Co-tangente	cot (ou ctg ou ctn)	$\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\tan \theta} \,$

Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo rectângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática moderna. Estas funções recebem definições ainda mais gerais, como na forma séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste últimos caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como para ângulos complexos.

No uso moderno, existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela ao lado.

As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas.

Índice

1 Definição do triângulo retângulo
2 Definição no ciclo trigonométrico
- 2.1 Relação fundamental
- 2.2 Definições geométricas
3 Ângulos notáveis
4 Funções elementares
5 Definições analíticas
- 5.1 Soma de arcos

[editar] Definição do triângulo retângulo

A fim de definir as funções trigométricas de um ângulo agudo não nulo $\alpha\,$ , considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a $\alpha\,$ . As funções são definidas como:

Triângulo retângulo indicando a hipotenusa e os catetos.

$\begin{array}{rclcl} \sin \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{b}{h}\\ ~\\ \cos \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{hipotenusa}}&=&\frac{a}{h}\\ ~\\ \tan \alpha &=& \frac{\hbox{cateto oposto}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{b}{a}\\ ~\\ \cot \alpha &=& \frac{\hbox{cateto adjacente}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{a}{b}\\ ~\\ \sec \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto adjacente}}&=&\frac{h}{a}\\ ~\\ \csc \alpha &=& \frac{\hbox{hipotenusa}}{\hbox{cateto oposto}}&=&\frac{h}{b} \end{array}\,$

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo. Isto é uma conseqüência do teorema de Tales.

[editar] Definição no ciclo trigonométrico

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo $\theta\,$ real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto $(x,y)\,$ pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que:

$x^2 + y^2=1\quad (1)\,$

E, ainda, para cada ângulo $\theta\,$ existe um único ponto P pertencente ao círculo tal que a segmento $\overline{OP}\,$ faz um ângulo $\theta\,$ com o eixo x.

Neste caso, o seno é defido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ sobre o eixo y. O co-seno é definido como a projeção do segmento $\overline{OP}\,$ com o eixo x. Isto é:

$\sin\theta=y\quad \cos\theta=x\quad (2)\,$

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:

$\begin{array}{rclrcl} \tan \theta &=& \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\quad & \sec \theta &=& \frac{1}{\cos \theta}\\~\\ \csc\, \theta &=& \frac{1}{\sin \theta}\quad & \cot\, \theta &=& \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\end{array}$

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.

[editar] Relação fundamental

Observa-se diretamente de (1) e (2) a relação fundamental entre o co-seno e o seno de um ângulo $\theta\,$ :

$\sin^2\theta+\cos^2\theta =1\,$

[editar] Definições geométricas

Alternativamente, todas as funções trigonométricas podem ser definidas geometricamente conforme figura ao lado. Observe que o triângulo OAE é retângulo e o cateto AO é unitário e o cateto AE é oposto ao ângulo $\theta\,$ e portanto, sendo OE a hipotenusa deste triângulo, temos:

$\tan\theta=\frac{~~\overline{AE}~~}{\overline{AO}}=\overline{AE},\quad \sec\theta=\frac{~~\overline{OE}~~}{\overline{AO}}=\overline{OE}\,$

O triângulo AOF também é retângulo, sendo o cateto AO unitário, a hipotenusa OF e o ângulo AFO igual a $\theta\,$ , portanto:

$\cot\theta=\frac{~~\overline{AF}~~}{\overline{AO}}=\overline{AF},\quad \csc\theta=\frac{~~\overline{OF}~~}{\overline{AO}}=\overline{OF}\,$

[editar] Ângulos notáveis

Podemos calcular as funções trigonométricas para os ângulos de 30 e 60 graus através de um triângulo equilátero partido ao meio por sua altura.

$\begin{array}{rclcrcl} \sin 30^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2},\quad& \sin 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\~\\ \cos 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},& \cos 60^o &=& \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\~\\ \tan 30^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3},& \tan 60^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\~\\ \cot 30^o &=& \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},& \cot 60^o &=& \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\~\\ \sec 30^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3},& \sec 60^o &=& \frac{1}{1/2}=2\\~\\ \csc 30^o &=& \frac{1}{1/2}=2,& \csc 60^o &=& \frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \,$

As funções trigonométricas para o ângulo de 45 graus podem ser calculadas com o auxílio de um triângulo retângulo isósceles de catetos 1, cuja hipotenusa vale (pelo teorema de Pitágoras) $\sqrt{2}\,$ .

$\begin{array}{rclcrcl} \sin 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad& \cos 45^o &=& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\~\\ \tan 45^o &=& \frac{1}{1}=1,\quad& \cot 45^o &=& \frac{1}{1}=1\\~\\ \sec 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2},\quad& \csc 45^o &=& \frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2} \end{array} \,$

[editar] Funções elementares

[editar] Função Seno

Gráfico de f(x) = sen x

f(x) = sen x

Associa a cada número real x o número $y = \operatorname{sen}\, x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2π$ . Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função $f(x) = \operatorname{sen}\, x$ , a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a $2π$ , portanto o período é 2 $π$ .

[editar] Função Co-Seno

Gráfico de f(x) = cos x

f (x) = cos x

Associa a cada número real x o número $y = c o s x$

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: $D = R$
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: $\operatorname{Im} = [-1, 1]$
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a $2π$ . Esse intervalo é denominado cosenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da cosenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cosenóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a $2π$ , portanto o período é $2π$ .

[editar] Função Tangente

Gráfico de f(x) = tg x

$f(x) = \operatorname{tg}\, x$

Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de $cos x = 0$ (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o coseno.
Conjunto Imagem: $\operatorname{Im} = \left]-\infty, \infty \right[$
Gráfico:
Período: $π$

[editar] Definições analíticas

Funções trigonométricas: Verde - Co-seno, Azul - Seno, Vermelho - Tangente, Amarelo - Co-secante, Magenta - Secante, Ciano - Cotangente

Pode-se definir as funções $\operatorname{sen}(x)$ e $cos(x)$ pelas séries de taylor a seguir:

$\operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}$

Estas séries têm raio de convergência infinito e portanto definem as funções em todos os reais e também em todos os complexos.

As propriedades usuais destas funções podem ser inferidas diretamente das definições acima.

[editar] Soma de arcos

Sejam x e y quaisquer então:

$\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}(x)\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\cos(x)$

Dem.: $\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}(x+y)^{2n+1}$

Usando o binômio de Newton:

$\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\sum_{l=0}^{2n+1}{2n+1 \choose l}x^l y^{2n+1-l}$

A convergência uniforme nos permite rearanjar os termos:

$\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{l\text{ ímpar}}x^l\sum_{n=(l-1)/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}{2n+1 \choose l}y^{2n}+\sum_{l\text{ par}}x^l\sum_{n=l/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}{2n+1 \choose l}y^{2n+1}$

$\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{l\text{ impar}}x^l\sum_{n=(l-1)/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{l!(2n+1-l)!}y^{2n+1-l}+\sum_{l\text{ par}}x^l\sum_{n=l/2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{l!(2n+1-l)!}y^{2n+1-l}$

Escreva (l=2i+1) no primeiro somatório e (l=2i) no segundo.

$\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{i}^{\infty}x^{(2i+1)}\sum_{n=i}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2i+1)!(2n-2i)!}y^{2n-2i}+\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}\sum_{n=i}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2i)!(2n+1-2i)!}y^{2n-2i}$

Substitua $n < - n + i$ :

$\operatorname{sen}(x+y)=\sum_{i}^{\infty}x^{(2i+1)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+i}}{(2i+1)!(2n)!}y^{2n}+\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+i}}{(2i)!(2n+1)!}y^{2n}$

$\operatorname{sen}(x+y)=\left(\sum_{i}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{(2i+1)}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}y^{2n}\right)+\left(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}y^{2n}\right)$

E assim: $\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen}(x)\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\cos(x)$

Trigonometria
História Utilidade Funções Funções inversas Aprofundamento
Referência
Lista de identidades Constantes exatas Geração de tabelas trigonométricas CORDIC
Teoria euclidiana
Lei dos senos Lei dos cossenos Lei das tangentes Teorema de Pitágoras
Cálculo
A Integral trigonométrica Substituição trigonométrica Integrais de funções Integrais de inversas

Categorias: Funções matemáticas | Trigonometria

Amazon - Audible - Barnes and Noble - Everand - Kobo - Storytel

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.