Plano complejo

Representación geométrica de y su conjugado en el plano complejo. La distancia a lo largo de la línea de color azul claro desde el origen hasta el punto z es el módulo o valor absoluto de z. El ángulo φ es el argumento de z.

En matemáticas , el complejo de avión o z plano H es una representación geométrica de los números complejos establecidas por el eje real y el eje imaginario ortogonal. Se puede considerar como una versión modificada plano cartesiano , con la parte real de un número complejo representado por un desplazamiento a lo largo del eje x, y la parte imaginaria por un desplazamiento a lo largo del eje y.

El plano complejo se denomina a veces el plano de Argand porque se utiliza en los diagramas de Argand. Estos llevan el nombre de Jean-Robert Argand (1768-1822), a pesar de que fueron descritos por primera vez por agrimensor noruego-danés y matemático Caspar Wessel (1745-1818). Diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de la postes y ceros de una función en el plano complejo.

El concepto del plano complejo permite una interpretación geométrica de los números complejos . Bajo Además , agregan como vectores . La multiplicación de dos números complejos se puede expresar más fácilmente en coordenadas polares - la magnitud o módulo del producto es el producto de los dos valores absolutos , o módulos, y el ángulo o argumento del producto es la suma de los dos ángulos, o argumentos. En particular, la multiplicación por un número complejo de módulo 1 actúa como una rotación.

Convenciones de notación

En análisis complejo de los números complejos son habitualmente representado por el (y) partes imaginarias, como este símbolo z, que se puede separar en su real (x) y:

por ejemplo: z = 4 + i 5,

donde x e y son números reales, e i es la unidad imaginaria . En esta notación habitual el número complejo z corresponde al punto (x, y) en el plano cartesiano .

En el plano cartesiano el punto (x, y) puede también ser representado en coordenadas polares como

En el plano cartesiano se puede suponer que la arcotangente toma valores de - π / 2 a π / 2 (en radianes ), y algunos se debe tener cuidado para definir la función real arcotangente para los puntos (x, y) cuando x ≤ 0. En el plano complejo estas coordenadas polares toman la forma

donde

Aquí | z | es el valor absoluto o módulo del número complejo z, θ, el argumento de z, se toma generalmente en el intervalo de 0 ≤ θ <2 π; y la última igualdad (para | z | e ^iθ) se toma de La fórmula de Euler. Observe que el argumento de z es de varios valores, debido a que la función exponencial compleja es periódica, con periodo de 2 πi. Por lo tanto, si θ es un valor de arg (z), los otros valores son dados por arg (z) = θ + 2 nπ, donde n es cualquier número entero ≠ 0.

La teoría de la la integración de contorno comprende una parte importante de análisis complejo. En este contexto, la dirección de desplazamiento alrededor de una curva cerrada es importante - la inversión de la dirección en la que la curva es atravesada multiplica el valor de la integral por -1. Por convención la dirección positiva es hacia la izquierda. Por ejemplo, el círculo unidad se recorre en sentido positivo cuando empezamos en el punto z = 1, luego viajar hacia arriba ya la izquierda por el punto z = i, luego hacia abajo y hacia la izquierda a través de -1, luego hacia abajo y hacia la derecha a través de - i, y, finalmente, hacia arriba ya la derecha de z = 1, donde empezamos.

Casi todos los análisis complejo tiene que ver con funciones complejas - es decir, con las funciones que se asignan algún subconjunto del plano complejo en algún otro subconjunto (posiblemente superposición, o incluso idénticos) del plano complejo. Aquí se acostumbra a hablar de la dominio de f (z) como la mentira en el plano xy z, al referirse a la rango o la imagen de f (z) como un conjunto de puntos en el plano xy w. En símbolos escribimos

y, a menudo pensar en la función f como una transformación del plano xy z (con coordenadas (x, y)) en el plano xy w (con coordenadas (u, v)).

Proyecciones Stereographic

Puede ser útil pensar en el plano complejo como si ocupaba la superficie de una esfera. Dada una esfera de radio unidad, poner el plano complejo derecha a través del centro de la misma, por lo que el centro de la esfera coincide con el origen z = 0 del plano complejo, y el ecuador de la esfera coincide con el círculo unidad en el plano .

Podemos establecer una uno-a-uno correspondencia entre los puntos de la superficie de la esfera y los puntos en el plano complejo de la siguiente manera. Dado un punto en el plano, dibujar una línea recta que conecta con el polo norte en la esfera. Esa línea cruzará la superficie de la esfera en exactamente un otro punto. El punto z = 0 se proyecta sobre el polo sur de la esfera. Desde el interior del círculo unidad se encuentra dentro de la esfera, toda esa región (| z | <1) se asignará en el hemisferio sur. El propio círculo unidad (| z | = 1) se proyecta sobre el ecuador, y el exterior del círculo unidad (| z |> 1) se proyecta sobre el hemisferio norte. Es evidente que este procedimiento es reversible - dado cualquier punto de la superficie de la esfera que no es el polo norte, podemos trazar una línea recta que une este punto con el polo norte y que corta el plano liso en exactamente un punto.

Bajo esta proyección estereográfica hay un solo punto el propio polo norte - que no está asociado con ningún punto en el plano complejo. Perfeccionamos la correspondencia uno-a-uno añadiendo un punto más al plano complejo - el llamado punto en el infinito -y asociándolo con el polo norte en la esfera. Este espacio topológico, el plano complejo más el punto en el infinito, se conoce como el extendido plano complejo. Y es por eso que los matemáticos hablan de un único "punto en el infinito" cuando se habla de análisis complejo. Hay dos puntos en el infinito (positivo y negativo) en la línea número real, pero sólo hay un punto en el infinito (el polo norte) en el plano complejo extendido.

Imagine por un momento lo que va a pasar con las líneas de latitud y longitud cuando se proyectan desde la esfera sobre la superficie plana. Las líneas de latitud son paralelas al ecuador, por lo que se convertirá en círculos perfectos centradas en el origen z = 0. Y las líneas de longitud se convertirá en líneas rectas que pasan por el origen (y también a través del "punto en el infinito", ya que a su paso por el norte y el polo sur de la esfera).

Esta no es la única situación posible estereográfica todavía plausible de la proyección de una esfera sobre un plano que consta de dos o más valores. Por ejemplo, el polo norte de la esfera puede ser colocado en la parte superior de la z = -1 origen en un plano que es tangente al círculo. Los detalles no importan realmente. Cualquier proyección estereográfica de una esfera sobre un plano producirá un "punto en el infinito", y será mapear las líneas de latitud y longitud en la esfera en círculos y líneas rectas, respectivamente, en el plano.

Cortar el avión

Cuando se habla de las funciones de una variable compleja a menudo es conveniente pensar en un corte en el plano complejo. Esta idea surge de forma natural en varios contextos diferentes.

Las relaciones y los puntos de ramificación de múltiples valores

Considere la simple relación de dos valores

Antes de que podamos tratar esta relación como un solo valor de función , el rango del valor resultante debe ser restringida de alguna manera. Cuando se trata de las raíces cuadradas de los números reales no negativos esto se hace fácilmente. Por ejemplo, sólo podemos definir

para ser el número real y no negativa tal que y = x ^2. Esta idea no funciona tan bien en el plano complejo bidimensional. Para ver por qué, vamos a pensar en la forma en que el valor de f (z) varía según los puntos z se mueve alrededor del círculo unitario. Podemos escribir

Evidentemente, como z se mueve todo el camino alrededor del círculo, w sólo traza una mitad del círculo. Así que un movimiento continuo en el plano complejo ha transformado la raíz cuadrada positiva e ⁰ = 1 en la negativa raíz cuadrada e ^iπ = -1.

Este problema surge porque el punto z = 0 tiene sólo una raíz cuadrada, mientras que todos los demás número complejo z ≠ 0 tiene exactamente dos raíces cuadradas. En la línea número real podríamos evitar este problema mediante la construcción de una "barrera" ante la ventanilla única x = 0. Se necesita una barrera más grande en el plano complejo, para evitar cualquier contorno cerrado desde completamente rodea la punto de ramificación z = 0. Esto comúnmente se realiza mediante la introducción de una rama cortada; en este caso el "corte" podría extenderse desde el punto z = 0 a lo largo del eje real positivo hasta el punto en el infinito, de modo que el argumento de la variable z en el plano de corte está limitada a la gama 0 ≤ arg (z) < 2 π.

Ahora podemos dar una descripción completa de w = z ^½. Para ello necesitamos dos copias del plano xy z, cada uno de ellos cortado a lo largo del eje real. En una copia definimos la raíz cuadrada de 1 a ser ⁰ e = 1, y por el otro definimos la raíz cuadrada de 1 a ser ^iπ e = -1. Llamamos a estos dos copias de las hojas de plano de corte completos. Al hacer un argumento de continuidad vemos que la función (valora ahora solo) w = z ^½ mapas de la primera hoja en la mitad superior de la w plano xy, donde 0 ≤ arg (w) <π, mientras que el mapeo de la segunda hoja en la mitad inferior de la w plano xy (donde π ≤ arg (w) <π 2).

La rama cortada en este ejemplo no tiene que mentir a lo largo del eje real. Ni siquiera tiene que ser una línea recta. Cualquier curva continua que conecta el origen z = 0 con el punto en el infinito funcionaría. En algunos casos, el corte de la rama ni siquiera tiene que pasar por el punto en el infinito. Por ejemplo, considere la relación

Aquí el polinomio z ² - 1 se desvanece cuando z = ± 1, por lo que g tiene, evidentemente, dos puntos de ramificación. Podemos "cortar" el plano a lo largo del eje real, de -1 a 1, y obtener una hoja en la que g (z) es una función de un solo valor. Alternativamente, el corte se puede ejecutar desde z = 1 a lo largo del eje real positivo a través del punto en el infinito, y luego continuar hacia "arriba" el eje real negativo al otro punto de ramificación, z = -1.

Esta situación es más fácil de visualizar usando la proyección estereográfica descrito anteriormente . En el ámbito de uno de estos cortes corre longitudinalmente a través del hemisferio sur, que une un punto en el ecuador (z = -1) con otro punto del ecuador (z = 1), y que pasa por el polo sur (el origen, z = 0) en el camino. La segunda versión de la corte corre longitudinalmente a través del hemisferio norte y conecta los mismos dos puntos ecuatoriales pasando a través del polo norte (es decir, el punto en el infinito).

Restringir el dominio de las funciones meromorfas

La meromorphic función es una función compleja que es holomorphic y por lo tanto analítica en todas partes en su dominio no es en un finito, o infinito numerable, número de puntos. Los puntos en los que tal función no se puede definir son llamados los polos de la función meromorphic. A veces, todos estos polos se encuentran en una línea recta. En ese caso, los matemáticos pueden decir que la función es "holomorfa en el plano de corte". He aquí un ejemplo sencillo.

La función gamma, definido por

donde γ es el Constante de Euler-Mascheroni, y tiene polos simples a 0, -1, -2, -3, ... porque exactamente un denominador en el producto infinito se desvanece cuando z es cero, o un entero negativo. Dado que todos sus polos se encuentran en el eje real negativo, desde z = 0 hasta el punto en el infinito, esta función podría ser descrito como

"Holomorphic en el plano de corte, el corte que se extiende a lo largo del eje real negativo, desde 0 (inclusive) hasta el punto en el infinito."

Alternativamente, Γ (z) puede ser descrito como

"Holomorfa en el plano de corte con - π <arg (z) <π y excluyendo el punto z = 0."

Observe que este corte es ligeramente diferente de la rama cortada que ya hemos encontrado, ya que en realidad excluye el eje real negativo del plano de corte. El corte rama izquierda del eje real conectado con el plano de corte en un lado (0 ≤ θ), pero cortada desde el plano de corte a lo largo del otro lado (θ <2 π).

Por supuesto, no es realmente necesario excluir a todo el segmento de línea desde z = 0 a -∞ a construir un dominio en el que Γ (z) es holomorfa. Todo lo que realmente tenemos que hacer es perforar el avión en un conjunto infinito numerable de puntos {0, -1, -2, -3, ...}. Pero un contorno cerrado en el plano perforado podría rodear uno o más de los polos de Γ (z), dando una integral de contorno que no es necesariamente cero, por la teorema de los residuos. Al cortar el plano complejo aseguramos no sólo que Γ (z) es holomorfa en este dominio restringido - también nos aseguramos de que la integral de contorno de Γ sobre cualquier curva cerrada situada en el plano de corte es idénticamente igual a cero. Y esto puede ser importante en algunos argumentos matemáticos.

Especificación de las regiones de convergencia

Muchas de las funciones complejas se definen por serie infinita, o por fracciones continuas. Una consideración fundamental en el análisis de estas expresiones infinitamente larga es la identificación de la parte del plano complejo en el que convergen a un valor finito. Un corte en el plano puede facilitar este proceso, como muestran los siguientes ejemplos.

Considere la función definida por la serie infinita

Desde z ² = (- z) ² para cada número complejo z, es claro que f (z) es una incluso en función de z, por lo que el análisis puede limitarse a un medio del plano complejo. Y desde que la serie no está definido cuando

tiene sentido para cortar el plano a lo largo de todo el eje imaginario y establecer la convergencia de esta serie, donde la parte real de z no es cero antes de emprender la más ardua tarea de examinar f (z) cuando z es un número imaginario puro.

En este ejemplo, el corte es una mera conveniencia, porque los puntos en los que no está definida la suma infinita son aisladas, y el plano de corte puede ser reemplazado con un plano adecuadamente perforado. En algunos contextos es necesario, y no sólo conveniente el corte. Considere la fracción continua periódica infinita

Ella Puede demostrarse que f (z) converge a un valor finito si y sólo si z no es un número real negativo tal que z <-¼. En otras palabras, la región de convergencia para esta fracción continua es el plano de corte, cuando el corte se ejecuta a lo largo del eje real negativo, desde -¼ hasta el punto en el infinito.

Pegando el plano de corte de nuevo juntos

Hemos visto ya cómo la relación

se puede hacer en una función de un solo valor dividiendo el dominio de f en dos hojas desconectados. También es posible para "pegar" esos dos hojas de nuevo juntos para formar una sola superficie de Riemann en la que f (z) = z ^media se puede definir como una función holomorfa cuya imagen es el entero w plano xy (excepto para el punto w = 0). He aquí cómo funciona.

Imagínese dos copias del plano complejo cortar, los cortes que se extienden a lo largo del eje real positivo desde z = 0 hasta el punto en el infinito. En una hoja de definir 0 ≤ arg (z) <2 π, por lo que 1 ^1/2 = e ⁰ = 1, por definición. En la segunda hoja de definir 2 π ≤ arg (z) <4 π, de modo que 1 ^1/2 = e ^iπ = -1, de nuevo por definición. Ahora voltear la segunda hoja al revés, de modo que los puntos de eje imaginario en la dirección opuesta del eje imaginario en la primera hoja, con ambos ejes reales que apuntan en la misma dirección, y "pegamento" las dos láminas entre sí (de modo que el borde en la primera hoja de la etiqueta "θ = 0" está conectado a la arista etiquetada "θ <π 4" en la segunda hoja, y el borde de la segunda hoja de la etiqueta "θ = 2 π" está conectado a la arista etiquetada "θ <2 π "en la primera hoja). El resultado es el dominio superficie de Riemann en el que f (z) = z ^media es de un solo valor y holomorfa (excepto cuando z = 0).

Para entender por qué f es de un solo valor en este campo, imaginar un circuito alrededor de la circunferencia unidad, comenzando con z = 1 en la primera hoja. Cuando 0 ≤ θ <2 π todavía estamos en la primera hoja. Cuando θ = 2 π hemos cruzado en la segunda hoja, y estamos obligados a hacer una segunda vuelta completa alrededor del punto de ramificación z = 0 antes de volver a nuestro punto de partida, donde θ = 4 π es equivalente a θ = 0, porque de la forma en que pegamos las dos hojas juntas. En otras palabras, como la variable z hace dos vueltas completas alrededor del punto de ramificación, la imagen de z en el plano xy w traza sólo un círculo completo.

Diferenciación formal muestra que

desde la que se puede concluir que existe la derivada de f y es finito por todas partes en la superficie de Riemann, excepto cuando z = 0 (es decir, f es holomorfa, excepto cuando z = 0).

¿Cómo puede la superficie de Riemann para la función

También se discutió anteriormente , se construirá? Una vez más, comenzamos con dos copias del plano xy z, pero esta vez cada uno se corta a lo largo del segmento de recta real se extiende desde z = -1 a z = 1 - estos son los dos puntos de ramificación de g (z). Nos lanzamos una de ellas boca abajo, por lo que los dos ejes imaginarios apuntan en direcciones opuestas, y pegamos los bordes correspondientes de las dos hojas de corte juntos. Podemos comprobar que g es una función de un solo valor en esta superficie mediante el trazado de un circuito alrededor de un círculo de radio unidad centrada en z = 1. Comenzando en el punto z = 2 en la primera hoja damos vuelta a mitad de camino alrededor del círculo antes de encontrarse con el cortar en z = 0. Las fuerzas de corte nos en la segunda hoja, de manera que cuando z ha trazado una vuelta completa alrededor del punto de ramificación z = 1, w ha tomado sólo la mitad de una vuelta completa, el signo de w tiene ha revertido (ya que e ^iπ = -1), y nuestro camino nos ha llevado al punto z = 2 en la segunda hoja de la superficie. Continuando a través de otro medio a su vez nos encontramos con el otro lado del corte, en donde z = 0, y finalmente llegar a nuestro punto de partida (z = 2 en la primera hoja) después de hacer dos vueltas completas alrededor del punto de ramificación.

La forma natural de la etiqueta θ = arg (z) en este ejemplo es establecer - π <θ ≤ π en la primera hoja, con π <θ ≤ 3 π en la segunda. Los ejes imaginarios sobre las dos hojas apuntan en direcciones opuestas, de modo que el sentido antihorario de rotación positiva se conserva como un contorno cerrado se mueve de una hoja a la otra (recuerda, la segunda hoja está al revés). Imagínese esta superficie incrustado en un espacio tridimensional, con las dos hojas paralelas al plano xy xy. Entonces parece que hay un agujero vertical en la superficie, donde los dos cortes se unen entre sí. ¿Y si el corte se hace desde z = -1 por el eje real hasta el punto en el infinito, y desde z = 1, el eje real hasta que el corte se reúne en sí? . Una vez más una superficie de Riemann se puede construir, pero esta vez el "agujero" es horizontal hablando Topológicamente , ambas versiones de esta superficie de Riemann son equivalentes - son superficies bidimensionales orientables de un género.

El uso del plano complejo en la teoría de control

En la teoría de control , un uso del plano complejo se conoce como el 'plano s'. Se utiliza para visualizar las raíces de la ecuación que describe el comportamiento de un sistema (la ecuación característica) gráficamente. La ecuación se expresa normalmente como un polinomio en el parámetro 's' de la Transformada de Laplace, de ahí el nombre de 's' avión.

Otro uso relacionado del plano complejo es con el Criterio de estabilidad de Nyquist. Este es un principio geométrico que permite la estabilidad de un sistema de control que será determinado por la inspección de una Diagrama de Nyquist de su respuesta de frecuencia de fase (o función de transferencia) en el plano complejo.

El 'plano z' es una versión de tiempo discreto del plano s, donde z transformadas se utilizan en lugar de la transformación de Laplace.

Otros significados de "plano complejo"

En las secciones anteriores de este artículo se refieren a el plano complejo como el análogo geométrica de los números complejos. Aunque este uso del término "plano complejo" tiene una larga y rica historia matemáticamente, es de ninguna manera el único concepto matemático que puede ser caracterizado como "el plano complejo". Hay por lo menos tres posibilidades adicionales.

1. 1 + 1 dimensiones El espacio de Minkowski, también conocido como el plano de división compleja, es un "plano complejo" en el sentido de que el algebraica números-split complejo se pueden separar en dos componentes reales que son fácilmente asociado con el punto (x, y) en el plano cartesiano.
2. El conjunto de números duales sobre los reales también pueden ser colocados en correspondencia de uno a uno con los puntos (x, y) del plano cartesiano, y representan otro ejemplo de un "plano complejo".
3. El espacio vectorial C × C, la Producto cartesiano de los números complejos con ellos mismos, es también un "plano complejo" en el sentido de que es un espacio vectorial de dos dimensiones cuyas coordenadas son números complejos.