Topología
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Topología ( griego topos, "lugar", y logos, "estudio") es una rama de las matemáticas que es una extensión de la geometría . Topología comienza con una consideración de la naturaleza del espacio, investigando tanto en su estructura fina y su estructura global. Topología se basa en la teoría de conjuntos , teniendo en cuenta los dos conjuntos de puntos y las familias de conjuntos.
La palabra de topología se utiliza tanto para la zona de estudio y para una familia de conjuntos con ciertas propiedades descritas a continuación que se utilizan para definir una espacio topológico. De particular importancia en el estudio de la topología son funciones o mapas que son homeomorfismos . Informalmente, estas funciones pueden ser considerados como aquellos que se extienden espacio sin destrozarlo o pegando partes bien diferenciadas entre sí.
Cuando la disciplina se fundó primero correctamente, hacia el final del siglo 19 , fue llamado geometria situs ( América geometría del lugar) y el análisis situs ( América análisis de lugar). Desde alrededor de 1925 hasta 1975 era una importante área de crecimiento dentro de las matemáticas.
La topología es una gran rama de las matemáticas que incluye muchos subcampos. La división más básica dentro de topología es punto-set topología, que investiga conceptos tales como la compacidad , conectividad, y rendición; topología algebraica, que investiga estos conceptos como homotopía y homología; y topología geométrica, que estudia las variedades y sus inmersiones, incluyendo la teoría de nudos .
Ver también: glosario topología para las definiciones de algunos de los términos utilizados en la topología y espacio topológico para un tratamiento más técnico de la materia.
Historia
La rama de las matemáticas que ahora se llama la topología se inició con la investigación de ciertas preguntas en la geometría. Leonhard Euler 's 1736 documento sobre Siete Puentes de Königsberg es considerado como uno de los primeros resultados topológicos.
El término "topologie" se introdujo en Alemania en 1847 por Johann Benedict Listing en Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Sin embargo, inmueble ya había usado la palabra durante diez años en la correspondencia. "Topología", su forma Inglés, se introdujo en 1883 en la revista Naturaleza distinguir "geometría cualitativa de la geometría ordinaria en la que las relaciones cuantitativas principalmente son tratados". El término topólogo en el sentido de un especialista en topología se utilizó en 1905 en la revista Espectador.
Topología moderna depende en gran medida de las ideas de la teoría de conjuntos , desarrollados por Georg Cantor en la última parte del siglo 19. Cantor, además de fijar abajo las ideas básicas de la teoría de conjuntos, conjuntos de puntos considerados en el espacio euclidiano , como parte de su estudio de Las series de Fourier.
Henri Poincaré publicó Análisis situs en 1895, la introducción de los conceptos de homotopía y homología, que ahora se considera parte de la topología algebraica.
Maurice Fréchet, unificando el trabajo en función de los espacios de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli y otros, introdujeron el espacio métrico en 1906. Un espacio métrico es ahora considerado como un caso especial de un espacio topológico general. En 1914, Felix Hausdorff acuñó el término "espacio topológico" y dio la definición de lo que ahora se llama un Espacio de Hausdorff. En el uso actual, un espacio topológico es una ligera generalización de los espacios de Hausdorff, dada en 1922 por Kazimierz Kuratowski.
Para los nuevos acontecimientos, véase topología punto-set y topología algebraica.
Introducción Primaria
Espacios topológicos aparecen de forma natural en casi todas las ramas de las matemáticas. Esto ha hecho que la topología de una de las grandes ideas unificadoras de las matemáticas. Topología General, o punto-conjunto topología, define y estudia las propiedades de los espacios y los mapas como conectividad, compacidad y continuidad. Topología Algebraica utiliza estructuras de álgebra abstracta , sobre todo el grupo para estudiar los espacios topológicos y los mapas entre ellos.
La visión motivadora detrás de topología es que algunos problemas geométricos no dependen de la forma exacta de los objetos involucrados, sino más bien en la forma en que se ponen juntos. Por ejemplo, el cuadrado y el círculo tienen muchas características en común: ambos son objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) y ambos se separan el plano en dos partes, la parte interior y la parte exterior.
Uno de los primeros trabajos en la topología fue la demostración, por Leonhard Euler , que era imposible encontrar una ruta por la ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado) que cruzaría cada uno de sus siete puentes exactamente una vez. Este resultado no depende de la longitud de los puentes, ni de la distancia el uno del otro, pero sólo en las propiedades de conectividad: que los puentes están conectados a qué islas o riberas. Este problema, el Siete Puentes de Königsberg, es ahora un problema famoso en matemáticas introductorias, y condujeron a la rama de las matemáticas conocida como la teoría de grafos.
Del mismo modo, la teorema de bola peluda de la topología algebraica dice que "no se puede peinar el cabello en una bola suave." Este hecho es inmediatamente convenciendo a la mayoría de la gente, a pesar de que podrían no reconocen la declaración más formal del teorema, que no hay que no se anula continuo vector tangente campo en la esfera . Al igual que con los puentes de Königsberg, el resultado no depende de la forma exacta de la esfera; se aplica a las formas de la pera y de hecho cualquier tipo de mancha (sujeto a ciertas condiciones en la suavidad de la superficie), con tal de que no tiene agujeros.
Con el fin de hacer frente a estos problemas que no dependen de la forma exacta de los objetos, hay que ser claro acerca de lo que acaba de propiedades de estos problemas no confían. De esta necesidad surge la noción de equivalencia topológica. La imposibilidad de cruzar cada puente una sola vez se aplica a cualquier disposición de puentes topológicamente equivalentes a las de Königsberg, y el teorema de bola peluda se aplica a cualquier espacio topológicamente equivalente a una esfera.
Intuitivamente, dos espacios son topológicamente equivalentes si uno puede deformarse en el otro sin cortar o encolado. Una broma tradicional es que un topólogo no puede decir la Taza de café de los cuales ella está bebiendo de la rosquilla ella está comiendo, ya que un donut suficientemente flexible podría ser reconfigurado a la forma de una taza de café mediante la creación de un hoyuelo y progresivamente la ampliación de ella, mientras que la reducción de el agujero en un mango.
Un ejercicio introductorio sencillo es clasificar las letras minúsculas del alfabeto Inglés de acuerdo con la equivalencia topológica. (Las líneas de las letras se supone que tienen ancho distinto de cero). En la mayoría de las fuentes en uso moderno, hay una clase {a, b, d, e, o, p, q} de cartas con un agujero, una clase {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z} de letras sin un agujero, y una clase {i, j} de letras que consiste de dos piezas. g o bien puede pertenecer en la clase con un agujero, o (en algunas fuentes) puede ser el único elemento de una clase de cartas con dos agujeros, dependiendo de si o no la cola está cerrada. Para un ejercicio más complicado, puede ser asumido que las líneas tienen un ancho cero; uno puede conseguir varias clasificaciones diferentes en función de los cuales se utiliza la fuente. Topología Carta es de relevancia práctica en la tipografía de la plantilla: La fuente Braggadocio, por ejemplo, se puede cortar de un avión sin desmoronarse.
Definición matemática
Sea X cualquier conjunto y sea T una familia de subconjuntos de X. Entonces T es una topología sobre X si
- Tanto el conjunto vacío y X son elementos de T.
- Cualquier unión de forma arbitraria muchos elementos de T es un elemento de T.
- Cualquier intersección de un número finito de elementos de T es un elemento de T.
Si T es una topología en X, entonces X junto con T se llama un espacio topológico.
Todos los juegos en T se denominan abrir; tenga en cuenta que, en general, no todos los subconjuntos de X tienen por qué ser en T. Un subconjunto de X se dice que es cerrado si su complemento está en T (es decir, es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos o ninguno.
Una función o un mapa de un espacio topológico a otro se llama continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto está abierto. Si la función de los mapas de los números reales a los números reales (tanto en el espacio con la topología estándar), a continuación, esta definición de continua es equivalente a la definición de continuo en el cálculo . Si una función continua es uno-a-uno y y si a la inversa de la función también es continua, entonces la función se llama un homeomorfismo y el dominio de la función se dice que es homeomorfo a la gama. Otra forma de decir esto es que la función tiene una extensión natural de la topología. Si dos espacios son homeomorfa, tienen propiedades topológicas idénticos, y se considera que son topológicamente la misma. El cubo y la esfera son homeomorfo, al igual que la taza de café y el donut. Pero el círculo no es homeomorfo a la rosquilla.
Algunos teoremas en topología general
- Cada cerrado intervalo en R de longitud finita es compacto . Más es cierto: en R n, un conjunto es compacto si y sólo si es cerrada y delimitada. (Ver Teorema de Heine-Borel).
- Cada imagen continua de un espacio compacto es compacto.
- El teorema de Tychonoff: El (arbitraria) producto de espacios compactos es compacto.
- Un subespacio compacto de un espacio de Hausdorff está cerrada.
- Cada secuencia de puntos en un espacio métrico compacto tiene una subsecuencia convergente.
- Cada intervalo en el que R es conectada.
- La imagen continua de una espacio conectado está conectado.
- La espacio métrico es Hausdorff, también normal y paracompact.
- La teoremas metrización proporcionan condiciones necesarias y suficientes para una topología de venir de una métrica.
- La Tietze extensión teorema: En un espacio normal, cada función de valor real continua definida en un subespacio cerrado se puede extender a un mapa continua definida en todo el espacio.
- La Baire categoría teorema: Si X es un completar espacio métrico o una espacio localmente compacto de Hausdorff, entonces el interior de todos los sindicatos de contablemente muchos la nada conjuntos densos está vacía.
- En un espacio paracompact Hausdorff cada cubierta abierta admite un partición de la unidad subordinada a la cubierta.
- Cada ruta-conectado, localmente trayectoria-conectado y semi-espacio localmente simplemente conectado tiene una cobertura universal.
Topología General también tiene algunas conexiones sorprendentes a otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo:
- en la teoría de números, Prueba de Furstenberg de la infinitud de los números primos.
Algunas nociones útiles a partir de la topología algebraica
Ver también lista de temas topología algebraica.
- La homología y cohomología: Números de Betti, característicos de Euler .
- Aplicaciones Intuitivamente atractivos: Brouwer teorema de punto fijo, Teorema de la bola peluda, Teorema de Borsuk-Ulam, Teorema del sándwich de jamón.
- Homotopía grupos (incluido el grupo fundamental).
- Clases de Chern, Clases de Stiefel-Whitney, Clases de Pontryagin.
Las generalizaciones
De vez en cuando, hay que utilizar las herramientas de la topología, sino un "conjunto de puntos" no está disponible. En inútil topología uno considera el lugar celosía de conjuntos abiertos como la noción básica de la teoría, mientras que Topologías Grothendieck son ciertas estructuras definidas en arbitraria categorías que permiten la definición de gavillas en esas categorías, y con que la definición de las teorías de cohomología bastante generales.
