Esfera

Una esfera.

Una esfera es un simétrico geométrico objeto. En el uso no matemática, el término se utiliza para referirse a una ronda pelota o a su bidimensional superficie. En matemáticas , una esfera es el conjunto de todos los puntos en espacio tridimensional (R ^3), que son a una distancia r de un punto fijo de ese espacio, donde r es un positivo número real llamado el radio de la esfera. Por lo tanto, en tres dimensiones, una esfera matemática se considera que es una superficie esférica de dos dimensiones incrustado en el espacio tridimensional, en lugar de el volumen contenido dentro de ella (que los matemáticos en lugar describir como una bola). El punto fijo se llama el centro o en el centro, y no es parte de la esfera en sí. El caso especial de r = 1 se denomina esfera unidad.

En este artículo se aborda el concepto matemático de una esfera. En la física , una esfera es un objeto (generalmente idealizada en aras de la simplicidad) capaz de chocar o apilar con otros objetos que ocupan espacio.

Ecuaciones en ^R3

En la geometría analítica , una esfera con centro (x _0, y _0, z ₀₎ y radio r es el locus de todos los puntos (x, y, z) tal que

Los puntos de la esfera de radio r se puede parametrizar a través de

(Véase también las funciones trigonométricas y coordenadas esféricas ).

Una esfera de cualquier radio centrado en el origen se describe mediante la siguiente ecuación diferencial :

Esta ecuación refleja el hecho de que los vectores de posición y velocidad de un punto que viajan en la esfera son siempre ortogonales entre sí.

La área de la superficie de una esfera de radio r es

entonces el radio desde área de superficie es

Su volumen es

por lo que el radio de volumen es

La esfera tiene el área de superficie más pequeña entre todas las superficies que encierran un volumen dado y que encierra el volumen más grande entre todas las superficies cerradas con un área de superficie dada. Por esta razón, la esfera aparece en la naturaleza: por ejemplo, burbujas y pequeñas gotas de agua son más o menos esférica, porque la tensión superficial minimiza localmente área de superficie.

Una imagen de una de las esferas más precisos jamás creado por los seres humanos, ya que refracta la imagen de Einstein en el fondo. Esta esfera era una cuarzo fundido giroscopio para la Gravity Probe B experimento que difiere en la forma de una esfera perfecta en no más de 40 átomos de espesor. Se piensa que sólo estrellas de neutrones son más suaves. Se anunció el 15 de junio 2007 que Australia científicos están planeando en hacer incluso las esferas más perfectas, precisas y 35 millonésimas de milímetro, como parte de una búsqueda internacional para encontrar un nuevo estándar global kilogramo .

El circunscrita cilindro para una esfera dada tiene un volumen que es 3/2 veces el volumen de la esfera, y también la parte curvada tiene un área de superficie que es igual al área de superficie de la esfera. Este hecho, junto con los de volumen y superficie fórmulas dadas anteriormente, ya era conocido por Arquímedes .

Una esfera también puede ser definida como la superficie formada por la rotación de un círculo alrededor de cualquier diámetro . Si el círculo se sustituye por una elipse , y se hace girar alrededor del eje principal, la forma se convierte en un alargada esferoide, girar alrededor del eje menor, un esferoide achatado.

Terminología

Pares de puntos sobre una esfera que se encuentran en una línea recta a través de su centro se llaman puntos antípodas. La gran círculo es un círculo en la esfera que tiene el mismo centro y el radio como la esfera, y en consecuencia la divide en dos partes iguales. La distancia más corta entre dos puntos no antípodas distintos en la superficie y medidas a lo largo de la superficie, se encuentra en la única gran círculo que pasa por los dos puntos.

Si un punto determinado de una esfera es designado como su polo norte, entonces el punto antípoda correspondiente se llama el polo sur y el ecuador es el gran círculo que es equidistante a éstos. Grandes círculos a través de los dos polos se llaman líneas (o meridianos) de de longitud, y la línea que conecta los dos polos se denomina eje de rotación. Círculos en la esfera que son paralelas al ecuador son líneas de latitud . Esta terminología se utiliza también para los cuerpos astronómicos como el planeta Tierra , a pesar de que no es ni esférica ni siquiera esferoidal (ver geoide).

Una esfera se divide en dos hemisferios iguales por cualquier plano que pasa por su centro. Si dos planos que se cortan pasan a través de su centro, entonces van a subdividir la esfera en cuatro lunes o biangles, los vértices de la que todos coinciden con los puntos antípodas acostado en la línea de intersección de los planos.

Generalización a otras dimensiones

Esferas pueden generalizarse a espacios de cualquier dimensión. Para cualquier número natural n, n un -sphere, escrito a menudo como S ^n, es el conjunto de puntos en (n 1) espacio euclídeo de dimensión n, que son a una distancia r fija desde un punto central de ese espacio, donde r es , como antes, un número real positivo. En particular:

• un 0-esfera es un par de puntos finales de un intervalo (- r, r) de la recta real
• un 1-esfera es un círculo de radio r
• una 2-esfera es una esfera ordinaria
• un 3-esfera es una esfera en el espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Esferas para n> 2 veces se llaman hiperesferas.

El n -sphere de radio unidad centrada en el origen se denota S ⁿ y se refiere a menudo como "la" n -sphere. Tenga en cuenta que la esfera ordinaria es una 2-esfera, debido a que es una superficie de 2-dimensional.

El área de superficie de la (n -1) -sphere de radio 1 es

donde Γ (z) es de Euler Función gamma.

Otra fórmula para el área de superficie es

y el volumen dentro de los tiempos es la zona de superficie o

La generalización de los espacios métricos

Más en general, en una espacio métrico (E, d), de la esfera de centro xy radio

es el conjunto de puntos y tal que d (x, y) = r.

Si el centro es un punto distinguido considerado como origen de E, como en una espacio normado, no se menciona en la definición y notación. Lo mismo se aplica para el radio si se toma igual a uno, como en el caso de una esfera unidad.

En contraste con una bola, una esfera puede ser un conjunto vacío, incluso para un gran radio. Por ejemplo, en Z con ⁿ Métrica euclidiana, una esfera de radio r es no vacío sólo si r ² puede escribirse como la suma de los cuadrados de n números enteros.

Topología

En topología , un -sphere n se define como un espacio homeomorfo a los límites de una (N + 1) -rodamientos; por lo tanto, es homeomorfo a la euclidiana n -sphere, pero tal vez carece de su métrica.

• un 0-esfera es un par de puntos con el topología discreta
• un 1-esfera es un círculo ( hasta homeomorfismo ); Así, por ejemplo, (la imagen de) cualquier nudo es un 1-esfera
• una 2-esfera es una esfera ordinaria ( hasta homeomorfismo ); Así, por ejemplo, cualquier esferoide es una 2-esfera

El n -sphere se denota S ^n. Es un ejemplo de un compacto variedad topológica sin límite. Una esfera no tiene que ser suave ; si es suave, no tiene por qué ser difeomorfa a la esfera euclidiana.

La Heine-Borel teorema implica que un euclidiano n -sphere es compacto. La esfera es la imagen inversa de una de un punto establecido en virtud de la función continua || x ||. Por lo tanto, la esfera es un cerrado. También está acotado S ^n. Por lo tanto, es compacto.

La geometría esférica

Gran círculo en una esfera

Los elementos básicos de la geometría plana son puntos y líneas . En la esfera, los puntos se definen en el sentido habitual, pero el análogo de la "línea" pueden no ser inmediatamente evidente. Si uno mide por longitud de arco se encuentra que el camino más corto que conecta dos puntos que se encuentran en su totalidad en la esfera es un segmento de la gran círculo que contiene los puntos; ver geodésica. Muchos teoremas de la geometría clásica son válidas para esta geometría esférica así, pero muchos no lo hacen (ver postulado de las paralelas). En trigonometría esférica, ángulos se definen entre grandes círculos. Así trigonometría esférica es diferente de ordinario trigonometría en muchos aspectos. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico excede 180 grados. Además, cualquiera de los dos triángulos esféricos similares son congruentes.

Once propiedades de la esfera

En su libro de geometría y la imaginación David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen describir once propiedades de la esfera y discutir si estas propiedades determinan únicamente la esfera. Varias propiedades se mantienen para el avión que puede ser pensado como una esfera con radio infinito. Estas propiedades son:

1. Los puntos de la esfera son todos la misma distancia de un punto fijo. Además, la relación de la distancia de sus puntos a partir de dos puntos fijos es constante.

   La primera parte es la definición usual de la esfera y determina de manera única. La segunda parte se puede deducir fácilmente y sigue un similares resultado de Apolonio de Perga para el círculo . Esta segunda parte también es válido para el avión .

2. Las secciones de los contornos y planas de la esfera son círculos.

   Esta propiedad define la esfera exclusiva.

3. La esfera tiene una anchura constante y la circunferencia constante.

   La anchura de una superficie es la distancia entre pares de planos tangentes paralelas. Hay numerosas otras superficies convexas cerrados que tienen un ancho constante, por ejemplo Tetraedro de Meissner. La circunferencia de una superficie es la circunferencia de la frontera de su proyección ortogonal sobre un plano. Se puede demostrar que cada una de estas propiedades implica la otra.

   

   

   Un vector normal a una esfera, un plano normal y su sección normal. La curvatura de la curva de intersección es la curvatura en sección. Para la esfera cada sección normal a través de un punto dado será un círculo del mismo radio, el radio de la esfera. Esto significa que cada punto de la esfera será un punto umbilical.

4. Todos los puntos de una esfera son umbilics.

   En cualquier punto de una superficie podemos encontrar una dirección normal que es en ángulo recto a la superficie, para la esfera de estos en las líneas que irradian desde el centro de la esfera. La intersección de un plano que contiene la normal con la superficie formará una curva llamada una sección normal y la curvatura de la curva es la curvatura en sección. Para la mayoría de puntos en una superficies diferentes secciones tendrán diferentes curvaturas, los valores máximos y mínimos de estos se llama curvaturas principales. Se puede demostrar que cualquier superficie cerrada tendrá al menos cuatro puntos llamados puntos umbilical. En una umbílica todas las curvaturas seccionales son iguales, en particular, la principales de curvatura son iguales. Puntos umbilicales pueden ser considerados como los puntos en la superficie está estrechamente aproximar por una esfera.

   Para el ámbito de las curvaturas de todas las secciones normales son iguales, por lo que cada punto es un umbílica. La esfera y el plano son las únicas superficies con esta propiedad.

5. La esfera no tiene una superficie de centros.

   Para una sección normal dada hay un círculo cuya curvatura es la misma que la curvatura seccional, es tangente a la superficie y cuyo centro a lo largo de líneas en la línea normal. Tomar los dos centro correspondiente a la sección máxima y mínima curvaturas éstos se llaman los puntos focales, y el conjunto de todos estos centros constituye la superficie focal.

   Para la mayoría de las superficies de la superficie focal forma dos hojas cada una de las cuales es una superficie y que se reúnen en puntos umbilicales. Hay una serie de casos especiales. Para Canal superficies de una hoja forma una curva y la otra lámina es una superficie; Para conos, cilindros, toros y cyclides ambas hojas forman curvas. Para la esfera el centro de cada círculo osculador está en el centro de la esfera y la superficie focal forma un solo punto. Esta es una propiedad única de la esfera.

6. Todas las geodésicas de la esfera son curvas cerradas.

   Geodesia son curvas en una superficie que dan la distancia más corta entre dos puntos. Son generalización del concepto de una línea recta en el plano. Para el ámbito de las geodésicas son grandes círculos. Hay muchas otras superficies con esta propiedad.

7. De todos los sólidos que tienen un volumen dado, la esfera es el que tiene el área de superficie más pequeña; de todos los sólidos tienen un área de superficie dada, la esfera es la que tiene el mayor volumen.

   Estas propiedades definen la esfera única. Estas propiedades se pueden ver mediante la observación de pompas de jabón. Una burbuja de jabón se adjunte un volumen fijo y debido a la tensión superficial se tratará de minimizar su superficie. Por lo tanto una burbuja de jabón flotando libre será de aproximadamente una esfera, factores como la gravedad causará una ligera distorsión.

8. La esfera tiene la curvatura media total más pequeño entre todos los sólidos convexos con una superficie determinada.

   La curvatura media es la media de las dos curvaturas principales y como éstos son constantes en todos los puntos de la esfera entonces también lo es la curvatura media.

9. La esfera tiene curvatura media constante positiva.

   La esfera es la única superficie sin límite o con singularidades curvatura media constante positiva. Hay otras superficies con curvatura media constante, la superficies mínimas tienen curvatura media cero.

10. La esfera tiene curvatura gaussiana positiva constante.

    Curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales. Es una propiedad intrínseca que se puede determinar mediante la medición de la longitud y los ángulos y no depende de la forma en la superficie es incrustado en el espacio. Por lo tanto, la flexión de una superficie no alterará la curvatura gaussiana y otras superficies con curvatura gaussiana positiva constante puede obtenerse mediante la reducción de una pequeña abertura en la esfera y doblarla. Todas estas otras superficies tendrían límites y la esfera es la única superficie sin límite con curvatura de Gauss constante positiva. La pseudoesfera es un ejemplo de una superficie con curvatura gaussiana negativa constante.

11. La esfera se transforma en sí mismo por una familia de tres parámetros de movimientos rígidos.

    Considere un lugar esfera unidad en el origen, una rotación alrededor del eje X, Y o Z será un mapa de la esfera sobre sí mismo, de hecho, cualquier rotación alrededor de una línea a través del origen se puede expresar como una combinación de rotaciones alrededor de los tres ejes de coordenadas, ver Ángulos de Euler. Por lo tanto hay una familia de tres parámetros de rotaciones que transforman la esfera sobre sí mismo, este es el grupo de rotación, SO (3). El avión es la única otra superficie con una familia de tres parámetros de transformaciones (traducciones a lo largo del eje x e y y rotaciones alrededor del origen). Cilindros circulares son las únicas superficies con dos familias de parámetros de movimientos rígidos y la superficies de revolución y helicoides son las únicas superficies con una familia de un parámetro.