Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es un matemático ecuación para un desconocido función de uno o varios las variables que relaciona los valores de la función en sí misma y de sus derivados de diversas órdenes. Ecuaciones diferenciales juegan un papel destacado en la ingeniería , la física , la economía y otras disciplinas.

La visualización del flujo de aire en un conducto modelado usando las ecuaciones de Navier-Stokes , un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales.

Introducción

Ecuaciones diferenciales surgen en muchas áreas de la ciencia y la tecnología; siempre que una relación determinista participan unas cantidades que cambian continuamente (modelados por funciones) y sus tasas de variación (expresado como derivados) se conoce o se postula. Esto está bien ilustrado por la mecánica clásica , donde el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y la velocidad como el tiempo varía. Leyes de Newton permiten relacionar la posición, la velocidad, la aceleración y diversas fuerzas que actúan sobre el cuerpo y el estado de esta relación como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo como una función del tiempo. En muchos casos, esta ecuación diferencial se puede resolver de forma explícita, produciendo la ley de movimiento.

Las ecuaciones diferenciales son estudiados matemáticamente desde varias perspectivas diferentes, en su mayoría preocupados con sus soluciones, las funciones que hacen que la ecuación cierta. Sólo las ecuaciones diferenciales simples admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas. Muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin encontrar su forma exacta. Si una fórmula autónomo para la solución no está disponible, la solución se puede aproximar numéricamente utilizando ordenadores. La teoría de la sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos se han desarrollado para determinar soluciones con un determinado grado de precisión.

Direcciones de estudio

El estudio de las ecuaciones diferenciales es un amplio campo en puro, matemáticas aplicadas , física y la ingeniería . Todas estas disciplinas están preocupados con las propiedades de las ecuaciones diferenciales de diferentes tipos. Las matemáticas puras se centra en la existencia y unicidad de soluciones, mientras que las matemáticas aplicadas destaca la justificación rigurosa de los métodos para aproximar soluciones. Ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en el modelado de prácticamente todos los procesos físicos, técnicos, o biológica, de movimiento celeste al proyecto del puente, a las interacciones entre las neuronas. Ecuaciones diferenciales tales como los utilizados para resolver problemas de la vida real no necesariamente pueden ser directamente solucionable, es decir, no tienen soluciones de forma cerrada. En lugar de ello, las soluciones pueden aproximarse utilizando métodos numéricos.

Los matemáticos estudian también soluciones débiles (basándose en derivados débiles), que son los tipos de soluciones que no tienen que ser diferenciable en todas partes. Esta extensión es a menudo necesaria para que existan soluciones, y que también se traduce en más físicamente propiedades razonables de soluciones, como la posible presencia de choques para las ecuaciones de tipo hiperbólico.

El estudio de la estabilidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales se conoce como teoría de la estabilidad.

Tipos de ecuaciones diferenciales

• Una ecuación diferencial ordinaria (ODE) es una ecuación diferencial en la que la función desconocida es una función de una sola variable independiente.
• Una ecuación diferencial parcial (PDE) es una ecuación diferencial en la que la función desconocida es una función de múltiples variables independientes y sus derivadas parciales.
• La ecuación diferencial de retardo (DDE) es una ecuación diferencial en la que se da la derivada de la función desconocida en un momento determinado en términos de los valores de la función en tiempos anteriores.
• La ecuación diferencial estocástica (SDE) es una ecuación diferencial en la que uno o más de los términos es una proceso estocástico, dando así como resultado una solución que es en sí misma un proceso estocástico.
• La ecuación algebraica diferencial (DAE) es una ecuación diferencial que comprende diferencial y términos algebraicos, dada en forma implícita.

Cada una de estas categorías se divide en subcategorías lineales y no lineales. Una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente y todos sus derivados aparecen a la potencia 1 y no hay productos o funciones de la variable dependiente. De lo contrario, la ecuación diferencial es no lineal. Así, si denota la primera derivada de la función , Entonces la ecuación

es lineal, mientras que la ecuación

es no lineal. Soluciones de una ecuación lineal en la que la función desconocida o su derivado o derivados aparecen en cada término (ecuaciones lineales homogéneos) se pueden añadir juntos o multiplican por una constante arbitraria con el fin de obtener soluciones adicionales de que la ecuación, pero no hay modo general para obtener familias de soluciones de ecuaciones no lineales, excepto cuando exhiben simetrías; ver simetrías y invariantes. Ecuaciones lineales aparecen con frecuencia como aproximaciones a las ecuaciones no lineales, y estas aproximaciones son válidas sólo en condiciones restringidas.

Otra característica importante de una ecuación diferencial es su orden, que es el orden de la más alta derivado (de una variable dependiente) que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, una ecuación diferencial de primer orden contiene sólo primera derivados, como los dos ejemplos anteriores.

Conexión a ecuaciones en diferencias

La teoría de las ecuaciones diferenciales está estrechamente relacionado con la teoría de la ecuaciones en diferencias, en el que las coordenadas suponen sólo valores discretos, y la relación implica valores de la función desconocida o funciones y valores en las coordenadas cercanas. Muchos métodos para calcular soluciones numéricas de las ecuaciones diferenciales o estudiar las propiedades de las ecuaciones diferenciales implican aproximación de la solución de una ecuación diferencial por la solución de una ecuación de diferencia correspondiente. Ver también: Cálculo escala de tiempo.

Universalidad de la descripción matemática

Un gran número de leyes fundamentales de la física y la química se puede formular en forma de ecuaciones diferenciales. En biología y economía ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de los sistemas complejos. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales desarrolló primero y de las ciencias en las ecuaciones habían originado y donde los resultados se encontró aplicación. Sin embargo, diversos problemas, a veces se origina en los campos científicos muy distintas, puede dar lugar a ecuaciones diferenciales idénticas. Cuando esto sucede, la teoría matemática detrás de las ecuaciones puede ser visto como un principio unificador detrás de diversos fenómenos. Como ejemplo, considere la posibilidad de propagación de luz y sonido en la atmósfera, y de las ondas en la superficie de un estanque. Todos ellos pueden ser descritos por el mismo segundo orden ecuación diferencial parcial , el ecuación de onda, lo que nos permite pensar en la luz y el sonido como formas de ondas, al igual que las ondas de familiares en el agua. La conducción de calor, cuya teoría fue desarrollada brillantemente por Joseph Fourier, se rige por otro segundo orden ecuación diferencial parcial, el ecuación del calor. Resultó que muchos procesos de difusión, mientras que aparentemente diferentes, son descritos por la misma ecuación; Ecuación Negro-Scholes en finanzas es, por ejemplo, en relación con la ecuación del calor.

Ecuaciones diferenciales famosos