Simetría

Esfera simétrica grupo o.

Leonardo da Vinci 's El hombre de Vitruvio (1492) se utiliza a menudo como una representación de simetría en el cuerpo humano y, por extensión, del universo natural.

Simétrico en el uso común general, transmite dos significados primarios. La primera es una sensación imprecisa de proporcionalidad y equilibrio armónico o estéticamente agradable; de tal manera que refleja la belleza o perfección. El segundo significado es un concepto preciso y bien definido de equilibrio o "patrón de auto-similitud" que puede ser demostrado o probado de acuerdo a las reglas de un sistema formal: por la geometría , a través de la física o de otra manera.

Aunque los significados son distinguibles, en algunos contextos, ambos significados de "simetría" se relacionan y se discuten en paralelo.

Las nociones "precisas" de simetría tienen distintas medidas y definiciones operacionales. Por ejemplo, la simetría se puede observar:

• con respecto al paso del tiempo ;
• como un relación espacial;
• a través geométrica transformaciones, tales como escalamiento, reflexión, y rotación;
• a través de otros tipos de transformaciones funcionales; y
• como un aspecto de objetos abstractos, modelos teóricos, el lenguaje , la música e incluso conocimiento mismo.

En este artículo se describen estas nociones de simetría desde tres perspectivas. El primero es el de las matemáticas , en la que las simetrías se definen y clasifican con precisión. La segunda perspectiva describe simetría en su relación con la ciencia y la tecnología . En este contexto, simetrías subyacen algunos de los resultados más profundos de la moderna física , incluyendo los aspectos de espacio y tiempo. Por último, una tercera perspectiva analiza la simetría en las humanidades , cubriendo su uso rico y variado en la historia , la arquitectura , el arte y la religión .

Lo contrario de la simetría es asimetría.

Simetría en matemáticas

En términos formales, decimos que un objeto es simétrico con respecto a un determinado operación matemática, si, cuando se aplica al objeto, esta operación no cambia el objeto o su apariencia. Dos objetos son simétricos entre sí con respecto a un grupo dado de operaciones si uno se obtiene de la otra por algunas de las operaciones (y viceversa).

Simetrías también se pueden encontrar en los organismos vivos, incluyendo los seres humanos y otros animales (véase la simetría en biología abajo). En la geometría 2D los principales tipos de simetría de interés son con respecto a la básica Isometrías plano euclidiano: traducciones, rotaciones, reflexiones, y deslizarse reflexiones.

Modelo matemático para la simetría

El conjunto de todas las operaciones de simetría considerado, en todos los objetos en un conjunto X, se puede modelar como una grupo de acción g: G × X → X, donde la imagen de g en G y x en X se escribe en g · x. Si, por alguna g, g · x = y entonces x e y se dice que son simétricas entre sí. Para cada objeto x, g operaciones para las que g · x = x formar un grupo , el grupo de simetría del objeto, un subgrupo de G. Si el grupo de simetría de x es el grupo trivial entonces x se dice que es asimétrica, de otro modo simétrico. Un ejemplo general es que G es un grupo de biyecciones g: V → V que actúa sobre el conjunto de funciones de x: V → W por (gx) (V) = x (g ^-1 (v)) (o un conjunto restringido de tales funciones que se cierra bajo la acción de grupo). Así, un grupo de biyecciones de espacio induce una acción de grupo en "objetos" en ella. El grupo de simetría de x se compone de todos g para las que x (v) = x (g (v)) para todo v. G es el grupo de simetría del espacio en sí mismo, y de cualquier objeto que es uniforme en todo el espacio. Algunos subgrupos de G pueden no ser el grupo de simetría de cualquier objeto. Por ejemplo, si el grupo contiene para cada v y w en V a G tal que g (v) = w, a continuación, sólo los grupos de simetría de funciones constantes x contienen ese grupo. Sin embargo, el grupo de simetría de las funciones constantes es en sí G.

En una versión modificada de campos de vectores, tenemos (gx) (v) = h (g, x (g ^-1 (v))) donde h gira cualquier vectores y pseudovectors en x, e invierte cualquier vector (pero no pseudovectors) de acuerdo a la rotación y la inversión en g, consulte simetría en la física. El grupo de simetría de x consiste en todo g para el cual x (v) = h (g, x (g (v))) para todo v. En este caso el grupo de simetría de una función constante puede ser un subgrupo adecuado de G: un vector constante sólo tiene simetría de rotación con respecto a la rotación alrededor de un eje que si el eje está en la dirección del vector, y sólo simetría de inversión si es cero.

Para una noción común de simetría en el espacio euclidiano , G es la Grupo euclídeo E (n), el grupo de isometrías, y V es el espacio euclidiano. El grupo de la rotación de un objeto es el grupo de simetría si G se limita a E ⁺ (n), el grupo de isometrías directos. (Para generalizaciones, consulte el apartado siguiente.) Los objetos pueden ser modelados como funciones x, de los cuales un valor puede representar una selección de propiedades como el color, densidad, composición química, etc. En función de la selección que consideramos sólo simetrías de conjuntos de puntos (x es sólo un función booleana de posición v), o, en el otro extremo, por ejemplo, la simetría de la derecha y la mano izquierda con toda su estructura.

Para un grupo de simetría dado, las propiedades de parte del objeto, definir completamente todo el objeto. Teniendo en cuenta los puntos equivalente , que, debido a la simetría, tienen las mismas propiedades, las clases de equivalencia son los órbitas de la acción de grupo en el espacio mismo. Necesitamos el valor de x en un punto en cada órbita de definir el objeto completo. Forma un conjunto de tales representantes a dominio fundamental. El dominio fundamental más pequeña no tiene una simetría; en este sentido, se puede decir que la simetría se basa en asimetría.

Un objeto con una simetría deseado puede ser producido por elegir para cada órbita un solo valor de la función. A partir de un objeto x dado que puede, por ejemplo:

• tomar los valores de un dominio fundamental (es decir, añadir copias del objeto)

• tomar para cada órbita algún tipo de media o la suma de los valores de x en los puntos de la órbita (ídem, donde las copias se pueden solapar)

Si se desea tener no más simetría que en el grupo de simetría, a continuación, el objeto a copiar debe ser asimétrica.

Como se ha señalado anteriormente, algunos grupos de isometrías no son el grupo de simetría de cualquier objeto, excepto en el modelo modificado para campos vectoriales. Por ejemplo, esto se aplica en 1D para el conjunto de todas las traducciones. El dominio fundamental es sólo un punto, por lo que no puede hacer que sea asimétrica, por lo que cualquier "patrón" invariante bajo la traducción también es invariante bajo la reflexión (estos son los "patrones" uniformes).

En la versión campo vectorial simetría de traslación continua no implica simetría de reflexión: el valor de la función es constante, pero si contiene vectores distintos de cero, no hay simetría de reflexión. Si también hay simetría de reflexión, el valor de la función constante no contiene vectores distintos de cero, pero puede contener pseudovectors distintos de cero. Un ejemplo correspondiente 3D es un infinito cilindro con una corriente perpendicular al eje; la campo magnético (una pseudovector) es, en la dirección del cilindro, constante, pero distinto de cero. Para los vectores (en particular el densidad de corriente) tenemos simetría en cada plano perpendicular al cilindro, así como simetría cilíndrica. Esta simetría cilíndrica sin planos de simetría a través del eje también sólo es posible en la versión campo vectorial del concepto de simetría. Un ejemplo similar es un cilindro que gira alrededor de su eje, donde el campo magnético y la densidad de corriente se sustituyen por el momento angular y la velocidad , respectivamente.

Un grupo de simetría se dice que actúa transitivamente en una característica repetida de un objeto si, para cada par de ocurrencias de la función hay una operación de simetría mapeo de la primera a la segunda. Por ejemplo, en 1D, el grupo de simetría de {..., 1,2,5,6,9,10,13,14, ...} actúa transitivamente en todos estos puntos, mientras {..., 1, 2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15, ...} no actúa transitivamente en todos los puntos. De manera equivalente, el primer conjunto es sólo una clase de conjugación con respecto a isometrías, mientras que el segundo tiene dos clases.

Simetría no isométrica

Como se mencionó anteriormente, G (el grupo de simetría del espacio mismo) puede diferir de la Grupo de Euclides, el grupo de isometrías.

Ejemplos:

• G es el grupo de transformaciones de semejanza, es decir, transformaciones afines con una matriz A que es un momento escalares un matriz ortogonal. Así se añaden las dilataciones, auto-similitud es considerada una simetría

• G es el grupo de transformaciones afines con una matriz A con determinante 1 o -1, es decir, la transformación que preservan zona; esto añade por ejemplo oblicua simetría reflexión.

• G es el conjunto de todas las transformaciones afines biyectivas

• En Inversión, G incluye reflexiones de círculo, etc.

• Más en general, una involución define una simetría con respecto a esa involución.

Simetría direccional

Ver simetría direccional.

Simetría axial

Ver simetría reflexión.

Simetría axial, simetría de espejo, espejo-imagen simetría o simetría bilateral es simetría con respecto a la reflexión.

Es el tipo más común de simetría. En 2D hay un eje de simetría, en 3D un plano de simetría. Un objeto o una figura que es indistinguible de su imagen transformada se llama espejo simétrico (ver imagen de espejo).

El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea de tal manera que, si se construye una perpendicular, cualquiera de los dos puntos que se encuentran en la perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticos. Otra forma de verlo es pensar que si la forma iban a ser doblado por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían idénticos: las dos mitades son imagen del otro espejo. Así, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, porque hay cuatro maneras diferentes para doblar y tener los bordes todo el partido. Un círculo tiene un número infinito de ejes de simetría, por la misma razón.

Si la letra T se refleja a lo largo de un eje vertical, parece el mismo. Tenga en cuenta que esto es a veces llamada simetría horizontal y vertical de simetría veces! Uno puede mejor utilizar una formulación ambigua, por ejemplo, "T tiene un eje de simetría vertical."

Los triángulos con esta simetría son isósceles , las cuadriláteros con esta simetría son la cometas y los isósceles trapezoides.

Para cada línea o plano de la reflexión, el grupo de simetría es isomorfo con Cs (ver grupos de puntos en tres dimensiones), uno de los tres tipos de orden dos (involuciones), de ahí algebraicamente C2. El dominio fundamental es un semiplano o medio-espacio.

Bilateria (animales bilaterales, incluyendo seres humanos) son más o menos simétrico con respecto a la plano sagital.

En ciertos contextos hay simetría de rotación de todos modos. Entonces imagen especular simetría es equivalente con simetría de inversión; en tales contextos de la física moderna el término P-simetría se utiliza tanto para (P significa paridad).

Para más tipos generales de reflexión no se corresponde tipos más generales de simetría de reflexión. Ejemplos:

• con respecto a un no isométrica afín involución (un reflejo oblicuo en una línea, avión, etc).

• con respecto a inversión del círculo

Simetría rotacional

Ver simetría rotacional.

Simetría rotacional es simetría con respecto a algunas o todas las rotaciones en m-dimensional espacio euclidiano. Las rotaciones son isometrías directos, es decir, la preservación de isometrías orientación. Por lo tanto un grupo de simetría de simetría rotacional es un subgrupo de E + (m) (véase Grupo euclidiana).

Simetría con respecto a todas las rotaciones alrededor de todos los puntos implica simetría de traslación con respecto a todas las traducciones, y el grupo de simetría es toda la E + (m). Esto no se aplica para los objetos, ya que hace espacio homogéneo, pero puede solicitar las leyes físicas.

Por simetría con respecto a las rotaciones alrededor de un punto que podemos tomar ese punto como origen. Estas rotaciones forman la grupo ortogonal especial TAN (m), el grupo de m × m matrices ortogonales con determinante 1. Para m = 3 esta es la grupo de rotación.

En otro sentido de la palabra, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría en E + (n), el grupo de isometrías directos; En otras palabras, la intersección del grupo de simetría completa y el grupo de isometrías directos. Para los objetos quirales es el mismo que el grupo de simetría completa.

Las leyes de la física son SO (3) -invariant si no distinguen diferentes direcciones en el espacio. Porque El teorema de Noether, la simetría de rotación de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento angular. Ver también invarianza rotacional.

Simetría traslacional

Ver artículo principal simetría traslacional.

Simetría traslacional deja un invariante objeto bajo un grupo discreto o continuo de traducciones

Glide simetría reflexión

La simetría reflexión de deslizamiento (en 3D: un plano de simetría de planeo) significa que una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de la línea / en el plano, los resultados en el mismo objeto. Implica simetría de traslación con dos veces el vector de traducción.

El grupo de simetría es isomorfo con Z.

Rotoreflection simetría

En 3D, rotoreflection o la rotación inadecuada en el sentido estricto es la rotación alrededor de un eje, en combinación con la reflexión en un plano perpendicular a dicho eje. Como grupos de simetría con respecto a un roto-reflexión podemos distinguir:

• el ángulo no tiene divisor común con 360 °, el grupo de simetría no es discreta
• 2 n -fold rotoreflection (ángulo de 180 ° / n) con el grupo de simetría S _2n de orden 2 n (que no debe confundirse con grupos simétricos, para los que se utiliza la misma notación; grupo abstracto C _2n); un caso especial es n = 1, inversión, ya que no depende en el eje y el plano, que se caracteriza por sólo el punto de inversión.
• C _nh (ángulo de 360 ° / n); para n impar este se genera por una sola simetría, y el grupo abstracto es C _2n, para n incluso esto no es una simetría básica, pero una combinación. Ver también grupos de puntos en tres dimensiones.

Simetría helicoidal

Una broca con simetría helicoidal.

La simetría helicoidal es el tipo de simetría se ve en objetos cotidianos tales como manantiales, Juguetes Slinky, brocas, y barrenas. Se puede pensar de simetría rotacional como junto con la traducción a lo largo del eje de rotación, la eje del tornillo). El concepto de simetría helicoidal se puede visualizar como el rastreo en tres dimensiones del espacio que resulta de la rotación de un objeto en un incluso velocidad angular mientras se mueve de forma simultánea a una velocidad incluso a lo largo de su eje de rotación (traducción). En cualquier punto en el tiempo, estos dos movimientos se combinan para dar un ángulo de bobinado que ayuda a definir las propiedades del trazado. Cuando el objeto de calco gira rápidamente y traduce lentamente, el ángulo de bobinado será cercano a 0 °. A la inversa, si la rotación es lento y la traducción rápida, el ángulo de bobinado se aproximará a 90 °.

Tres clases principales de simetría helicoidal pueden distinguirse basan en la interacción entre el ángulo de bobinado y traducción simetrías en el eje:

• La simetría helicoidal Infinito. Si no hay características distintivas a lo largo de la longitud de una hélice-hélice o un objeto similar, el objeto tendrán simetría infinita parecida a la de un círculo, pero con el requisito adicional de traslación a lo largo del eje largo del objeto a devolverlo a su aspecto original. Un objeto-hélice como es uno que tiene en cada punto el ángulo regular de bobinado de una hélice, pero que también puede tener una sección transversal de forma indefinida alta complejidad, con la única condición de que precisamente la misma sección transversal existe (por lo general después de una rotación) en cada punto a lo largo de la longitud del objeto. Ejemplos simples incluyen uniformemente enrollados manantiales, slinkies, brocas, y barrenas. Dicho de forma más precisa, un objeto tiene simetrías helicoidales infinito si para cualquier pequeña rotación del objeto alrededor de su eje central existe un punto cercano (la distancia traducción) en dicho eje en el que el objeto aparecerá exactamente como lo hacía antes. Es esta simetría helicoidal infinito que da lugar a la curiosa ilusión de movimiento a lo largo de la longitud de un bit de barrena o tornillo que se está haciendo girar. También proporciona la capacidad mecánicamente útil de tales dispositivos para mover los materiales a lo largo de su longitud, siempre que se combinan con una fuerza tal como la gravedad o la fricción que permite a los materiales que resisten simplemente girando junto con el taladro o barrena.

• n veces la simetría helicoidal. Si el requisito de que cada sección transversal del objeto helicoidal ser idéntica es relajado, simetrías helicoidales menores adicionales son posibles. Por ejemplo, la sección transversal del objeto helicoidal puede cambiar, pero todavía se repite de una manera regular a lo largo del eje del objeto helicoidal. En consecuencia, los objetos de este tipo exhibirán una simetría después de una rotación por algún ángulo fijo y una traducción de algunos distancia fija, pero no, en general, ser invariantes para cualquier ángulo de rotación. Si el ángulo (rotación) en el que la simetría se produce divide uniformemente en un círculo completo (360 °), el resultado es el equivalente helicoidal de un polígono regular. Este caso se llama simetría helicoidal n veces, donde n = 360 ° / , Véase, por ejemplo doble hélice. Este concepto se puede generalizar para incluir los casos en que es un múltiplo de 360 ° -esto es, el ciclo se repite con el tiempo, pero sólo después de más de una rotación completa del objeto helicoidal.

• Para no repetir la simetría helicoidal. Este es el caso en el que el ángulo de rotación obligada a observar la simetría es un número irracional como radianes que nunca se repite exactamente, no importa cuántas veces se hace girar la hélice. Estas simetrías se crean mediante un no-repetición punto de grupo en dos dimensiones. ADN es un ejemplo de este tipo de simetría que no se repite helicoidal.

Escala de simetría y los fractales

Escala de simetría se refiere a la idea de que si un objeto se amplía o reduce de tamaño, el nuevo objeto tiene las mismas propiedades que el original. Escala simetría es notable por el hecho de que no existe para la mayoría de los sistemas físicos, un punto que fue discernida por primera vez por Galileo . Los ejemplos simples de la falta de simetría escala en el mundo físico incluyen la diferencia en la fuerza y el tamaño de las patas de los elefantes frente a los ratones , y la observación de que si una vela hecha de cera blanda se amplió con el tamaño de un árbol alto, se colapsaría inmediatamente por su propio peso.

Una forma más sutil de simetría escala se demuestra por los fractales . Tal como fue concebido por Mandelbrot, fractales son un concepto matemático en el que la estructura de una forma compleja se ve exactamente igual no importa qué grado de ampliación se utiliza para examinarlo. La costa es un ejemplo de un fractal de origen natural, puesto que conserva más o menos comparable y de apariencia similar complejidad en cada nivel de la vista de un satélite a un examen microscópico de cómo el agua vueltas en contra de los granos individuales de arena. La ramificación de los árboles, lo que permite a los niños a usar pequeñas ramitas como sustitutos de los árboles llenos de dioramas, es otro ejemplo.

Esta similitud con fenómenos naturales ofrece fractales con una familiaridad cotidiana no se observa típicamente con funciones generadas matemáticamente. Como consecuencia, pueden producir resultados sorprendentemente hermosos, como el conjunto de Mandelbrot . Curiosamente, fractales también han encontrado un lugar en CG, o los efectos de películas generadas por ordenador, en su capacidad para crear curvas muy complejas con simetrías fractales resultados en más realista mundos virtuales.

Combinaciones de simetría

Ver combinaciones de simetría.

Simetría en la ciencia

La simetría en la física

La simetría en la física se ha generalizado en el sentido de invariancia, es decir, la falta de cualquier cambio visible bajo cualquier tipo de transformación. Este concepto se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la física teórica, como se ha hecho evidente que prácticamente todas las leyes de la naturaleza son originarios de simetrías. De hecho, este papel inspiró el premio Nobel PW Anderson a escribir en su 1972 artículo muy leído Más es diferente que "sólo está exagerando un poco el caso de decir que la física es el estudio de la simetría." Ver El teorema de Noether (que, como una simplificación excesiva, afirma que para cada simetría matemática continua, hay una cantidad conservada correspondiente; una corriente conservada, en el idioma original de Noether); y también, Clasificación de Wigner, que dice que las simetrías de las leyes de la física determinan las propiedades de las partículas que se encuentran en la naturaleza.

Simetría en objetos físicos

Objetos clásicos

Aunque un objeto cotidiano puede aparecer exactamente de la misma después de una operación de simetría tal como una rotación o un intercambio de dos partes idénticas se ha realizado sobre el mismo, es fácilmente evidente que tal simetría es cierto sólo como una aproximación para cualquier objeto físico ordinario.

Por ejemplo, si uno hace girar un aluminio mecanizado con precisión triángulo equilátero 120 grados alrededor de su centro, un observador casual introducidas antes y después de la rotación será incapaz de decidir si o no tal rotación se llevó a cabo. Sin embargo, la realidad es que cada esquina de un triángulo siempre aparecerá único cuando se examina con suficiente precisión. Un observador armado con equipo de medición suficientemente detallada como óptica o microscopios electrónicos no se deje engañar; se reconocerá inmediatamente que el objeto se ha girado mediante la búsqueda de detalles como cristales o deformidades menores.

Tal sencilla experimentos mentales muestran que las afirmaciones de simetría en objetos físicos cotidianos son siempre una cuestión de similitud aproximada y no de igualdad matemática precisa. La consecuencia más importante de esta naturaleza aproximada de simetrías en objetos físicos cotidianos es que esas simetrías tienen un impacto mínimo o nulo sobre la física de los objetos. En consecuencia, sólo la más profunda simetrías del espacio y el tiempo juegan un papel importante en la física clásica que es, la física de los grandes, los objetos cotidianos.

Los objetos cuánticos

Cabe destacar que existe un reino de la física para los que las afirmaciones matemáticas de simetrías simples en objetos reales dejan de ser aproximaciones. Ese es el dominio de la física cuántica , que en su mayor parte es la física de los objetos muy pequeños, muy simples, tales como electrones , protones , la luz y los átomos .

A diferencia de los objetos cotidianos, objetos tales como los electrones tienen un número muy limitado de configuraciones, llamados , en el que pueden existir estados. Esto significa que cuando se aplican las operaciones de simetría, tales como el intercambio de las posiciones de los componentes a ellos, las nuevas configuraciones resultantes a menudo no pueden ser distinguidos de los originales no importa cómo diligente una observador. En consecuencia, para los objetos suficientemente pequeñas y sencillas genérico afirmación simetría matemática F (x) = x deja de ser aproximada, y en su lugar se convierte en una descripción experimental precisa y exacta de la situación en el mundo real.

Consecuencias de la simetría cuántica

Si bien es lógico que simetrías podrían convertirse exacto cuando se aplica a objetos muy simples, la intuición inmediata es que un detalle no debe afectar a la física de los objetos de manera significativa. Esto es en parte debido a que es muy difícil de ver el concepto de similitud exacta como físicamente significativa. Nuestra imagen mental de este tipo de situaciones es invariablemente el mismo que usamos para objetos grandes: Nos imaginamos a los objetos o configuraciones que son muy, muy similares, pero para los que si pudiéramos "miramos más de cerca" todavía sería capaz de notar la diferencia.

Sin embargo, la suposición de que las simetrías exactas en objetos muy pequeños no deben hacer ninguna diferencia en su física fue descubierto en el año 1900 a ser espectacularmente incorrecta. La situación se resume sucintamente por Richard Feynman en las transcripciones directas de su Feynman Lectures on Physics, Tomo III, Sección 3.4, partículas idénticas. (Por desgracia, la cita fue editada de la versión impresa de la misma conferencia.)

"... Si hay una situación física en la que es imposible decir de qué manera sucedió, siempre interfiere, nunca falla."

La palabra " interfiere "en este contexto es una forma rápida de decir que tales objetos caen bajo las reglas de la mecánica cuántica , en la que se comportan más como ondas que interfieren que como todos los días objetos grandes.

En resumen, cuando un objeto se vuelve tan simple que una afirmación de simetría de la forma F (x) = x se convierte en una declaración exacta de la mismidad experimentalmente verificable, x deja de seguir las reglas de la física clásica y en su lugar debe ser modelado utilizando las más complejas y con frecuencia mucho menos intuitiva reglas de la física cuántica .

Esta transición también proporciona una importante información sobre por qué la matemática de la simetría están tan profundamente entrelazados con los de la mecánica cuántica. Cuando los sistemas físicos hacen la transición de simetrías que son aproximados a los que son exactos, las expresiones matemáticas de esas simetrías dejan de ser aproximaciones y se transforman en definiciones precisas de la naturaleza subyacente de los objetos. A partir de ese momento, la correlación de estos objetos a sus descripciones matemáticas se vuelve tan cerca que es difícil separar los dos.

Simetría como principio unificador de la geometría

El geómetra alemán Felix Klein enunció una muy influyente Programa de Erlangen en 1872, lo que sugiere la simetría como unificador y principio organizador en la geometría (en un momento en que se leyó "geometrías '). Se trata de un amplio lugar de principio de profundidad. Inicialmente se llevó a interés en los grupos unidos a geometrías, y el lema la geometría de transformación (un aspecto de la Nueva Matemática, pero apenas controversial en la práctica matemática moderna). Por ahora se ha aplicado en numerosas formas, como una especie de ataque de serie en problemas.

Simetría en matemáticas

Un ejemplo de una expresión matemática que exhibe simetría es un ab + b ² ² c c + 3. Si A y B se intercambian, la expresión permanece sin cambios debido a la conmutatividad de la suma y la multiplicación.

Al igual que en la geometría, por los términos hay dos posibilidades:

• ella misma es simétrica
• que tiene uno o más otros términos simétricos con él, de acuerdo con el tipo de simetría

Ver también función simétrica, Dualidad (matemáticas)

Simetría en la lógica

La relación diádica R es simétrica si y sólo si, cada vez que es verdad que Rab, es cierto que Rba. Por lo tanto, "es la misma edad que" es simétrica, por si Pablo es la misma edad que María, entonces María es la misma edad que Pablo.

Binario simétrico conectores lógicos son " y "(∧, O Y), " o "(∨)," bicondicional "( si y sólo si) (↔), NAND ("no-e"), XOR ("no-bicondicional"), y NOR ("no-o").

Las generalizaciones de simetría

Si tenemos un conjunto dado de objetos con alguna estructura, a continuación, es posible que una simetría de simplemente convertir sólo un objeto en otro, en lugar de actuar sobre todos los objetos posibles simultáneamente. Esto requiere una generalización del concepto de grupo de simetría a la de una groupoid.

Los físicos han llegado con otras direcciones de generalización, como supersimetría y grupos cuánticos.

Simetría bilateral

Ver simetría (biología) y la simetría facial.

Simetría en química

La simetría es importante para la química porque explica las observaciones en la espectroscopia , la química cuántica y cristalografía. Se basa en gran medida en la teoría de grupos .

Simetría en la historia, la religión y la cultura

En toda obra humana para la que un impresionante resultado visual es parte del objetivo deseado, simetrías juegan un papel profundo. El atractivo innato de simetría se puede encontrar en nuestras reacciones a través sucediendo objetos naturales altamente simétricas, como cristales formados con precisión o conchas de mar muy bien en espiral. Nuestra primera reacción en la búsqueda de un objeto, a menudo es preguntarse si hemos encontrado un objeto creado por un ser humano, seguido rápidamente por sorpresa que las simetrías que llamaron nuestra atención se derivan de la naturaleza misma. En ambas reacciones regalamos nuestra inclinación a ver simetrías tanto como hermoso y, de alguna manera, informativa del mundo que nos rodea.

Simetría en los símbolos religiosos

Simetría en los símbolos religiosos. Fila 1. cristiana , judía , hindú Fila 2. islámica , budista , sintoísta Fila 3. Sikh , Baha'i, Jain

La tendencia de la gente a ver el propósito en la simetría sugiere al menos una de las razones por qué simetrías son a menudo una parte integral de los símbolos de las religiones del mundo. Sólo unos pocos de los muchos ejemplos incluyen el séxtuple simetría rotacional del judaísmo 's Estrella de David, el doble señalar simetría de Taoísmo 's Taijitu o Yin-Yang, el simetría bilateral del cristianismo 's cruzar y el sijismo 's Khanda, o el punto de simetría cuádruple Versión antigua (y pacíficamente previsto) de Jain de la esvástica . Con sus fuertes prohibiciones contra el uso de las imágenes figurativas, Islam , y en particular la Rama sunita del Islam, ha desarrollado algunos de el uso más complejo y visualmente impresionante de simetrías para usos decorativos de cualquier religión importante.

La antigua Imagen Taijitu del taoísmo es un uso particularmente fascinante de simetría alrededor de un punto central, combinado con la inversión en blanco y negro y de colores a distancias opuestas desde ese punto central. La imagen, que es a menudo mal entendido en el Mundo occidental como la representación bueno (blanco) y el mal (negro), es en realidad pretende ser un representante gráfica de la necesidad complementaria de dos conceptos abstractos de "masculinidad" (blanco) y "feminidad" (negro). La simetría del símbolo en este caso se utiliza no sólo para crear un símbolo que llama la atención de la vista, pero para hacer una declaración significativa sobre las creencias filosóficas de las personas y los grupos que la utilizan. También un importante símbolo religioso simétrico es el Shintoist "Torii" "La puerta de los pájaros", por lo general la puerta de los templos sintoístas llamados "Jinjas".

Simetría en las interacciones sociales

La gente observa la naturaleza simétrica, a menudo incluyendo equilibrio asimétrico, de las interacciones sociales en una variedad de contextos. Estos incluyen evaluaciones de reciprocidad, empatía, disculpa, de diálogo, el respeto, la justicia y la venganza. Interacciones simétricas envían el mensaje "todos somos lo mismo", mientras que las interacciones asimétricas envían el mensaje "Soy especial, mejor que tú". Las relaciones entre compañeros se basan en la simetría, las relaciones de poder se basan en la asimetría.

Simetría en la arquitectura

Otra actividad humana en la que el resultado visual juega un papel vital en el resultado global es la arquitectura . Tanto en la antigüedad, la capacidad de una gran estructura para impresionar o incluso intimidar a sus espectadores a menudo ha sido una parte importante de su propósito, y el uso de la simetría es un aspecto ineludible de cómo lograr esos objetivos.

A tan sólo unos pocos ejemplos de los ejemplos antiguos de arquitecturas que hicieron uso de gran alcance de la simetría para impresionar a los que les rodean incluido el egipcio Pirámides , el griego Partenón , y la primera y segunda Templo de Jerusalén, China Ciudad Prohibida, Camboya 's Angkor Wat complejo, y los muchos templos y pirámides del antiguo Las civilizaciones precolombinas. Más ejemplos históricos recientes de arquitecturas enfatizando simetrías incluyen Catedrales góticas, la arquitectura y de América Presidente Thomas Jefferson 's Monticello casa. India 's incomparable Taj Mahal está en una categoría por sí mismo, ya que puede ser sin duda uno de los usos más impresionantes y hermosas de la simetría en la arquitectura que el mundo jamás haya visto.

Torre inclinada de Pisa

Un ejemplo interesante de una ruptura de simetría en la arquitectura es la torre inclinada de Pisa , cuya notoriedad se deriva en gran parte, no para la simetría prevista de su diseño, sino por la violación de que la simetría de la magra que se desarrolló cuando todavía estaba en construcción. Algunos ejemplos actuales de arquitecturas que hacen un uso impresionante o complejo de varias simetrías incluyen Australia 's sorprendente Sydney Opera House y Houston, Texas 's simple Astrodome.

Simetría encuentra sus formas en la arquitectura a todas las escalas, desde los puntos de vista externos globales, a través de la disposición de la persona planos de planta, y hacia abajo para el diseño de elementos de construcción individual, como puertas intrincadamente presentaban caídos, vidrieras , mosaicos de azulejos , frisos, escaleras, barandas de escaleras, y balustradess. Por mera complejidad y sofisticación en la explotación de la simetría como elemento arquitectónico, islámicos edificios como el Taj Mahal menudo eclipsan las de otras culturas y edades, debido en parte a la prohibición general del Islam contra el uso de las imágenes o las personas o animales.

Enlaces relacionados con simetría en la arquitectura incluyen:

• Williams: Simetría en Arquitectura
• Aslaksen: Matemáticas en Arte y Arquitectura

Simetría en vasijas de cerámica y metal

Buque Persa (cuarto milenio antes de Cristo)

Desde los primeros usos de ruedas de cerámica para ayudar a los buques de la forma de arcilla, cerámica ha tenido una fuerte relación de simetría. Como mínimo, la cerámica creado usando una rueda necesariamente comienza con simetría de rotación completo en su sección transversal, al tiempo que permite la libertad de forma sustancial en la dirección vertical. Sobre esta culturas punto de partida inherentemente simétricas desde tiempos antiguos han tendido a añadir más patrones que tienden a explotar o en muchos casos reducir la simetría rotacional original completo a un punto donde se consigue un objetivo visual específico. Por ejemplo, persa cerámica que data del cuarto milenio antes de Cristo y anteriormente utilizado zigzags simétricas, plazas, cruzadas eclosiones y repeticiones de figuras para producir diseños globales más complejos y llamativos visualmente.

Vasos de metal fundido carecían de la simetría rotacional inherente de la cerámica de la rueda a la medida, pero siempre lo contrario una oportunidad similar para decorar sus superficies con patrones agradables a quienes las utilizan. La antigua China, por ejemplo, utiliza patrones simétricos en sus fundiciones de bronce ya en el 17mo vasos siglo aC Bronce exhiben tanto un motivo principal bilateral y un diseño de la frontera traducida repetitivo.

Enlaces:

• Chinavoc: El arte de chinos Bronces

• Subvención: Cerámica iraní en el Instituto Oriental

• El Museo Metropolitano de Arte - Arte Islámico

Simetría en edredones

Bloquear Caleidoscopio Cocina

Como edredones están hechos de bloques cuadrados (por lo general 9, 16, o 25 piezas para un bloque) con cada pieza más pequeña por lo general consiste en triángulos de tela, la nave se presta fácilmente a la aplicación de simetría.

Enlaces:

• Quate: Explorando Geometría A través de los edredones

Simetría en alfombras y moquetas

Alfombra persa.

Una larga tradición del uso de la simetría en la alfombra y los patrones de alfombras se extiende por una variedad de culturas. Americano indios navajos utilizan diagonales audaces y motivos rectangulares. Muchos alfombras orientales tienen centros reflejados intrincados y fronteras que traducen un patrón. No es sorprendente, alfombras rectangulares utilizan típicamente simetría que cuadrilátero es, motivos que se reflejan a través de ambos los ejes horizontal y vertical.

Enlaces:

• Mallet: Oriental Rugs tribales

• Dilucchio: Navajo Alfombras

Simetría en la música

La simetría es, por supuesto, no se limita a las artes visuales. Su papel en la historia de la música toca muchos aspectos de la creación y la percepción de la música.

Forma musical

La simetría se ha utilizado como una restricción oficial por muchos compositores, tales como la forma del arco (ABCBA) utilizado por Steve Reich, Béla Bartók, y James Tenney (o hincharse). En la música clásica, Bach utilizó los conceptos de simetría de permutación y la invariancia; ver (enlace externo "Fuga No. 21," pdf o Shockwave).

Estructuras Pitch

La simetría es también una consideración importante en la formación de escalas y acordes, tradicional o música tonal se compone de grupos no simétricas de lanzamientos, como la escala diatónica o el acorde mayor. Escalas o acordes simétricos, como el conjunto de escala tonal, acorde aumentado o disminuido acorde de séptima (disminuido disminuido séptimo), se dice que la dirección carencia o una sensación de movimiento hacia adelante, son ambiguos en cuanto al centro de la llave o tonal, y tienen una menos específica funcionalidad diatónica. Sin embargo, compositores como Alban Berg, Béla Bartók, y George Perle han utilizado ejes de simetría y / o ciclos de intervalos en una manera análoga a las llaves o no tonales tonales centros.

Perle (1992) explica "CE, DF #, [y] Eb-G, son diferentes instancias del mismointervalo de ... el otro tipo de identidad. ..has que ver con ejes de simetría. CE pertenece a una familia de díadas simétricamente relacionados como sigue: "

Por lo tanto, además de ser parte de la familia intervalo-4, CE es también una parte de la familia de suma-4 (con C igual a 0).

Ciclos de intervalo son simétricas y por lo tanto no diatónica. Sin embargo, un segmento de siete tono de C5 (el ciclo de quintas, que son enarmónica con el ciclo de cuartos) producirán la escala mayor diatónica. Tonales cíclicos progresiones en las obras de los compositores románticos como Gustav Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones de tono cíclicos en la música atonal de modernistas como Bartók, Alexander Scriabin, Edgard Varèse, y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones indicar el final de la tonalidad.

La primera ampliada constantemente en base a las relaciones de tono simétricas era probablemente de Alban Berg Quartet , Op. 3 (1910). (Perle, 1990)

Equivalencia

Filas de tono ode clase de tonoconjuntos que soninvariantes bajoretrógrada son horizontalmente simétrica, bajoinversión verticalmente. Ver también ritmo asimétrico.

Simetría en otras artes y artesanías

Knotwork celta

El concepto de simetría se aplica al diseño de objetos de todas las formas y tamaños. Otros ejemplos incluyen abalorios,muebles,pinturas de arena,knotwork,máscaras,instrumentos musicales, y muchas otras actividades.

Simetría en la estética

La relación de simetría de la estética es compleja. Ciertos simetrías simples, y, en particular, simetría bilateral, parecen estar profundamente arraigada en la percepción inherente de los seres humanos de la salud probable o adecuación de otros seres vivos, como puede verse por el sencillo experimento de distorsionar un lado de la imagen de una atractiva cara y pidiendo a los espectadores a evaluar el atractivo de la imagen resultante. En consecuencia, tales simetrías que imitan la biología tienden a tener un recurso natural que a su vez impulsa una poderosa tendencia a crear artefactos con simetría similar. Basta imaginar la dificultad de tratar de comercializar un altamente asimétrica coche o camión para los compradores de automóviles en general a comprender el poder de las simetrías de inspiración biológica, tales como simetría bilateral.

Otro atractivo más sutil de simetría es la de sencillez, que a su vez tiene una implicación de la seguridad, la seguridad y la familiaridad. Una habitación muy simétrica, por ejemplo, es inevitablemente una sala en la que cualquier cosa fuera de lugar o potencialmente amenazante se pueden identificar con facilidad y rapidez. Las personas que han, por ejemplo, crecido en casas llenas de ángulos rectos exactos y precisa artefactos idénticos pueden encontrar su primera experiencia en alojarse en una habitación con ningún ángulo recto exactas y no hay artefactos exactamente idénticos a ser muy inquietante. Simetría lo tanto puede ser una fuente de consuelo, no sólo como un indicador de la salud biológica, sino también de un entorno de vida seguro y bien entendido.

En oposición a esto es la tendencia de la simetría excesiva a ser percibido como aburrido o sin interés. Los seres humanos, en particular, tienen un poderoso deseo de explotar nuevas oportunidades o explorar nuevas posibilidades, y un grado excesivo de simetría puede transmitir una falta de este tipo de oportunidades.

Sin embargo, otra posibilidad es que cuando simetrías vuelven demasiado complejo o demasiado difícil, la mente humana tiene una tendencia a "sintonizar a cabo" y les percibe en otra moda: comoruido que transmite ninguna información útil.

Por último, la percepción y la apreciación de las simetrías también dependen de los antecedentes culturales. La medida de un mayor uso de simetrías geométricas complejas en muchos islámicos culturas, por ejemplo, hace que sea más probable que la gente de estas culturas apreciarán estas formas de arte (o, a la inversa, a rebelarse contra ellos).

Como en muchas actividades humanas, el resultado de la confluencia de muchos factores es que el uso eficaz de la simetría en el arte y la arquitectura es compleja, intuitiva y altamente dependiente de las habilidades de los individuos que deben tejer y combinar esos factores dentro de su propia creatividad trabajo. Junto con textura, el color, la proporción, y otros factores, la simetría es un ingrediente de gran alcance en cualquier dicha síntesis; uno sólo tiene que examinar el Taj Mahal al poderoso papel que juega simetría para determinar el atractivo estético de un objeto.

Algunos ejemplos de la utilización más explícita de simetrías en el arte se pueden encontrar en la técnica notable deMC Escher, el diseño creativo del concepto matemático de ungrupo de fondos de escritorio, y las muchas aplicaciones (tanto matemáticos y del mundo real) desuelo de baldosas.

Simetría en juegos y rompecabezas

• Ver también juegos simétricos.

• Versudoku.

Juegos de mesa

• El Ajedrez Colección simétrico

Simetría en la literatura

Ver palíndromo.

Simetría Moral

• Tal para cual
• Reciprocidad
• Regla de Oro
• Empatía y Simpatía
• Equilibrio reflexivo