Derivado

La gráfica de una función, dibujado en negro, y una línea tangente a esa función, dibujado en rojo. La pendiente de la línea tangente es igual a la derivada de la función en el punto marcado.

En el cálculo , una rama de las matemáticas , la derivada es una medida de cómo una función cambia cuando los valores de sus entradas cambian. En términos generales, un derivado puede ser pensado como la cantidad de una cantidad está cambiando en algún momento dado. Por ejemplo, la derivada de la posición o la distancia de un coche en algún momento en el tiempo es la velocidad instantánea, o velocidad instantánea (respectivamente), en el que ese coche está viajando (a la inversa de la integral de la velocidad es la posición del coche).

Una noción estrechamente relacionada es la diferencial de una función.

La derivada de una función en un valor de entrada elegido describe la mejor aproximación lineal de la función cerca de ese valor de entrada. Para función con valores reales de una sola variable real, la derivada en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. En dimensiones más altas, la derivada de una función en un punto es una transformación lineal llama linealización ..

El proceso de búsqueda de un derivado se llama diferenciación. El teorema fundamental del cálculo indica que la diferenciación es el proceso inverso a la integración .

La diferenciación y el derivado de

En cada punto, el derivado es el pendiente de una línea que es tangente a la curva . La línea roja es siempre tangente a la curva azul; su pendiente es la derivada.

La diferenciación es un método para calcular la velocidad a la que una cantidad, y, los cambios con respecto al cambio en otra cantidad, X, sobre la cual se dependiente. Esta tasa de cambio se llama la derivada de y con respecto a x. En lenguaje más preciso, la dependencia de y sobre x significa que y es una función de x. Si x e y son números reales , y si el gráfica de y se representa frente x, las medidas derivadas de los pendiente de esta gráfica en cada punto. Esta relación funcional se denota a menudo y = f (x), donde f denota la función.

El caso más simple es cuando Y es un función lineal de x, lo que significa que la gráfica de y contra x es una línea recta. En este caso, y = f (x) = m x + c, para los números reales M y C, y la pendiente m está dado por

donde el símbolo Δ (la forma mayúscula de la letra griega Delta) es una abreviatura de "cambio en el." Esta fórmula es verdad porque

y + Δ y = f (x + Δ x) = m (x + Δ x) + c = m x + c + m Δ x = y + m Δ x.

De ello se deduce que Δ Δ y = m x.

Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Si la función f no es lineal (es decir, su gráfica no es una línea recta), sin embargo, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía: la diferenciación es un método para encontrar un valor exacto para esta tasa de cambio en cualquier dado valor de x.

Figura 1. La tangente línea en (x, f (x))

Figura 2. La secante a la curva y = f (x) determinado por los puntos (x, f (x)) y (x + h, f (x + h)).

Figura 3. La recta tangente como límite de secantes.

La idea, ilustrado por las figuras 1-3, es calcular la tasa de cambio como el valor límite de la relación de las diferencias Δ Y / Δ Δ x como x se hace infinitamente pequeño.

En Notación de Leibniz, como un cambio infinitesimal en x se denota por dx, y la derivada de y con respecto a x está escrito

lo que sugiere la relación de dos cantidades infinitesimales. (La expresión anterior se manifiesta en diversas formas, tales como "dy dx por" o "dy sobre dx". La forma "dydx" oral se utiliza a menudo coloquial, aunque puede dar lugar a confusión.)

El enfoque más común para convertir esta idea intuitiva en una definición precisa utiliza límites , pero hay otros métodos, tales como análisis no estándar.

Definición a través de cocientes de diferencias

Sea y = f (x) una función de x. En la geometría clásica, la línea tangente en un número real a es la única línea por el punto (a, f (a)), que no cumplió con la gráfica de f transversalmente, lo que significa que la línea no pasa directamente a través del gráfico. La derivada de y con respecto a x en A es, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a. La pendiente de la línea tangente está muy cerca de la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y un punto cercano en el gráfico, por ejemplo (a + h, f (a + h)). Estas líneas se llaman rectas secantes. Un valor de h cercana a cero dará una buena aproximación a la pendiente de la recta tangente, y los valores más pequeños (en valor absoluto ) de h será, en general, dar un mejor aproximaciones. La pendiente de la recta secante es la diferencia entre los valores de y de estos puntos dividido por la diferencia entre los valores de x, es decir,

Esta expresión es Newton 's cociente de diferencias. El derivado es el valor del cociente de diferencias como las líneas secantes se acercan cada vez más cerca de la línea tangente. Formalmente, la derivada de la función f en A es el límite

del cociente de diferencias cuando h tiende a cero, si existe este límite. Si existe el límite, entonces f es diferenciable en a. Aquí f '(a) es una de varias notaciones comunes para el derivado ( véase más adelante ).

De manera equivalente, el derivado satisface la propiedad de que

que tiene la interpretación intuitiva (véase la Figura 1) que la línea tangente a f en una ofrece la mejor aproximación lineal

af cerca de una (es decir, por pequeña h). Esta interpretación es la más fácil de generalizar a otros contextos ( véase más adelante ).

Sustituyendo 0 para h en las causas cociente de diferencias división por cero, por lo que la pendiente de la línea tangente no se pueden encontrar directamente. En lugar de ello, definir Q (h) para ser el cociente de la diferencia como una función de h:

.

Q (h) es la pendiente de la recta secante entre (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)). Si f es una función continua, lo que significa que su gráfica es una curva continua, sin huecos, entonces Q es una función continua de distancia desde el punto h = 0. Si el límite existe, lo que significa que hay una manera de elegir un valor para Q (0) que hace que el gráfico de Q una función continua, entonces la función f es diferenciable en el punto A, y su derivada en un Q es igual a (0).

En la práctica, la continuidad de la Q cociente de diferencias (h) a h = 0 se muestra mediante la modificación del numerador para cancelar h en el denominador. Este proceso puede ser largo y tedioso para funciones complicadas, y muchos cortes cortos se utilizan comúnmente para simplificar el proceso.

Ejemplo

La función cuadrada f (x) = x ² es diferenciable en x = 3, y su derivada existe 6. Esto se demuestra por escribir el cociente de diferencias de la siguiente manera:

Entonces conseguimos la función simplificada en el límite:

La última expresión muestra que el cociente de diferencias es igual a 6 + h cuando h no es cero y no está definido cuando h es cero. (Recuerde que debido a la definición del cociente de diferencias, el cociente de diferencias siempre indefinido cuando h es cero.) Sin embargo, no es una forma natural de llenar un valor para el cociente de diferencias en cero, es decir, 6. Por lo tanto la pendiente de la gráfica de la función de elevación al cuadrado en el punto (3, 9) es 6, y por lo que su derivada en x = 3 es f '(3) = 6.

Más en general, un cálculo similar muestra que la derivada de la función de elevación al cuadrado en x = a es f '(a) = 2 a.

Continuidad y diferenciabilidad

Esta función no tiene una derivada en el punto marcado, ya que la función no es continua allí.

Si y = f (x) es diferenciable en a, entonces f también debe ser continua en a. A modo de ejemplo, elegir un punto a y sea f la función de paso que devuelve un valor, por ejemplo 1, para todos los x menos de una, y devuelve un valor diferente, por ejemplo 10, para todo x mayor que o igual a a. f no puede tener una derivada en a. Si h es negativa, entonces a + h es en la parte baja del paso, por lo que la línea secante de A a A + h será muy empinada, y cuando h tiende a cero la pendiente tiende a infinito. Si h es positivo, entonces a + h está en la parte alta de la etapa, por lo que la línea secante de A a A + h tendrá pendiente cero. En consecuencia, las líneas secantes no se acercan a cualquier sola pendiente, por lo que no existe el límite del cociente de diferencias.

La función valor absoluto es continua, pero no ser diferenciable en x = 0, ya que tiene una esquina aguda.

Sin embargo, incluso si una función es continua en un punto, puede que no sea diferenciable allí. Por ejemplo, el valor absoluto función y = | x | es continua en x = 0, pero no es diferenciable allí. Si h es positivo, entonces la pendiente de la recta secante de 0 a h es uno, mientras que si h es negativa, entonces la pendiente de la recta secante de 0 a h es uno negativo. Esto se puede ver gráficamente como una "torcedura" en el gráfico en x = 0. Incluso una función con un gráfico lisa, que no es diferenciable en un punto donde su tangente es vertical: Por ejemplo, la función y = ³ √ x no es diferenciable en x = 0.

La mayoría de las funciones que se producen en la práctica tienen los derivados en todos los puntos o en casi todos los puntos. Sin embargo, un resultado de Stefan Banach afirma que el conjunto de funciones que tienen un derivado en algún momento es una magro aparato en el espacio de todas las funciones continuas. De manera informal, esto significa que las funciones diferenciables son muy atípica entre funciones continuas. El primer ejemplo conocido de una función que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna parte es la Función de Weierstrass.

El derivado como una función

Sea f una función que tiene un derivado en cada punto a en el dominio de f. Debido a que cada punto A tiene un derivado, hay una función que envía el punto A a la derivada de f en a. Esta función se escribe f '(x) y se llama la función derivada o la derivada de f. La derivada de f recoge todos los derivados de f en todos los puntos en el dominio de f.

A veces, f tiene una derivada en la mayoría, pero no todos, los puntos de su dominio. La función cuyo valor en A es igual a f '(a) siempre que f' (a) se define y está definido en otra parte es también llamada la derivada de f. Todavía es una función, pero su dominio es estrictamente menor que el dominio de f.

El uso de esta idea, la diferenciación se convierte en una función de las funciones: El derivado es una operador cuyo dominio es el conjunto de todas las funciones que tienen derivadas en cada punto de su dominio y cuyo recorrido es un conjunto de funciones. Si denotamos por este operador D, entonces D (f) es la función f '(x). Desde D (f) es una función, que puede ser evaluada en un punto a. Por la definición de la función derivada, D (f) (A) = f '(a).

Para la comparación, considere la función de duplicación f (x) = x 2; f es una función real de un número real, lo que significa que se necesita un número como entradas y tiene números como salidas:

El operador D, sin embargo, no está definido en números individuales. Sólo se define en las funciones de:

Debido a la salida de D es una función, la salida del D puede ser evaluada en un punto. Por ejemplo, cuando D se aplica a la función de elevación al cuadrado,

D envía la función de duplicación,

que nombramos f (x). Esta función de salida puede entonces ser evaluada para obtener f (1) = 2, f (2) = 4, y así sucesivamente.

Derivados más altos

Sea f una función diferenciable, y sea f '(x) su derivada. La derivada de f '(x) (si lo tiene) se escribe f' '(x) y se llama la segunda derivada de f. Del mismo modo, la derivada de una segunda derivada, si existe, se escribe f '' '(x) y se llama la tercera derivada de f. Estos derivados repetidas se llaman derivadas de orden superior.

Una función f no necesita tener un derivado, por ejemplo, si no es continua. Del mismo modo, incluso si f tiene un derivado, puede no tener una segunda derivada. Por ejemplo, dejar

.

Un cálculo elemental muestra que f es una función diferenciable cuya derivada es

.

f '(x) es el doble de la función de valor absoluto, y no tienen un derivado en cero. Ejemplos similares demostrar que una función puede tener derivados k para cualquier k entero no negativo, pero no (k + 1) -orden derivado. Una función que tiene k derivadas sucesivas se llama k veces diferenciable. Si además el orden k derivada es continua, entonces la función se dice que es de diferenciabilidad clase C ^k. (Esta es una condición más fuerte que tiene derivados k. Para un ejemplo, véase clase diferenciabilidad.) Una función que tiene infinitamente muchos derivados se llama infinitamente diferenciable o liso.

En la recta real, cada función polinómica es infinitamente diferenciable. Por norma reglas de diferenciación, si un polinomio de grado n se diferencia n veces, entonces se convierte en una función constante. Todas sus derivados posteriores son idénticamente cero. En particular, existen, por lo polinomios son funciones suaves.

Las derivadas de una función f en un punto x proporcionan aproximaciones polinómicas a esa función cerca de x. Por ejemplo, si f es dos veces diferenciable, entonces

en el sentido de que

Si f es infinitamente diferenciable, entonces este es el comienzo de la serie de Taylor para f.

Notaciones para la diferenciación

Notación de Leibniz

La notación para derivados introducidos por Gottfried Leibniz es uno de los primeros. Todavía se utiliza comúnmente cuando la ecuación y = f (x) es vista como una relación funcional entre variables dependientes e independientes. A continuación, la primera derivada se denota por

Derivadas de orden superior se expresan usando la notación

para la n-ésima derivada de y = f (x) (con respecto a x).

Con la notación de Leibniz, podemos escribir la derivada de y en el punto x = a de dos maneras diferentes:

Notación de Leibniz permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador). Esto es especialmente relevante para diferenciación parcial. También hace que el regla de la cadena fácil de recordar:

Notación de Lagrange

Una de las notaciones modernas más comunes para la diferenciación se debe a Joseph Louis Lagrange y utiliza el Primer marca, f de manera que se denota la derivada de una función f (x) '(x) o simplemente f'. Del mismo modo, el segundo y el tercero derivados se denotan

y

Más allá de este punto, algunos autores utilizan números romanos como

para la cuarta derivada, mientras que otros autores sitúan el número de derivados entre paréntesis:

Esta última notación generaliza para dar el f notación ⁽ⁿ⁾ para la enésima derivada de f - esta notación es más útil cuando se quiere hablar de la derivada como una función en sí, como en este caso la notación de Leibniz puede llegar a ser engorroso.

Notación de Newton

La notación de Newton para la diferenciación, también llamada la notación de punto, coloca un punto sobre el nombre de función para representar un derivado. Si y = f (t), entonces

y

denotan, respectivamente, las primera y segunda derivadas de y con respecto a t. Esta notación se utiliza casi exclusivamente para derivados de tiempo, lo que significa que la variable independiente de la función representa el tiempo . Es muy común en la física y en disciplinas matemáticas relacionadas con la física, como las ecuaciones diferenciales . Mientras la notación se vuelve inmanejable para los derivados de alto orden, en la práctica sólo se necesitan muy pocos derivados.

Notación de Euler

Euler utiliza la notación 's un operador diferencial D, que se aplica a una función f para dar el derivado de primera Df. La segunda derivada se denota D ² f, y la n-ésima derivado se denota D ⁿ f.

Si y = f (x) es una variable dependiente, a continuación, a menudo el subíndice x se une a la D para aclarar la variable x independiente. Notación de Euler se escribe a continuación

o ,

Aunque este subíndice se omite a menudo cuando se entiende la variable x, por ejemplo, cuando esta es la única variable presente en la expresión.

Notación de Euler es útil para afirmar y resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Cálculo de la derivada

La derivada de una función puede, en principio, se calcula a partir de la definición considerando el cociente de diferencias, y calcular su límite. Para algunos ejemplos, véase Derivados (ejemplos). En la práctica, una vez que se conocen los derivados de algunas funciones sencillas, los derivados de otras funciones se calculan más fácilmente el uso de reglas para la obtención de derivados de funciones más complicadas de otras más simples.

Derivadas de las funciones elementales

Además, los derivados de algunas funciones comunes son útiles para saber.

• Los derivados de poderes: si

,

donde r es cualquier número real , entonces

,

donde esta función se define. Por ejemplo, si r = 1/2, entonces

.

y la función se define sólo para x no negativo. Cuando r = 0, esta regla se recupera la regla constante.

• Exponenciales y logarítmicas funciones:

• Funciones trigonométricas :

• Funciones trigonométricas inversas:

Reglas para la búsqueda de la derivada

En muchos casos, los cálculos de límite complicados por aplicación directa de la diferencia de cociente de Newton se pueden evitar utilizando las reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes.

• Constant regla: si f (x) es constante, entonces

• Regla Suma:

para todas las funciones f y g y todos los números reales a y b.

• Estado del producto:

para todas las funciones f y g.

• Regla del cociente:

• Regla de la cadena: Si , A continuación,

.

Ejemplo de cálculo

El derivado de

es

Aquí el segundo término se calcula utilizando la regla de la cadena y tercero utilizando la regla del producto: los derivados conocidos de las funciones elementales x ², x ^4, sin (x), ln (x) y exp (x) = también se utilizaron e ^x .

Derivados en dimensiones superiores

Derivados de funciones vectoriales valorado

La función y vector de valor (t) de una variable real es una función que envía los números reales a los vectores en algún espacio vectorial R ^n. Una función vectorial se puede dividir en sus funciones coordinar y ₁ (t), y ₂ (t), ..., y _n (t), lo que significa que y (t) = (y ₁ (t), ... , y _n (t)). Esto incluye, por ejemplo, curvas paramétricas en ^R2 o ^R3. Las funciones de coordenadas son reales funciones valorados, por lo que la anterior definición de derivado se aplica a ellos. El derivado de y (t) se define como el vector , llamado vector tangente, cuyas coordenadas son las derivadas de las funciones de coordenadas. Esto es,

De manera equivalente,

si existe el límite. La resta en el numerador es la resta de vectores, no escalares. Si existe la derivada de y para cada valor de t, entonces y 'es otra función vectorial valorado.

Si e _1, ..., e _n es la base estándar para R ^n, entonces y (t) también se puede escribir como _y1 (t) e ₁ + ... + y _n (t) _e s. Si asumimos que la derivada de una función vectorial conserva la propiedad de linealidad, a continuación, la derivada de y (t) debe ser

porque cada uno de los vectores de la base es una constante.

Esta generalización es útil, por ejemplo, si y (t) es el vector de posición de una partícula en el tiempo t; entonces la derivada y '(t) es la velocidad del vector de la partícula en el tiempo t.

Derivadas parciales

Supongamos que f es una función que depende de más de una variable. Por ejemplo,

f puede ser reinterpretado como una familia de funciones de una variable indexada por las otras variables:

En otras palabras, cada valor de x elige una función, denotado f _x, que es una función de un número real. Esto es,

Una vez que se elige un valor de x, decir a, entonces f (x, y) determina una función f _a la cual Y envía a un ² + ay + y ²:

En esta expresión, a es una constante, no una variable, por lo que _un f es una función de una sola variable real. En consecuencia, la definición de la derivada de una función de una variable se aplica:

El procedimiento anterior se puede realizar para cualquier elección de a. Montaje de los derivados juntos en una función da una función que describe la variación de f en la dirección y:

Esta es la derivada parcial de f con respecto a y. Aquí ∂ es una d redondeada llama el símbolo de derivada parcial. Para distinguirla de la letra d, ∂ a veces se pronuncia "der", "del" o "parcial" en lugar de "dee".

En general, la derivada parcial de una función f (x _1, ..., x _n) en la dirección x _i en el punto (a ₁ ..., a _n) se define como:

En el cociente de diferencias anteriormente, todas las variables, excepto x _i se mantiene fijo. Esta elección de valores fijos determina una función de una variable

y, por definición,

En otras palabras, las diferentes opciones de un índice de una familia de funciones de una variable igual que en el ejemplo anterior. Esta expresión también muestra que el cálculo de las derivadas parciales reduce al cálculo de los derivados de una variable.

Un ejemplo importante de una función de varias variables es el caso de una función f con valores escalares (x _1, ... x _n) en un dominio en el espacio euclidiano R ⁿ (por ejemplo, en I o R ² ³). En este caso f tiene una derivada parcial f ∂ / ∂ x _j con respecto a cada x _j variable. En el punto a, estas derivadas parciales definen el vector

Este vector se llama gradiente de f en a. Si f es diferenciable en cada punto en algún dominio, entonces el gradiente es una función f ∇ vector de valor que tiene el punto a al vector ∇ f (a). En consecuencia, el gradiente determina una campo vectorial.

Derivadas direccionales

Si f es una función de valor real en R ^n, entonces las derivadas parciales de medida f su variación en la dirección de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, si f es una función de x e y, a continuación, sus derivadas parciales miden la variación de f en la dirección x y la dirección y. Ellos no, sin embargo, medir directamente la variación de f en cualquier otra dirección, tal como a lo largo de la diagonal recta y = x. Estos se miden utilizando derivadas direccionales. Elige un vector

La derivada direccional de f en la dirección de v en el punto x es el límite

Vamos λ sea un escalar. La sustitución de h / λ para h cambia diferencia cociente del λ v de dirección en tiempos λ diferencia de cociente la v de dirección. En consecuencia, la derivada direccional en la dirección λ v es λ veces la derivada direccional en la dirección v. Debido a esto, derivadas direccionales a menudo se consideran sólo para vectores unitarios v.

Si existen todas las derivadas parciales de f y son continuas en x, entonces determinar la derivada direccional de f en la dirección v por la fórmula:

Esto es una consecuencia de la definición de la derivada total. Se deduce que la derivada direccional es lineal en v.

La misma definición también funciona cuando f es una función con valores en R ^m. Nos limitamos a usar la definición anterior en cada componente de los vectores. En este caso, la derivada direccional es un vector en R ^m.

La derivada total, el diferencial total y el Jacobiano

Sea f una función de un dominio de R a R. La derivada de f en un punto A en su dominio es la mejor aproximación lineal a f en ese punto. Como anteriormente, este es un número. Geométricamente, si v es un vector unitario a partir de a, entonces f '(a), la mejor aproximación lineal de f en A, debe ser la longitud del vector encontrado moviendo v para el espacio objetivo usando f. (Este vector se llama pushforward de v por f y por lo general se escribe .) En otras palabras, si v se mide en términos de distancias en el objetivo, entonces, porque v sólo puede medirse a través de f, v ya no parece ser un vector unitario porque f no conserva vectores unitarios. En lugar v parece tener longitud f '(a). Si m es mayor que uno, entonces escribiendo f usando coordinar las funciones, la longitud de v en cada una de las direcciones de coordenadas se puede medir por separado.

Supongamos ahora que f es una función de un dominio R en ⁿ a R ^m y que a es un punto en el dominio de f. La derivada de f en una todavía debe ser la mejor aproximación lineal a f en a. En otras palabras, si v es un vector en R ^n, entonces f '(a) debe ser el transformación lineal que mejor aproxima f. La transformación lineal debe contener toda la información acerca de cómo f transforma vectores en una de vectores en f (a), y en los símbolos, esto significa que debe ser la transformación lineal f '(a) tal que

Aquí h es un vector en R ^n, por lo que la norma en el denominador es la longitud estándar en R ^n. Sin embargo, f '(a) h es un vector en R ^m, y la norma en el numerador es la longitud estándar en R ^m. La transformación lineal f '(a), si existe, se llama la derivada total de f en una o la (total) diferencial de f en a.

Si existe la derivada total en a, entonces existen todas las derivadas parciales de f en a. Si escribimos f usando coordinar las funciones, de manera que f = (f _1, f _2, ..., f _m), entonces la derivada total puede ser expresado como una matriz de llamada Matriz jacobiana de f en un:

La existencia de la Jacobiana es estrictamente más fuerte que la existencia de todas las derivadas parciales, pero si existen las derivadas parciales y satisfacen las condiciones de suavidad suaves, entonces existe la derivada total y está dada por el Jacobiano.

La definición de la derivada total subsume la definición de la derivada de una variable. En este caso, existe la derivada total si y sólo si existe el derivado de costumbre. La matriz Jacobiana reduce a una matriz de 1 × 1 cuya entrada sólo es la derivada f '(x). Esta 1 × 1 matriz satisface la propiedad de que f (a + h) - f (a) - f '(a) h es aproximadamente cero, en otras palabras, que

Hasta las variables cambiantes, esto es la afirmación de que la función de es la mejor aproximación lineal de f en a.

El derivado total de una función no da otra función de la misma manera que el caso de una sola variable. Esto es porque la derivada total de una función multivariable tiene que grabar mucha más información que la derivada de una función de una sola variable. En cambio, la derivada total da una función de la paquete de la tangente de la fuente hasta el fibrado tangente de la meta.

Las generalizaciones

El concepto de un derivado se puede extender a muchas otras configuraciones. El hilo común es que la derivada de una función en un punto sirve como aproximación lineal de la función en ese punto.

• Un importante generalización de las preocupaciones derivados complejos funciones de variables complejas, como las funciones de (un dominio en) los números complejos C a C. La noción de la derivada de una función de este tipo se obtiene mediante la sustitución de las variables reales con variables complejas en la definición. Sin embargo, esta definición inocente esconde algunas propiedades muy profundas. Si C se identifica con R ² escribiendo un número complejo z como x + i y, a continuación, una función diferenciable de C a C es ciertamente diferenciable como una función de R a R ² ² (en el sentido de que existen todas sus derivadas parciales) , pero lo contrario no es cierto en general: el complejo derivado sólo existe si el verdadero derivado es lineal complejo y esto impone las relaciones entre las derivadas parciales llamado Ecuaciones de Cauchy Riemann - ver funciones holomorfas.

• Otra generalización se refiere a las funciones entre variedades diferenciables o lisas. Intuitivamente hablando una variedad M tal es un espacio que puede ser aproximado cerca de cada punto x por un espacio vectorial llamado su espacio tangente: el ejemplo prototípico es un superficie lisa en I ³. El derivado (o diferencial) de un (diferenciable) f: M → N entre colectores, en un punto x en M, es entonces un mapa lineal desde el espacio tangente de M en x para el espacio tangente de N en f (x). La función derivada se convierte en un mapa entre el paquetes tangentes de M y N. Esta definición es fundamental en geometría diferencial y tiene muchos usos - ver pushforward (diferencial) y pullback (geometría diferencial).

• La diferenciación también se puede definir para los mapas entre dimensionales infinitos espacios vectoriales como Espacios de Banach y Espacios de Fréchet. No es una generalización tanto de la derivada direccional, llamado Derivado Gâteaux, y de la diferencia de, llamado el Derivada de Fréchet.

• Una deficiencia del derivado clásica es que no muchas funciones son diferenciables. Sin embargo, hay una manera de extender la noción del derivado de modo que todos funciones continuas y muchas otras funciones pueden diferenciarse utilizando un concepto conocido como la derivado débil. La idea es la de insertar las funciones continuas en un espacio más grande llamado el espacio de distribuciones y sólo requieren que una función es diferenciable "en promedio".

• Las propiedades de la derivada han inspirado la introducción y estudio de muchos objetos similares en el álgebra y la topología - ver, por ejemplo, álgebra diferencial.