Numero irracional

En las matemáticas , un número irracional es cualquier número real que no es un número racional - es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m / n, donde m y n son números enteros , con n diferente de cero. De manera informal, esto significa números que no pueden ser representados como fracciones simples. Se puede deducir que tampoco se pueden representar como terminación o decimales periódicos, pero la idea es más profundo que eso. Si bien puede parecer extraño a primera vista, casi todos los números reales son irracionales, en un sentido que se define con mayor precisión a continuación. Tal vez los números más conocidos son irracional π y √2.

Cuando el razón entre las longitudes de dos segmentos de línea es irracional, los segmentos de línea también se describen como inconmensurable, lo que significa que comparten ninguna medida en común. Una medida de un segmento de línea I en este sentido es un segmento de línea J que "las medidas" I en el sentido de que toda algún número de copias de J establecidas de extremo a extremo ocupan la misma longitud que I.

El número es irracional.

Historia

La primera prueba de la existencia de los números irracionales se suele atribuir a Hipaso de Metaponto, un Pitágoras que probablemente les descubierto mientras se identifican lados de la pentagrama. Sin embargo Pitágoras creía en lo absoluto de los números, y no podía aceptar la existencia de los números irracionales. No podía refutar su existencia a través de la lógica, pero sus creencias no aceptaría la existencia de los números irracionales y por eso, como dice la leyenda tenía, tenía Hípaso ahogó. Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de la irracionales de números enteros hasta 17, pero se detuvo allí probablemente porque el álgebra que utilizó no podía aplicarse a la raíz cuadrada de 17. No fue hasta Eudoxo desarrolló una teoría de las relaciones irracionales que se creó una sólida base matemática de los números irracionales. Elementos de Euclides Libro 10 está dedicado a la clasificación de las magnitudes irracionales.

El siglo XVI vio la aceptación de los negativos , integrales y fraccionarios números. El siglo XVII vio fracciones decimales con la notación moderna utiliza bastante en general por los matemáticos. Los próximos cien años vieron los números imaginarios se convierten en una herramienta poderosa en manos de Abraham de Moivre, y especialmente de Leonhard Euler . La finalización de la teoría de los números complejos en el siglo XIX supuso la diferenciación de los irracionales en números algebraicos y trascendentes, la prueba de la existencia de números trascendentes, y el resurgimiento del estudio científico de la teoría de los irracionales, en gran parte ignorados desde Euclides . El año 1872 vio la publicación de las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno Kossak), Heine ( Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), y Richard Dedekind. Meray había tomado en 1869 el mismo punto de partida, Heine, pero la teoría se denomina generalmente el año 1872. método de Weierstrass ha sido completamente establecido por Salvatore Pincherle en 1880, y Dedekind ha recibido prominencia adicional a través de la obra del autor más tarde (1888) y la reciente aprobación por parte de Paul Curtiduría (1894). Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en las series infinitas, mientras que Dedekind funda su en la idea de un cortar (schnitt) en el sistema de los números reales , separando todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El sujeto ha recibido contribuciones posteriores a manos de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), y Meray.

Fracciones continuas, estrechamente relacionados con los números irracionales (y debido a Cataldi, 1613), recibieron atención por parte de Euler , y en la apertura del siglo XIX trajeron a la prominencia a través de los escritos de Lagrange . Dirichlet también añadido a la teoría general, al igual que numerosos contribuyentes a las aplicaciones de la asignatura.

Lambert demostró (1761) que π no puede ser racional, y que e ⁿ es irracional si n es racional (a menos que n = 0). Mientras que la prueba de Lambert se dice a menudo para ser incompleta, evaluaciones modernos soportan como satisfactoria, y de hecho para su tiempo inusualmente riguroso. Legendre (1794), después de la introducción de la Función de Bessel-Clifford, proporcionó una prueba para demostrar que π ² es irracional, de donde se sigue inmediatamente que π es irracional también. La existencia de los números trascendentes fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Más tarde, Georg Cantor (1873) demostró su existencia por un método diferente, que mostró que cada intervalo en los reales contiene números trascendentes. Charles Hermite (1873) primera demostrado trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882), a partir de las conclusiones de Hermite, mostró el mismo para π. La demostración de Lindemann se simplifica mucho por Weierstrass (1885), aún más por David Hilbert (1893), y finalmente se hizo elemental Adolf Hurwitz y Paul Albert Gordan.

Ejemplo pruebas

La raíz cuadrada de 2

La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 podrá probarse por suponiendo que es racional y deducir una contradicción, llamada un argumento por reducción al absurdo. El siguiente argumento apela dos veces al hecho de que el cuadrado de un entero impar es siempre impar.

Si √ 2 es racional que tiene la forma m / n para los números enteros m, n no ambos incluso. Entonces m ² = 2 n ² donde m es par, decir m = 2 p. Así 4 p ² = 2 n ² así que 2 p ² = n ² donde n es también incluso, una contradicción.

Otra prueba

La siguiente argumento reducción al absurdo es menos conocido. Utiliza la información adicional √2> 1.

1. Supongamos que √2 es un número racional. Esto significaría que existen enteros m y n con n ≠ 0 tal que m / n = √2.
2. Entonces √2 también puede ser escrito como una fracción irreducible m / n con números enteros positivos, porque √2> 0.
3. Entonces , Porque .
4. Desde √2> 1, se deduce que m> n, que a su vez implica que m> 2 n - m.
5. Así la fracción m / n para √2, que de acuerdo con (2) ya está en su mínima expresión, es representado por (3) en términos estrictamente inferiores. Esta es una contradicción, por lo que la hipótesis de que √2 es racional debe ser falsa.

Del mismo modo, asumir un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa pierna y tienen longitudes respectivas nym enteros. Por el teorema de Pitágoras , la relación m / n es igual a √2. Es posible construir por un clásico compás y una regla de construcción de un triángulo rectángulo isósceles pequeños cuya pierna y hipotenusa tienen longitudes respectivas m - n y 2 n - m. Esa construcción demuestra la irracionalidad de √2 por el tipo de método que se empleó por los antiguos geómetras griegos.

La raíz cuadrada de 10 y más allá

Si √ 10 es racional, digamos m / n, entonces m ² = 10 n ^2. Sin embargo, en notación decimal, cada plaza termina en un número par de ceros. Entonces m ² y 10 n ² en decimal debe terminar en respectivamente un número par e impar de ceros, una contradicción.

Más en general, en cualquier r radix que no es en sí mismo un cuadrado, cada cuadrado termina en incluso un número de ceros, de donde √ 10 _r en radix r es irracional, es decir, √ r es irracional. De ello se desprende que los únicos enteros con raíces cuadradas racionales son cuadrados. Como ejemplo de ello, 2 no es un cuadrado, y 2 en binario es 10 _2. (Nota de la convención de subíndices números no decimales con su raíz, para evitar ambigüedades. Como parte de ese convenio se entienden los subíndices de estar en decimal, no siendo subíndice sí mismos.)

Para ir aún más lejos, podemos considerar m ^k = r × n ^k para cualquier enteros r y k. Si r ≠ u ^K para cualquier número entero u, entonces R tiene al menos un factor primo p elevado a un exponente que no es divisible por k. Como todos los exponentes en la factorización prima de m ^k son divisible por k, para la ecuación de celebrar, la descomposición en factores primos de n ^k debe contener p elevado a una potencia que también no es divisible por k. Pero esto es claramente imposible. Por lo tanto, para cualquier enteros r y k, ^k √ r es irracional si r ≠ u ^K para cualquier número entero u. Este resultado también se deduce del hecho de que la crianza de un número racional no integral a una potencia entera nunca puede ser igual a un número entero, además de 1.

La proporción áurea

Cuando un segmento de línea se divide en dos subsegmentos disjuntos de una manera tal que la proporción de la totalidad de la parte más larga es igual a la relación de la parte más larga de la parte más corta, a continuación, que la relación es la proporción áurea , igual a

Supongamos que es un número racional n / m en su mínima expresión. Tome n a ser la longitud del conjunto y m la longitud de la parte más larga. Entonces n> m, y la longitud de la parte más corta es n - m. Entonces tenemos

Sin embargo, esto pone una fracción ya en su mínima expresión en términos inferiores -a contradicción. Por lo tanto, la hipótesis inicial, que la proporción de oro es racional, es falsa.

Logaritmos

Tal vez los números más fácilmente demostraron ser irracional son ciertos logaritmos . Aquí está una prueba por reducción al absurdo que log ₂ 3 es irracional:

• Supóngase log ₂ 3 es racional. Para algunos enteros m y n positivos, tenemos log ₂ 3 = m / n.
• De ello se deduce que 2 ^{m / n} = 3.
• Levante cada lado a la potencia n, encontrar 2 ^m = 3 ^n.
• Pero 2 a cualquier potencia entero mayor que 0 es aún (porque al menos uno de sus factores primos es 2) y 3 a cualquier potencia entero mayor que 0 es impar (porque ninguno de sus factores primos es 2), por lo que la suposición original es falsa.

Casos como log ₁₀ 2 pueden ser tratados de manera similar.

Irracionales trascendentes y algebraicos

Casi todos los números irracionales son trascendentales y todo números trascendentes son irracionales: el artículo sobre los números trascendentes enumera varios ejemplos e ^ry π ^r son irracionales si r ≠ 0 es racional; e ^π también es irracional..

Otra forma de construir los números irracionales es tan irracional números algebraicos, es decir, como ceros de polinomios con coeficientes enteros: comienzan con una ecuación polinómica

p (x) = a _n x ⁿ + a _n x ⁿ _-1 ^-1 + ... + a ₁ x + a = ₀ 0

donde los coeficientes a _i son números enteros. Supongamos que usted sabe que existe algún número real x con p (x) = 0 (por ejemplo, si n es impar y una _n no es cero, entonces, debido a la teorema del valor intermedio). Las únicas posibles raíces racionales de esta ecuación polinómica son de la forma r / s donde r es un divisor de un ₀ y s es un divisor de _n; sólo hay un número finito de tales candidatos que todos pueden cheque con la mano. Si ninguno de ellos es una raíz de p, entonces x debe ser irracional. Por ejemplo, esta técnica se puede utilizar para demostrar que x = (2 ^1/2 + 1) ^1/3 es irracional: tenemos (x ³ - 1) ² = 2 y por lo tanto x ⁶ - 2 x ³ - 1 = 0 y este último polinomio no tiene ningún raíces racionales (los únicos candidatos para comprobar son ± 1).

Debido a que los números algebraicos forman una campo, muchos números irracionales se puede construir mediante la combinación de números trascendentes y algebraicos. Por ejemplo 3π + 2, π + √ 2 y e √ 3 son irracionales (e incluso trascendental).

Expansiones decimales

La expansión decimal de un número irracional nunca se repite o termina, a diferencia de un número racional.

Para mostrar esto, supongamos que dividimos enteros n por m (donde m es distinto de cero). Cuando división larga se aplica a la división de n por m, solamente m restos son posibles. Si 0 aparece como un resto, la expansión decimal termina. Si 0 nunca ocurre, entonces el algoritmo se puede ejecutar como máximo m - 1 pasos sin utilizar ningún resto más de una vez. Después de eso, un resto debe repetirse, y luego las repeticiones expansión decimal!

Por el contrario, supongamos que estamos ante una decimal periódico, podemos demostrar que es una fracción de dos números enteros. Por ejemplo:

Aquí la longitud de la repitend es 3. Se multiplica por 10 ^3:

Tenga en cuenta que ya hemos multiplicado por 10 elevado a la potencia de la longitud de la parte que se repite, cambiamos los dígitos a la izquierda del punto decimal exactamente eso muchas posiciones. Por lo tanto, el extremo de cola de 1000 A coincide con el final de la cola de A exactamente. Aquí, tanto 1.000 A y A han repitiendo 162 al final.

Por lo tanto, cuando se resta A de ambos lados, la parte final de 1000 A cancela fuera del extremo de la cola de A:

Entonces

que es un cociente de números enteros y por lo tanto un número racional.

Preguntas abiertas

No se sabe si π + e o π - e es irracional o no. De hecho, no hay ningún par de números enteros m y n no nulos para los que se sabe si m π + ne es irracional o no. Además, no se sabe si el conjunto {π, e} es algebraicamente independiente sobre Q.

No se sabe si ^e 2, π ^e, π ^√2, Constante del catalán, o el Euler-Mascheroni gamma γ constantes son irracionales.

El conjunto de todos los irracionales

Desde forman los reales una la multitud innumerable de los cuales los racionales son un subconjunto numerable, el conjunto complementario de los irracionales es incontable.

Bajo el habitual ( Euclidiana) función de distancia d (x, y) = | x - y |, los números reales son una espacio métrico y por lo tanto también una espacio topológico. La restricción de la función de distancia euclidiana da los irracionales la estructura de un espacio métrico. Desde el subespacio de los irracionales no está cerrado, la métrica inducida no es completa. Sin embargo, al ser una Conjunto G-delta - es decir, una intersección numerable de subconjuntos abiertos - en un espacio métrico completo, el espacio de los irracionales es topológicamente completa: es decir, no es un indicador de las irracionales que inducen la misma topología como la restricción de la métrica euclidiana, pero con respecto a la cual los irracionales son completa. Uno puede ver esto sin saber el hecho antes mencionado acerca de los conjuntos G-delta: la continua expansión fracción de un número irracional define un homeomorfismo del espacio de los irracionales para el espacio de todas las secuencias de números enteros positivos, que se ve fácilmente que ser completamente metrizable.

Además, el conjunto de todos los irracionales es un espacio métrico desconectado.