Elementos de Euclides

La frontispicio de la primera versión de Sir Henry Billingsley Inglés de los Elementos de Euclides, 1570

Elementos de Euclides ( griego : Στοιχεῖα) es un matemático y geométrico tratado que consta de 13 libros escritos por el Griego matemático Euclides en Alejandría alrededor del año 300 antes de Cristo. Se compone de un conjunto de definiciones, postulados ( axiomas), proposiciones ( teoremas y construcciones ), y pruebas matemáticas de las proposiciones. Los trece libros cubren la geometría euclidiana y la antigua versión griega de elemental teoría de números . Con la excepción de Autólicus En la esfera en movimiento, los Elementos es uno de los más antiguos tratados matemáticos griegos existentes y es el tratamiento deductiva más antigua existente axiomático de las matemáticas . Ha demostrado un papel decisivo en el desarrollo de la lógica y moderna ciencia .

Elementos de Euclides es el libro de texto más exitoso e influyente jamás escrito. Estar situado por primera vez en el tipo de Venecia en 1482, es uno de los trabajos matemáticos muy tempranas para imprimirse después de la invención de la imprenta y sólo es superado por la Biblia en el número de ediciones publicadas, con el número de llegar a más de mil. Fue utilizado como texto básico de la geometría en el mundo occidental por cerca de 2.000 años. Durante siglos, cuando el quadrivium se incluyó en el plan de estudios de todos los estudiantes universitarios, se requiere el conocimiento de al menos parte de los Elementos de Euclides de todos los estudiantes. No fue sino hasta el siglo 20, momento en que su contenido se enseña universalmente a través de los libros de texto, no se deja de ser considerado algo todas las personas educadas habían leído.

Historia

El frontispicio de un Adelardo de Bath traducción latina de Elementos de Euclides, c. 1309-1316; la más antigua traducción latina de los Elementos es una obra del siglo 12 por Adelardo, que se traduce en América del árabe.

Euclides era una Matemático griego que escribió Elementos en Alejandría durante el Período helenístico (alrededor del 300 aC). Los eruditos creen que los elementos es en gran parte una colección de teoremas probados por otros matemáticos además de contener alguna obra original. Proclo, un matemático griego que vivió varios siglos después de Euclides, escribe en su comentario de los elementos: "Euclides, quien armó los Elementos, recogida de muchos de Teoremas de Eudoxo, perfeccionarlo muchos de Teeteto, y también traer a la demostración irrefutable de las cosas que fueron sólo algo libremente probadas por sus predecesores ".

Aunque se sabe que, por ejemplo, Cicerón, no hay registro existente del texto que ha sido traducido al latín antes de Boecio en el siglo V o VI. Los árabes recibieron los Elementos de los bizantinos en aproximadamente 760; esta versión, por un discípulo de Euclides llama Proclo, fue traducido al árabe bajo Harun al Rashid alrededor del año 800 de nuestra era. La primera edición impresa apareció en 1482 (basado en Giovanni Campano de 1260 edición), y desde entonces ha sido traducido a muchos idiomas y publicado en unos mil ediciones diferentes. En 1570, John Dee proporcionó un muy respetado "Matemática Prefacio", junto con abundantes notas y material complementario, a la primera edición de Inglés Henry Billingsley.

Todavía existen copias del texto griego, algunos de los cuales se pueden encontrar en la Biblioteca y el Vaticano Biblioteca Bodleiana en Oxford. Los manuscritos disponibles son de calidad variable, y siempre incompleta. Mediante el análisis cuidadoso de las traducciones y originales, las hipótesis se han elaborado sobre el contenido del texto original (copias de los cuales ya no están disponibles).

Los textos antiguos que hacen referencia a la propia Elementos y otras teorías matemáticas que estaban al día en el momento en que fue escrito también son importantes en este proceso. Estos análisis se llevan a cabo por JL Heiberg y Sir Thomas Little Heath en sus ediciones del texto.

También de importancia son la escolios, o anotaciones al texto. Estas incorporaciones, que a menudo se distinguieron del texto principal (según el manuscrito), acumulan gradualmente con el tiempo ya que las opiniones variaron sobre lo que era digno de explicación o aclaración. Algunos de ellos son útiles y añadir al texto, pero muchos no lo son.

Un texto difícil

A pesar de que ahora consideramos los elementos para ser un texto elemental de la geometría, que no siempre fue así. Se dice que el rey Ptolomeo pidió una forma en geometría que era más corto que los Elementos. Euclides respondió que "no hay camino real a la geometría ". Más recientemente, Sir Thomas Little Heath escribió, en la introducción a la 1932 de Everyman Biblioteca Euclides Introducción

"La simple verdad es que no fue escrito para los colegiales o colegialas, pero para el hombre adulto que tendría el conocimiento y el criterio necesarios para apreciar las cuestiones altamente conflictivas que tienen que ser lidiado con en cualquier intento de establecer los elementos esenciales de la euclidiana geometría como estrictamente sistema lógico ... ".

El primer pasaje difícil del Libro I es referido como el pons asinorum, que en latín significa "Puente de los Asnos" (tradicionalmente, es difícil de conseguir culos para cruzar un puente).

Esquema de los Elementos

Una prueba de los Elementos de Euclides que, dado un segmento de línea, existe un triángulo equilátero que incluye el segmento como uno de sus lados. La prueba es por la construcción: un triángulo equilátero ΑΒΓ se hace dibujando círculos Δ y Ε centradas en los puntos Α y Β, y teniendo una intersección de los círculos como el tercer vértice del triángulo.

Los elementos todavía se considera una obra maestra en la aplicación de la lógica de las matemáticas . En el contexto histórico, se ha demostrado una enorme influencia en muchas áreas de la ciencia . Los científicos Nicolás Copérnico , Johannes Kepler , Galileo Galilei , y Sir Isaac Newton fueron influenciados por los Elementos, y aplicaron su conocimiento de la misma a su trabajo. Los matemáticos y filósofos, como Bertrand Russell , Alfred North Whitehead, y Baruch Spinoza , han intentado crear sus propios "Elementos" fundacionales para sus respectivas disciplinas, mediante la adopción de las estructuras deductivas axiomatizada que la obra de Euclides introdujeron.

El éxito de los elementos es debido principalmente a su presentación lógica de la mayoría de los conocimientos matemáticos disponibles para Euclides. Gran parte del material no es original de él, aunque muchas de las pruebas son los suyos. Sin embargo, el desarrollo sistemático de Euclides de su tema, a partir de un pequeño conjunto de axiomas a resultados profundos, y la consistencia de su acercamiento a lo largo de los Elementos, animó a su uso como libro de texto para los cerca de 2.000 años. Los elementos todavía influye en libros de geometría modernas. Además, su enfoque axiomático lógico y pruebas rigurosas siguen siendo la piedra angular de las matemáticas.

Aunque Elements es principalmente una obra geométrica, también incluye los resultados que hoy se clasificaría como la teoría de números . Euclides probablemente escogió para describir los resultados en la teoría de números en términos de geometría, porque no podía desarrollar un enfoque construible a la aritmética. Una construcción en alguna de las pruebas de Euclides requiere una prueba de que es realmente posible. Esto evita los problemas de los pitagóricos encontrados con los irracionales, ya que sus pruebas falaces generalmente requieren una declaración como "Encuentra la mayor medida común de la ..."

Los primeros principios

De Euclides Libro 1 comienza con 23 definiciones - como punto, línea , y superficie - seguido por cinco postulados y cinco "nociones comunes" (ambos de los cuales están hoy llamados axiomas). Estos son el fundamento de todo lo que sigue.

Postulados:

1. Un segmento de línea recta se puede trazar uniendo dos puntos.
2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Dado un segmento de línea recta, un círculo se puede dibujar usando el segmento como el radio y un punto final como centro.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si dos líneas se dibujan que se cortan un tercio de tal manera que la suma de los ángulos interiores de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas inevitablemente deben cruzarse entre sí en ese lado si se extiende lo suficientemente lejos.

Nociones comunes:

1. Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí. ( Propiedad euclidiana de igualdad)
2. Si se añaden iguales a iguales, entonces las sumas son iguales. (Propiedad Adición de igualdad)
3. Si los iguales se restan de iguales, entonces los restos son iguales. (Propiedad Resta de igualdad)
4. Cosas que coinciden con uno de otro son iguales entre sí. ( Propiedad reflexiva de la igualdad)
5. El todo es mayor que la parte.

Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides, junto con sus matemáticos griegos y helenísticos contemporáneos, en la geometría constructiva. Los tres primeros postulados básicamente describen las construcciones se puede llevar a cabo con un brújula y un sin marcar regla. Una marcada regla, utilizado en construcción neusis, está prohibido en la construcción de Euclides, probablemente porque Euclides no pudo probar que las líneas que rayan encuentran.

Postulado de las paralelas

Si la suma de los dos ángulos interiores es igual a 180 °, las líneas son paralelas y nunca se cruzan.

El último de los cinco postulados de Euclides garantiza una mención especial. El llamado postulado de las paralelas siempre parecía menos evidente que los otros. A sí mismo Euclides usó sólo escasamente en todo el resto de los elementos. Muchos geómetras sospecha de que podría ser demostrable de los otros postulados, pero todos los intentos de hacer esto fracasaron.

A mediados del siglo 19 , se demostró que no existe tal prueba, porque se puede construir geometrías no euclidianas donde el postulado de las paralelas es falso, mientras que los otros postulados siguen siendo fieles. Por esta razón, los matemáticos dicen que el postulado de las paralelas es independiente de los otros postulados.

Son posibles en geometrías no euclidianas dos alternativas para el postulado paralelo: ya sea un número infinito de líneas paralelas se puede extraer a través de un punto no en una línea recta en una geometría hiperbólica (también llamado Geometría lobachevskiana), o ninguno puede en un la geometría elíptica (también llamado La geometría de Riemann). Que otras geometrías podrían ser lógicamente consistente fue uno de los descubrimientos más importantes de las matemáticas, con enormes implicaciones para la ciencia y la filosofía. De hecho, Albert Einstein teoría de la 's relatividad general muestra que el espacio real en el que vivimos es no euclídea.

El contenido de los libros

Un fragmento de elementos de Euclides encontrado en Oxirrinco , de fecha circa 100 AD. El diagrama acompaña a la Proposición 5 del Libro II de los Elementos.

Libros del 1 al 4 tratan de la geometría plana:

• Libro 1 contiene las proposiciones básicas de la geometría: el teorema de Pitágoras (Proposición 47), la igualdad de ángulos y áreas , el paralelismo, la suma de los ángulos de un triángulo, y los tres casos en los que los triángulos son "iguales" (tienen la misma zona ).
• Libro 2 es comúnmente llamado el "libro de álgebra geométrica", ya que el material que contiene fácilmente puede interpretarse en términos de álgebra .
• Libro 3 trata de círculos y sus propiedades: ángulos inscritos, tangentes , el poder de un punto.
• Libro 4 se ocupa de inscribir y circunscribir triángulos y polígonos regulares.

Libros 5 a 10 introducen relaciones y proporciones:

• Libro 5 es un tratado sobre las proporciones de magnitudes.
• Libro 6 aplica proporciones a la geometría: Teorema de Tales, cifras similares.
• Libro 7 ofertas estrictamente con la teoría elemental número: divisibilidad , números primos , el máximo común divisor , minimo común multiplo.
• Libro 8 trata de proporciones en la teoría de números y secuencias geométricas.
• Libro 9 aplica los resultados de los dos libros anteriores: la infinitud de los números primos, la suma de un series geométricas, números perfectos .
• Reserve 10 intentos de clasificar inconmensurables (en lenguaje moderno, irracional ) magnitudes mediante el uso de la método de agotamiento, un precursor de la integración .

Libros 11 a 13 tratan de geometría espacial:

• Libro 11 generaliza los resultados de Libros 1-6 al espacio: perpendicularidad, paralelismo, volúmenes de paralelepípedos.
• Libro 12 calcula áreas y volúmenes mediante el método de agotamiento: conos, pirámides, cilindros y la esfera .
• Libro 13 generaliza libro 4 al espacio: la sección de oro , los cinco regulares sólidos platónicos inscritos en una esfera.

Crítica

A pesar de su aceptación universal y el éxito, los elementos ha sido criticado por tener pruebas y definiciones insuficientes. Por ejemplo, en la primera construcción del Libro 1, Euclides utiliza una premisa que no se postula ni demostró: que dos círculos con centros en la distancia de su radio se cruzan en dos puntos. Más tarde, en el cuarto de la construcción, que utiliza el movimiento de triángulos para probar que si dos lados y sus ángulos son iguales, entonces son congruentes; Sin embargo, él no postula ni siquiera define el movimiento.

En el siglo 19, las geometrías no euclidianas atrajeron la atención de los matemáticos contemporáneos. Los principales matemáticos, incluyendo Richard Dedekind y David Hilbert , intentaron reformular los axiomas de los elementos, como mediante la adición de un axioma de continuidad y un axioma de la congruencia, para que la geometría euclidiana más completa.

El matemático e historiador WW Rouse Bola puso las críticas en perspectiva, señalando que "el hecho de que durante dos mil años [los elementos] era el típico libro de texto sobre el tema plantea una fuerte presunción de que no es adecuado para tal fin."

Libros apócrifos

No era raro que en el tiempo antiguo atribuir a autores célebres obras que no fueron escritos por ellos. Es por estos medios que los apócrifos libros XIV y XV de los elementos a veces se incluyen en la colección. El espurio libro XIV fue probablemente escrito por Hipsicles sobre la base de un tratado por Apolonio. El libro continúa la comparación de Euclides de sólidos regulares inscritos en las esferas, con el principal resultado es que la relación de las superficies de la dodecaedro icosaedro inscrito en la misma esfera es la misma que la relación de sus volúmenes, siendo la proporción .

El espuria libro XV fue escrito probablemente, al menos en parte, por Isidoro de Mileto. Este libro inferior cubre temas tales como contar el número de aristas y ángulos sólidos en los sólidos regulares, y la búsqueda de la medida de los ángulos diedros de caras que se unen en un borde.

Ediciones

El italiano Jesuita Matteo Ricci (izquierda) y el Matemático chino Xu Guangqi (derecha) publicó el chino edición de los Elementos de Euclides (幾何原本) en 1607.

• Década de 1460, Regiomontano (incompleto)
• 1533 edición príncipe de Simon Grynäus
• 1572, Commandinus
• 1574, Christoph Clavius

Traducciones

• 1505, Zamberti (América)
• 1543, Venturino Ruffinelli (italiano)
• 1555, Johann Scheubel (alemán)
• 1562, Jacob Kündig (alemán)
• 1564, Pierre Forcadel de Beziers (Francia)
• 1570, John Day (Inglés)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (Español)
• 1594, Typografia Medicea (edición de la traducción al árabe de Nasir al-Din al-Tusi)
• 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (chino)
• 1660, Isaac Barrow (Inglés)
• Presentar, Irineu Bicudo (portugués) (trabajo en progreso)

Actualmente en la impresión

"Elementos de Euclides - Todos los trece libros en un solo volumen" Green Lion Press. ISBN 1-888009-18-7 base en la traducción de Heath.