Polígono

Algunos polígonos de diferentes tipos

En geometría un polígono (pron .: / p ɒ l ɪ ɡ ɒ n /) Es una forma plana que consta de líneas rectas que se unen para formar una cadena cerrada o circuito.

Un polígono es tradicionalmente un avión la figura que está limitada por una cerrada camino, compuesto de una secuencia finita de recta segmentos de línea (es decir, por una cadena poligonal cerrada). Estos segmentos se llaman sus bordes o lados, y los puntos en los dos bordes cumplen son los vértices del polígono (singular: vértice) o esquinas. Un n -gon es un polígono de n lados. El interior del polígono se llama a veces su cuerpo. Un polígono es un ejemplo de 2 dimensiones de la más general politopo en cualquier número de dimensiones.

La palabra "polígono" deriva del griego πολύς (Polus) "mucho", "muchos" y γωνία (Goniá) "esquina", "lentes", o γόνυ (Gobierno de Unidad Nacional) "rodilla".

La noción básica geométrica ha sido adaptada de varias maneras para adaptarse a propósitos particulares. Los matemáticos a menudo tienen que ver sólo con la cadena poligonal cerrada y con polígonos simples que no lo hacen auto se cruzan, y puede definir un polígono en consecuencia. Geométricamente dos bordes reunión en una esquina se requieren para formar un ángulo que no es recto (180 °); de lo contrario, los segmentos de línea se considerarán partes de un solo borde; Sin embargo matemáticamente, tales rincones a veces pueden ser permitidos. En los ámbitos relacionados con la computación, el término polígono ha adquirido un significado ligeramente alterada derivado de la forma en que la forma se almacena y manipula de gráficos por ordenador (generación de la imagen). Algunas otras generalizaciones de los polígonos se describen a continuación.

Clasificación

Algunos tipos diferentes de polígono

Número de lados

Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados. Ver tabla de abajo .

Convexidad y tipos de no-convexidad

Los polígonos pueden caracterizarse por su convexidad o el tipo de no-convexidad:

• Convex: cualquier línea que pasa por el polígono (y no tangente a un borde o esquina) cumple su límite exactamente el doble. De manera equivalente, todos sus ángulos interiores son de menos de 180 °.
• No convexos: una línea puede ser encontrado que cumple su límite más de dos veces. En otras palabras, contiene por lo menos un ángulo interior con una medida mayor que 180 °.
• Simple: el límite del polígono no cruza a sí mismo. Todos los polígonos convexos son simples.
• Cóncavo: Non-convexa y simple.
• En forma de estrella: todo el interior es visible desde un único punto, sin cruzar ninguna ventaja. El polígono debe ser simple, y puede ser convexa o cóncava.
• Autointerseca: el límite del polígono se cruza. Branko Grünbaum llama a estos copto, aunque este término no parece ser ampliamente utilizado. El término complejo se utiliza a veces en contraste con simple, pero este uso corre el riesgo de confusión con la idea de una polígono complejo como uno que existe en el complejo Hilbert plano que consta de dos complejos dimensiones.
• Estrella: un polígono que se auto-intersecciones de una manera regular.

Simetría

• Equiangular: todos sus ángulos de las esquinas son iguales.
• Cíclicos: todas las esquinas se encuentran en un solo círculo .
• Isogonal o vértice-transitivo: todas las esquinas se encuentran dentro de la misma órbita simetría. El polígono también es cíclico y equiangular.
• Equiláteros: todos los bordes son de la misma longitud. (Un polígono con 5 o más lados puede ser equilátero sin ser convexa.)
• Isotoxal o Edge-transitiva: todos los lados se encuentran dentro de la misma órbita simetría. El polígono también es equilátero.
• Tangencial: todos los lados son tangentes a una círculo inscrito.
• Regular: Un polígono es regular si es tanto cíclica y equilátero. Un polígono regular no convexo se llama un habitual polígono estrellado.

Propiedades

La geometría euclidiana se asume en todo.

Angles

Cualquier polígono,, auto-intersección regular o irregular o simple, tiene tantas esquinas ya que tiene lados. Cada esquina tiene varios ángulos. Las dos más importantes son:

• Ángulo Interior - La suma de los ángulos interiores de un sencillo n -gon es (n - 2) π radianes o (n - 2) 180 grados . Esto es porque cualquier n sencilla -gon se puede considerar que se compone de (n - 2) triángulos, cada uno de los cuales tiene una suma de los ángulos de radianes π o 180 grados. La medida de cualquier ángulo interior de un convexa n gon regular es radianes o grados. Los ángulos interiores de ordinario polígonos estrella fueron estudiados por primera vez por Poinsot, en el mismo artículo en el que describe las cuatro poliedros estrella regular.

• Ángulo exterior - Tracing alrededor de un n -gon convexa, el ángulo "se volvió" en una esquina es el ángulo exterior o externo. Rastreo de todo el camino alrededor del polígono hace un completo gire, por lo que la suma de los ángulos exteriores debe ser 360 °. Este argumento se puede generalizar a cóncava polígonos simples, si los ángulos externos que giran en la dirección opuesta se restan del total de la vuelta. Rastreo de alrededor de un n-gon en general, la suma de los ángulos exteriores (la cantidad total de uno gira en los vértices) puede ser cualquier número entero múltiplo de d 360 °, por ejemplo 720 ° para una pentagrama y 0 ° para una angular "ocho", donde d es la densidad o starriness del polígono. Ver también orbitar (dinámica).

El ángulo exterior es la ángulo complementario del ángulo interior. A partir de este la suma de los ángulos interiores se puede confirmar fácilmente, incluso si algunos ángulos interiores son más de 180 °: ir hacia la derecha alrededor, quiere decir que en algún momento uno gira a la izquierda en lugar de derecho, que se cuenta como convertir una cantidad negativa. (Por lo tanto consideramos algo así como el número de la orientación de los lados, donde en cada vértice de la contribución es, entre el devanado -. _^1/2 y _^1/2 devanado)

Área y centroide

Nomenclatura de un polígono 2D.

El área de un polígono es la medición de la región 2-dimensional delimitada por el polígono. Para un no-autointerseca ( sencillo) polígono con n vértices, la zona y centroide están dados por:

Para cerrar el polígono, los primeros y últimos vértices son los mismos, es decir, x _n, y _n = x _0, y _0. Los vértices deben ser ordenados de acuerdo a la orientación positiva o negativa (hacia la izquierda o hacia la derecha, respectivamente); si se ordenan negativamente, el valor dado por la fórmula del área será negativa pero correcta en valor absoluto , pero en el cálculo y , El valor con signo de (Que en este caso es negativo) debe ser utilizado. Esto comúnmente se llama la Fórmula del topógrafo.

La fórmula del área se obtiene tomando cada borde AB, y calculando el (firmado) área del triángulo ABO con un vértice en el origen O, tomando el producto cruzado (que da el área de un paralelogramo) y dividiendo por 2. Como uno se envuelve alrededor del polígono, estos triángulos con área positiva y negativa se solaparán, y las áreas entre el origen y el polígono serán anulados y sumar a 0, mientras que sólo el área dentro del triángulo de referencia permanece. Esta es la razón por la fórmula se llama Fórmula del topógrafo, ya que el "inspector" está en el origen; si va en sentido contrario, se añade área positiva cuando se va de izquierda a derecha y zona negativa se añade cuando se va de derecha a izquierda, desde la perspectiva del origen.

La fórmula fue descrito por Meister en 1769 y por Gauss en 1795. Se puede verificar mediante la división del polígono en triángulos, pero también puede verse como un caso especial de Teorema de Green.

El área A de una polígono simple también se puede calcular si las longitudes de los lados, un _1, un _2, ..., a _n y la ángulos exteriores, θ _1, θ _2, ..., _n θ son conocidos. La fórmula es

La fórmula fue descrito por Lopshits en 1963.

Si el polígono se puede dibujar en una rejilla igualmente espaciados de tal manera que todos sus vértices son los puntos de cuadrícula, Teorema de Pick da una fórmula simple para el área del polígono basado en el número de puntos de la rejilla interior y el límite.

En cada polígono con p perímetro y el área A, la Isoperimetría sostiene.

Si se dan dos polígonos simples de igual área, entonces el primero se puede cortar en piezas poligonales que puedan montarse para formar el segundo polígono. Este es el Teorema de Bolyai-Gerwien.

El área de un polígono regular también se da en función del radio r de su círculo inscrito y su perímetro por p

.

Este radio se denomina también su apotema y es a menudo representado como una.

El área de un n gon regular con lado s inscrito en un círculo unidad es

.

El área de un n gon regular en función del radio r de su círculo circunscrito y su perímetro p está dada por

.

El área de un n gon regular, inscrito en un círculo de radio unidad, con la cara de s y θ ángulo interior también se puede expresar como trigonométricamente

.

Los lados de un polígono en general no determinar el área. Sin embargo, si el polígono es cíclico los lados hacen determinar el área. De todos n -gons con lados dados, el que tiene la mayor superficie es cíclico. De todos n -gons con un perímetro dado, el uno con el área más grande es regular (y por lo tanto cíclico).

Polígonos autointerseca

El área de una polígono autointerseca puede definirse de dos maneras diferentes, cada uno de los cuales da una respuesta diferente:

• El uso de los métodos anteriores para polígonos simples, descubrimos que regiones particulares dentro del polígono pueden tener su área multiplicada por un factor que llamamos la densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene densidad 2. Las dos regiones triangulares de una cruz-cuadrilátero (como una figura 8) tienen densidades-opuestos firmado, y la adición de sus áreas juntas puede dar una superficie total de cero para toda la figura.
• Teniendo en cuenta las regiones encerradas como conjuntos de puntos, podemos encontrar el área del conjunto de puntos adjunto. Esto corresponde a la zona del plano cubierto por el polígono, o para el área de un polígono simple que tienen el mismo esquema como el auto-intersección de una (o, en el caso de la cruz-cuadrilátero, los dos triángulos simples).

Grados de libertad

Un n -gon tiene 2 n grados de libertad, 2 para la posición, 1 para orientación de rotación, y 1 para el tamaño total, por lo que 2 n - 4 para moldear. En el caso de una línea de simetría éste se reduce a n - 2.

Sea k ≥ 2 Para una nk -gon con k -fold simetría rotacional (C _k), hay 2 n -. 2 grados de libertad para la forma. Con la simetría de imagen especular adicional (D _k) hay n - 1 grados de libertad.

Producto de distancias desde un vértice a otros vértices de un polígono regular

Para un n gon regular inscrito en un círculo de radio unidad, el producto de las distancias desde un vértice dado a todos los otros vértices es igual a n.

Las generalizaciones de los polígonos

En un sentido amplio, un polígono es una secuencia o circuito de segmentos alternantes (lados) y ángulos (esquinas) sin límites (sin extremos). Un polígono ordinario es ilimitada porque la secuencia se cierra de nuevo en sí mismo en un bucle o circuito, mientras que una Apeirógono (polígono infinito) es ilimitada ya que sigue para siempre. La comprensión matemática moderna es describir una secuencia de este tipo estructural en términos de un " polígono abstracto ", que es un parcialmente ordenado conjunto (conjunto parcialmente ordenado) de elementos. El interior (cuerpo) del polígono es otro elemento, y (por razones técnicas) también lo es el politopo nulo o nullitope.

Un polígono geométrica es una realización del polígono resumen asociada. Esto implica algún mapeo de elementos de lo abstracto a lo geométrico. Dicho polígono no tiene que estar en un plano, o tienen lados rectos, o encerrar un área, y los elementos individuales pueden superponerse o incluso coincidir. Por ejemplo, una polígono esférico se dibuja en la superficie de una esfera, y sus lados son arcos de círculos.

A digon es un polígono cerrado que tiene dos lados y dos esquinas. Dos puntos opuestos sobre una superficie esférica, unidas por dos diferentes medio círculos producen una digon. Teja de la esfera con digons produce un poliedro llamado hosohedron. Un gran círculo con un punto de esquina añadido, produce una monogon o henagon.

Son otras realizaciones de estos polígonos posible en otras superficies, pero en el plano euclidiano (plana), sus cuerpos no se pueden realizar con sensatez y se consideran degenerado.

La idea de un polígono se ha generalizado de varias maneras. Una breve lista de algunos casos degenerados (o casos especiales) comprende lo siguiente:

• Digon: ángulo Interior de 0 ° en el plano euclidiano. Véanse las observaciones anteriores en cuanto a la esfera
• Ángulo interior de 180 °: En el plano esto da una Apeirógono (ver más abajo), en el ámbito de un diedro
• La polígono de inclinación no está en una superficie plana, pero zigzags en tres (o más) dimensiones. La Polígonos Petrie de los poliedros regulares son ejemplos clásicos
• La polígono esférico es un circuito de lados y las esquinas en la superficie de una esfera
• Una Apeirógono es una secuencia infinita de lados y ángulos, que no está cerrado pero no tiene extremos porque se extiende infinitamente
• La polígono complejo es una figura análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo Hilbert

Nombrar polígonos

La palabra "polígono" viene de Polygonum latín tardío (sustantivo), de griego πολύγωνον (polygōnon / polugōnon), el uso sustantivo de neutro de πολύγωνος (polygōnos / polugōnos, el adjetivo masculino), que significa "muchos-ángulo". Polígonos individuales son nombrados (y clasifican a veces) de acuerdo con el número de lados, la combinación de un griego -derivado prefijo numérico con el -gon sufijo, por ejemplo, pentágono, dodecágono. El triángulo , cuadrilátero o cuadrilátero, y nonágono excepciones. Para grandes números, los matemáticos suelen escribir el número en sí, por ejemplo, 17-gon. Una variable se puede utilizar incluso, generalmente n-gon. Esto es útil si se utiliza el número de lados en una fórmula .

Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, la regular estrella pentágono también se conoce como la pentagrama.

Nombres de polígono

Nombre	Bordes	Observaciones
henagon (o monogon)	1	En el plano euclidiano, degenera a una curva cerrada con un único punto de vértice en él.
digon	2	En el plano euclidiano, degenera a una curva cerrada con dos puntos de vértice en él.
triángulo (o trígono)	3	El polígono más simple que puede existir en el plano euclidiano.
cuadrilátero (o cuadrángulo o tetragon)	4	El polígono más simple que puede cruzarse; el polígono más simple que puede ser cóncava.
pentágono	5	El polígono más simple que puede existir como una estrella regular. Una estrella de pentágono se conoce como una pentagrama o pentáculo.
hexágono	6	Evite "Sexagon" = América [sexo] + griega.
heptágono	7	Evite "septagon" = América [sept-] + griega. El polígono más simple de tal manera que la forma regular no es Urbanizable con regla y compás . Sin embargo, se puede construir usando una Método neusis.
octágono	8
eneágono o nonágono	9	"Nonagon" se usa comúnmente, pero se mezcla América [novem = 9] con el griego. Algunos autores modernos prefieren "eneágono", que es puro griego.
decágono	10
endecágono	11	Evite "undecagon" = América [un -] + griega. El polígono más simple de tal manera que la forma regular no se puede construir con el compás, regla, y trisector ángulo.
dodecágono	12	Evite "duodecagon" = América [dúo -] + griega.
Tridecágono (o triskaidecagon)	13
Tetradecágono (o tetrakaidecagon)	14
Pentadecágono (o quindecagon o pentakaidecagon)	15
Hexadecágono (o hexakaidecagon)	16
heptadecágono (o heptakaidecagon)	17
Octodecágono (o octakaidecagon)	18
Eneadecágono (o enneakaidecagon o nonadecagon)	19
Isodecágono	20
triacontagon	30
hectogon	100	"Hectogon" es el nombre griego (ver hectómetro), "centagon" es un híbrido de América griega; ni es ampliamente probada.
quiliógono	1000	René Descartes, Immanuel Kant , David Hume , y otros han utilizado la quiliógono como ejemplo en la discusión filosófica.
miriágono	10000
megagon	1000000	Como con el ejemplo René Descartes 'de la quiliógono, el polígono millones de caras se ha utilizado como una ilustración de un concepto bien definido que no puede ser visualizado. El megagon también se utiliza como una ilustración de la convergencia de las polígonos regulares a un círculo.
Apeirógono		Un polígono degenerado de un número infinito de lados

La construcción de los nombres más altas

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 bordes, combinar los prefijos como sigue

El "kai" no se utiliza siempre. Las opiniones difieren en exactamente cuando debe, o no necesariamente, ser utilizados (ver también ejemplos anteriores).

Alternativamente, el sistema utiliza para nombrar al alcanos superiores (hidrocarburos completamente saturados) pueden ser utilizados:

Esto tiene la ventaja de ser compatible con el sistema utilizado para 10- a través de figuras 19 lados.

Es decir, una figura de 42 lados sería nombrado como sigue:

y una figura 50 caras

Pero más allá de enneagons y decágonos, matemáticos profesionales en general, prefieren la notación numeral mencionado (por ejemplo, MathWorld tiene artículos en 17 polígonos y 257-gons). Existen excepciones para los recuentos secundarios que se expresan con mayor facilidad en forma verbal.

Historia

imagen histórica de polígonos (1699)

Los polígonos se han conocido desde la antigüedad. La polígonos regulares eran conocidos por los antiguos griegos, y la pentagrama, un polígono regular no convexo ( polígono estrellado), aparece en el jarrón de Aristophonus, Caere, datada en el siglo séptimo antes de Cristo polígonos no convexos en general no se estudiaron sistemáticamente hasta el siglo 14 por Thomas Bradwardine.

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos en el plano complejo, donde cada dimensión real está acompañado por una imaginaria, para crear polígonos complejos.

Polígonos en la naturaleza

La Calzada de los Gigantes , en Irlanda del Norte

Numerosos polígonos regulares se pueden ver en la naturaleza. En el mundo de la geología , los cristales tienen caras planas, o facetas, que son polígonos. Los cuasicristales pueden incluso tener pentágonos regulares como caras. Otro ejemplo fascinante de polígonos regulares se produce cuando el enfriamiento de lava forman áreas de apretadas hexagonales columnas de basalto , que se pueden ver en la Calzada del Gigante en Irlanda , o en el Postpile del Diablo en California .

Carambola, una fruta popular en El Sudeste De Asia

Los hexágonos más famosos en la naturaleza se encuentran en el reino animal. La cera panal de abejas es una matriz de hexágonos que se utilizan para almacenar la miel y el polen, y como un lugar seguro para que las larvas crecen. También existen animales que ellos mismos tomar la forma aproximada de polígonos regulares, o por lo menos tener la misma simetría. Por ejemplo, estrellas de mar muestran la simetría de un pentágono o, con menos frecuencia, la heptágono u otros polígonos. Otro equinodermos, como erizos de mar, a veces presentan simetrías similares. Aunque equinodermos no muestran exacta simetría radial, medusas y medusas peine hacen, por lo general cuadruplica o por ocho.

La simetría radial (y otra simetría) también es ampliamente observados en el reino vegetal, particularmente entre las flores, y (en menor medida) las semillas y frutos, la forma más común de dicha simetría ser pentagonal. Un ejemplo especialmente llamativo es el carambola, una fruta ligeramente picante popular en el sudeste de Asia, cuya sección transversal tiene la forma de una estrella pentagonal.

Arranque y marcha de la tierra en el espacio, los primeros matemáticos haciendo cálculos utilizando de Newton la ley de la gravitación descubrieron que si dos cuerpos (como el Sol y la Tierra) orbitan entre sí, existen ciertos puntos en el espacio, llamado Puntos de Lagrange, donde un cuerpo más pequeño (como un asteroide o una estación espacial) permanecerá en una órbita estable. El sistema sol-tierra tiene cinco puntos de Lagrange. Los dos más estables son exactamente 60 grados por delante y por detrás de la Tierra en su órbita; es decir, que une el centro del Sol y la Tierra y uno de estos puntos de Lagrange estables forma un triángulo equilátero. Los astrónomos ya han encontrado asteroides en estos puntos. Todavía se debate si es práctico mantener una estación espacial en el punto de Lagrange - a pesar de que nunca tendría que corregir el rumbo, tendría que esquivar con frecuencia los asteroides que ya están presentes allí. Ya hay satélites y observatorios espaciales en los puntos de Lagrange menos estables.

Polígonos en gráficos por ordenador

Un polígono en una gráficos por ordenador (generación de imagen) del sistema es una forma bidimensional que se modela y se almacena dentro de su base de datos. Un polígono puede ser de color, sombreado y textura, y su posición en la base de datos está definida por las coordenadas de sus vértices (esquinas).

Convenios de denominación difieren de las de los matemáticos:

• Un polígono simple no cruza a sí mismo.
• un polígono cóncavo es un polígono sencillo que tiene al menos un ángulo interior mayor que 180 °.
• Un polígono complejo hace cruzarse.

El uso de Polígonos de imágenes en tiempo real: El sistema de imágenes se accede a la estructura de polígonos necesarios para la escena que se creará a partir de la base de datos. Esta se transfiere a la memoria activa y, finalmente, al sistema de visualización (pantalla, monitores de televisión etc.) de manera que la escena se puede ver. Durante este proceso, el sistema de imágenes hace polígonos en perspectiva correcta listo para la transmisión de los datos procesados al sistema de visualización. Aunque polígonos son de dos dimensiones, a través de la computadora del sistema se colocan en una escena visual en la orientación tridimensional correcta de modo que a medida que el punto de visión mueve a través de la escena, se percibe en 3D.

Morphing: Para evitar los efectos artificiales en los límites del polígono donde los planos de polígonos contiguos están en un ángulo diferente, los llamados "Morphing Algoritmos" se utilizan. Estos mezcla, suavizar o alisar los bordes del polígono para que la escena se ve menos artificial y más como el mundo real.

Los polígonos de malla: El número de polígonos de malla ("malla" es como una red de pesca) puede ser hasta el doble de la de los polígonos unmeshed independiente, sobre todo si los polígonos son contiguos. Si una malla cuadrada tiene n + 1 puntos (vértices) por lado, hay n al cuadrado cuadrados en la malla, o 2 n triángulos cuadrado ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay (n + 1) ^2/2 (n ²⁾ vértices por triángulo. Donde n es grande, esto se acerca a uno medio. O, cada vértice interior de la malla cuadrada conecta cuatro bordes (líneas).

Número de polígonos: Desde un polígono puede tener muchos lados y la necesidad de muchos puntos para definir que, con el fin de comparar un sistema de imagen con otra, "número de polígonos" se toma generalmente como un triángulo. Al analizar las características de un sistema de imagen especial, la definición exacta del número de polígonos debe ser obtenida en su aplicación a ese sistema ya que hay cierta flexibilidad en el procesamiento que hace que las comparaciones que se hacen no trivial.

Vertex Count: Aunque el uso de este indicador parece estar más cerca de la realidad que todavía se debe tomar con un poco de sal. Dado que cada vértice se puede aumentar con otros atributos (como el color o normal) la cantidad de procesamiento trata no puede ser trivialmente inferido. Por otra parte, el vértice aplicado a transformar parte procedería, además de información de topología específica para el sistema que está siendo evaluado como post-transformar el almacenamiento en caché puede introducir variaciones constantes en los resultados esperados.

Punto de prueba polígono: En gráficos por ordenador y la geometría computacional, a menudo es necesario para determinar si un punto dado P = (x _0, y ₀₎ se encuentra dentro de un polígono sencillo dado por una secuencia de segmentos de línea. Se conoce como la Punto de prueba polígono.