Tipo de función

En matemáticas , una función compuesta, formada por la composición de una función en otro, representa la aplicación de la primera a la consecuencia de la aplicación de esta última al argumento del material compuesto. Las funciones f: X → Y y g: Y → Z pueden estar compuestos por primera aplicación f de un argumento x g y luego aplicando al resultado. De este modo se obtiene una función g o f: X → Z definido por (g o f) (x) = g (f (x)) para todo x en X. La notación g d e se lee como "g círculo f" o "g compuesta con f", "g siguiente f", o simplemente "g de f".

g o f, la composición de f y g

La composición de funciones es siempre asociativa . Es decir, si f, g, h, y son tres funciones con dominios y codomains convenientemente elegidas, entonces f o (g o h) = (f o g) o h. Puesto que no hay distinción entre las opciones de colocación de paréntesis, pueden dejarse fuera de peligro.

Las funciones g y f conmutan entre sí si g o f = f o g. En general, la composición de funciones no será conmutativa. Conmutatividad es una propiedad especial, alcanzado sólo por funciones particulares, ya menudo en circunstancias especiales. Por ejemplo, sólo cuando . Pero funciones inversas siempre viajan para producir la Asignación de identidad.

Los derivados de las composiciones que implican funciones diferenciables se pueden encontrar mediante el regla de la cadena. Derivados "más altas" de tales funciones están dadas por La fórmula de Faà di Bruno.

Ejemplo

Como ejemplo, supongamos que la elevación de un avión en el tiempo t viene dada por la función h (t) y que la concentración de oxígeno en la cota x está dada por la función C (x). Entonces (c o h) (t) describe la concentración de oxígeno alrededor del plano en el tiempo t.

Poderes funcionales

Si entonces pueden componer con sí mismo; esto a veces se denota . Por lo tanto:

Composición repetida de una función con sí mismo se llama iteración función.

Las funcionales poderes para naturales seguir inmediatamente.

• Por convención, el mapa de identidad en el ámbito de la .
• Si admite una función inversa , poderes funcionales negativos se definen como la poder opuesto de la función inversa, .

Nota: Si f toma sus valores en un anillo (en particular para real o complejo de valor f), existe un riesgo de confusión, como f ⁿ también podía soportar para el producto n -fold de f, por ejemplo, f ² (x) = f (x) · f (x ).

(Para las funciones trigonométricas, por lo general este último está destinado, al menos para exponentes positivos. Por ejemplo, en trigonometría, esta notación superíndice representa estándar exponenciación cuando se utiliza con funciones trigonométricas : Sin ² (x) = sin (x) · sen (x). Sin embargo, para los exponentes negativos (especialmente -1), no obstante, por lo general se refiere a la función inversa, por ejemplo, tan ^-1 = arctan (≠ 1 / tan).

En algunos casos, una expresión para f en g (x) = f ^r (x) se puede derivar de la regla para g dada valores no enteros de r. Se llama iteración fraccional. Un ejemplo sencillo sería que donde f es la función sucesor, f ^r (x) = x + r.

Funciones iteradas producen de forma natural en el estudio de los fractales y sistemas dinámicos.

Monoides Composición

Supongamos que uno tiene dos (o más) funciones f: X → X, g: X → X tienen el mismo dominio y el rango. Entonces uno puede formar largas cadenas potencialmente complicados de estas funciones compuestas juntos, como f o f o g o f,. Tales cadenas largas tienen la estructura algebraica de una monoide, a veces llamado el monoide composición. En general, monoides composición puede tener una estructura muy complicada. Un ejemplo notable en particular es la curva de Rham. El conjunto de todas las funciones f: X → X se llama semigrupo transformación completa en X.

Si las funciones son biyectiva, entonces el conjunto de todas las posibles combinaciones de estas funciones forman un grupo ; y se dice que el grupo es generada por estas funciones.

El conjunto de todos funciones biyectiva f: X → X forman un grupo con respecto al operador de composición. Este es el grupo simétrico, también llamado a veces el grupo de composición.

Notación alternativa

A mediados del siglo 20 , algunos matemáticos decidieron que escribir "g o f" como "primer aplicar f, a continuación, aplicar g" era demasiado confuso y decidió cambiar anotaciones. Escribieron "xf" para "f (x)" y "XFG" para "g (f (x))". Esto puede ser más natural y parecen más simple que la escritura de funciones de la izquierda en algunas áreas.

Categoría Teoría utiliza f; g intercambiable con g o f.

Operador de Composición

Dada una función g, el operador de composición se define como la operador que mapea funciones a las funciones como

Operadores de composición se estudian en el campo de la teoría operador.