Exponenciación

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Antecedentes

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Exponenciación es un matemático operación, escrito a ^n, que involucra a dos números, los base de una y el exponente n. Cuando n es un positivo entero , exponenciación corresponde a repetirse la multiplicación :

$a ^ n = \ {a underbrace \ épocas \ cdots \ veces al} _n,$

al igual que la multiplicación por un número entero corresponde a repetida además :

$un \ épocas n = \ underbrace {a + \ cdots + a} _n.$

El exponente es generalmente muestra como una superíndice a la derecha de la base. La exponenciación a ⁿ puede leerse como: un elevado a la potencia n-ésima o un elevado a la potencia [de] n, o más brevemente: una a la potencia enésima o al poder [de] n, o aún más breve: una para el n. Algunos exponentes se pueden leer de una manera determinada; por ejemplo, un ² suele leerse como un cuadrado y un ³ como un cubo.

La potencia de un ⁿ también se puede definir cuando el exponente n es un entero negativo. Cuando la base a es un número real positivo, la potencia se define para exponentes reales e incluso complejos n. La especial función exponencial e ^x es fundamental para esta definición. Permite a las funciones de la trigonometría para ser expresados por la exponenciación. Sin embargo, cuando la base de un no es un número real positivo y el exponente n no es un entero, entonces un ⁿ no puede ser definido como un único función continua de a.

Exponenciación donde el exponente es una matriz se utiliza para sistemas de resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Exponenciación se utiliza penetrante en muchos otros campos, así, como la economía, la biología, la química, la física y la informática, con aplicaciones como interés compuesto, crecimiento de la población, químicas cinética de la reacción, la onda comportamiento, y La criptografía de clave pública.

Exponenciación con exponentes enteros

La operación de exponenciación con exponentes enteros sólo requiere álgebra elemental .

Exponentes enteros positivos

² = a · a se llama cuadrada de un puesto que el área de un cuadrado de lado de longitud a es un ^2.

un ³ = a · a · a se llama cubo, ya que el volumen de un cubo con lados de longitud a es un ^3.

Así que 3 ² se dice "tres al cuadrado", y 2 ³ es "dos cubos".

El exponente dice cómo se multiplican entre sí muchas copias de la base. Por ejemplo, 3 ⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. La base 3 aparece 5 veces en la multiplicación repetida, ya que el exponente es 5. Aquí, 3 es la base, 5 es el exponente, y 243 es la potencia o, más específicamente, la quinta potencia de 3 o 3 elevado a la quinta potencia.

La palabra "levantado" por lo general se omite, y más a menudo "poder" y, por lo 3 ⁵ es típicamente pronunciado "tres al quinto" o "tres de los cinco".

Formalmente, las potencias con exponentes enteros positivos pueden ser definidos por la condición inicial a ¹ = a y la relación de recurrencia a ^{n 1} = a · a ^n.

Exponentes de uno y cero

Observe que 3 ¹ es el producto de un solo 3, que es evidentemente 3.

También tenga en cuenta que el 3 ⁵ = 3 · 3 ^4. También 3 ⁴ = 3 · 3 ^3. Siguiendo esta tendencia, que debería tener

3 ¹ = 3 · 3 ^0.

Otra forma de decir esto es que cuando n, m, y n - m son positivos (y si x no es igual a cero), se puede ver contando el número de ocurrencias de x que

$\ Frac {x ^ n} {x ^ m} = x ^ {n - m}.$

Extensión al caso de que n y m son iguales, la ecuación sería leer

$1 = \ frac {x ^ n} {x ^ n} = x ^ {n - n} = x ^ 0$

ya que tanto el numerador y el denominador son iguales. Por lo tanto tomamos esto como la definición de x ^0.

Por lo tanto definimos 3 ⁰ = 1, de modo que la igualdad anterior se mantiene. Esto nos lleva a la siguiente regla:

Cualquier número a la potencia 1 es en sí misma.
Cualquier número distinto de cero a la potencia 0 es 1; una interpretación de estos poderes es tan productos vacíos. Se discute el caso de 0 ⁰ por debajo .

Interpretación combinatoria

Para enteros no negativos n y m, la potencia n ^m es igual a la cardinalidad del conjunto de m - tuplas de una n -element set, o el número de palabras m -Carta de un n -Carta alfabeto.

0 ⁵ = | {} | = 0. No hay un 5-tupla del conjunto vacío.

1 ⁴ = | {(1,1,1,1)} | = 1. Hay una 4-tupla de un conjunto de un solo elemento.

2 ³ = | {(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1, 2), (2,2,1), (2,2,2)} | = 8. Hay 8 3-adas de un conjunto de dos elementos.

3 ² = | {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3, 2), (3,3)} | = 9. Hay 9 2-tuplas de un conjunto de tres elementos.

4 ¹ = | {(1), (2), (3), (4)} | = 4. Hay 4 1-tuplas de un conjunto de cuatro elementos.

5 ⁰ = | {()} | = 1. Hay exactamente un vacío tupla.

Ver también exponenciación sobre conjuntos .

Exponentes enteros negativos

Criar a un número distinto de cero a la potencia -1 produce su recíproco.

$a ^ {- 1} = \ frac {1} {a}$

Por lo tanto:

$a ^ {- n} = (a ^ n) ^ {- 1} = \ frac {1} {a ^ n}$

El aumento de 0 a una potencia negativa implicaría división por 0, y así no está definido.

Un exponente entero negativo también puede ser visto como repetida división por la base. Así $3 ^ {- 4} = (((1/3) / 3) / 3) / 3 = \ frac {1} {81} = \ frac {1} {3 ^ {4}}$ .

Identidades y propiedades

El más importante identidad satisfecha por la exponenciación entero es:

$a ^ {m + n} = a ^ m \ cdot a ^ n$

Esta identidad tiene como consecuencia:

$a ^ {m - n} = \ frac {a ^ m} {a ^ n}$

para a ≠ 0, y

$(A ^ m) ^ n = a ^ {m \ cdot n}$ .

Otra identidad básica es

$(A \ cdot b) ^ n = a ^ n \ cdot b ^ n$ .

Mientras que la suma y la multiplicación son conmutativa (por ejemplo, 2 + 3 = 5 = 3 + 2 y 2 · 3 = 6 = 3 · 2), exponenciación no es conmutativo: 2 ³ = 8, pero 3 ² = 9.

Del mismo modo, mientras que la adición y la multiplicación son asociativo (por ejemplo, (2 + 3) 4 = 9 = 2 + (3 + 4) y (2 · 3) · 4 = 24 = 2 · (3 · 4), la exponenciación es no asociativas ya sea: 2 ³ para el cuarto poder es 8 ⁴ ó 4096, pero 2 a la potencia 3 ⁴ es 2 ⁸¹ o 2.417.851.639.229.258.349.412.352 Sin paréntesis para modificar el orden de cálculo, el orden se entiende generalmente para ser de derecha a izquierda.:

$a ^ {b ^ c} = a ^ {(b ^ c)} \ ne (a ^ b) ^ c = a ^ {(b \ cdot c)} = a ^ {b \ cdot c}$

Potencias de diez

Ver Notación cientifica

Potencias de 10 son fácilmente computado en la base diez ( decimal sistema numérico). Por ejemplo, 10 ⁸ = 100000000.

Exponenciación con la base 10 se utiliza en notación científica para describir números grandes o pequeños. Por ejemplo, 299792458 (la velocidad de la luz en el vacío, en metros por segundo) se puede escribir como 2.99792458 · 10 ⁸ y luego aproximar como 2,998 · 10 ^8, (o, a veces como 299,8 · 10 ⁶ o 299.8E + 6, sobre todo en los programas informáticos).

Prefijos SI basados en potencias de 10 también se utilizan para describir cantidades pequeñas o grandes. Por ejemplo, el prefijo kilo significa 10 ³ = 1.000, por lo que un kilómetro es 1000 metros.

Poderes de dos

El positivo potencias de 2 son importantes en la ciencia de la computación , porque hay 2 ⁿ posibles valores para un n - bit variable. Ver sistema de numeración binario .

Potencias de 2 son importantes en la teoría de conjuntos desde un conjunto con n elementos tiene un el poder establecido, o conjunto de todos los subconjuntos del conjunto original, con 2 ⁿ miembros.

Las potencias negativas de 2 se utiliza comúnmente, y los dos primeros tienen nombres especiales: medio, y trimestre.

Poderes de uno

Las potencias enteras de uno son uno: 1 ⁿ = 1.

Poderes de cero

Si el exponente es positivo, el poder de cero es cero: 0 ⁿ = 0, donde n> 0.

Si el exponente es negativo, el poder de cero (0 ^{- n,} donde n> 0) permanece indefinida, debido a la división por cero está implícita.

Si el exponente es cero, algunos autores definen 0 ⁰ = 1, mientras que otros lo dejan sin definir, como se discute a continuación .

Poderes de menos uno

Los poderes de menos uno son útiles para expresar secuencias alternas.

Si el exponente es par, la potencia de menos uno es uno: (-1) ^{2 n} = 1.

Si el exponente es impar, la potencia de menos uno es menos uno: (-1) ^{2 n 1} = -1.

Facultades de la unidad imaginaria

Las competencias de la unidad imaginaria i son útiles para expresar secuencias de período 4. Ver, por ejemplo, Raíz de la unidad # Periodicidad.

$i ^ {4n + 1} = i \! \$

Potencias de e

El número e, la base de la logaritmo natural , es un bien estudiado constante aproximadamente igual a 2,718. Se puede aproximar por grandes potencias positivas o negativas de los números cercanos a uno, como

$e \ approx1.001 ^ {1000} \,$

$e \ approx0.999 ^ {- 1,000} \,$

y se define como la límite

$e = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac 1 n \ right) ^ n \,$

Cualquier fuente de entero no nulo de correo se puede calcular así:

$e ^ k = \ left (\ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n \ right) ^ k = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n \ right) ^ k = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {k n \ cdot k} \ right) ^ {n \ cdot k} = \ lim_ {| m | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac km \ right) ^ m$

La función exponencial , definida por

$e ^ x = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac xn \ right) ^ n$

tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia. Esta definición de e ^x coincide con la definición de e ^k cuando x es un número entero, pero también se aplica para los valores fraccionarios, reales o complejos de x, e incluso cuando x es una matriz cuadrada , que se utiliza en ecuaciones diferenciales ordinarias .

Otra fórmula popular es la serie de potencias

$e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 3} 6+ \ cdots + \ frac {x ^ n} {n!} + \ \ cdots,$ .

Potencias de números reales

Exponenciación con varias bases; de arriba a abajo, la base 10 (verde), base e (rojo), la base 2 (azul), base ½ (cian). Note cómo todas las curvas pasan por el punto (0, 1). Esto es porque, de acuerdo con las propiedades de exponenciación , cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1. También tenga en cuenta que en x = 1, el valor de y es igual a la base. Esto es porque cualquier número elevado a la potencia 1 es el mismo número.

De arriba a abajo: x ^{1/8, 1/4} x, x ^1/2, x ^1, x ^2, x ^4, x ^8.

Criar a un número real positivo a un poder que no es un número entero que se puede lograr de dos maneras.

Número racional exponentes pueden ser definidos en términos de ^n-ésimo raíces, y exponentes distintos de cero arbitrarias pueden ser definidos por la continuidad.
El logaritmo natural se puede utilizar para definir exponentes reales utilizando la función exponencial.

Las identidades y las propiedades que se muestran arriba son verdaderas para exponentes no enteros también.

Principal enésima raíz

Una raíz enésima de un número a es un número b tal que b ⁿ = a.

Cuando se hace referencia a la raíz n-ésima de un número real una se supone que lo que se desea es el principal raíz enésima del número. Si a es un número real, y n es un entero positivo, entonces la única solución real con el mismo signo como a la ecuación

$\ X ^ n = a$

se llama el director ^n-ésima raíz de un, y se denota $\ Sqrt [n] {a}$ usando el radical símbolo $(\ Sqrt {\, \,})$ .

$x = a ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {a}$ .

Por ejemplo: 4 ^1/2 = 2, 8 ^1/3 = 2, (-8) ^1/3 = -2,.

Tenga en cuenta que si n es incluso, los números negativos no tendrán un n º director raíz.

Facultades racionales de números reales positivos

Exponenciación con una racional exponente m / n puede definirse como

$a ^ {\ frac {m} {n}} = \ left (a ^ m \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {a ^ m}$ .

Por ejemplo, 8 ^2/3 = 4.

Dado que cualquier número real se puede aproximar por los números racionales, exponenciación a un arbitraria exponente k verdadero puede ser definido por continuidad con la regla

$a ^ k = \ lim_ {r \ para k} a ^ r,$

donde se toma el límite sólo sobre los valores racionales de la r.

Por ejemplo, si

$k \ aprox 1.732$

entonces

$5 ^ k \ aprox 5 ^ {1,732} = 5 ^ {433/250} = \ sqrt [250] {5 ^ {433}} \ aprox 16.241.$

Poderes reales de los números reales positivos

El logaritmo natural ln (x) es la inversa de la función exponencial e ^x. Se define para cada número real b positivo y satisface la ecuación

$b = e ^ {\ ln b}. \,$

Suponiendo b ^x ya está definido, las reglas de logaritmos y exponentes dan la igualdad

$b ^ x = (e ^ {\ ln b}) ^ x = e ^ {x \ cdot \ ln b}. \,$

Esta igualdad se puede utilizar para definir la exponenciación con cualquier base real positivo como b

$b ^ x = e ^ {x \ cdot \ ln b}. \,$

Esta definición del número real de energía b ^x está de acuerdo con la definición dada anteriormente usando exponentes racionales y continuidad. La definición de exponenciación usando logaritmos es más común en el contexto de los números complejos, como se discute a continuación.

Algunas potencias racionales de números reales negativos

Ni el método de logaritmo ni el método exponente fraccionario se pueden utilizar para definir una ^k como un número real de un número real negativo A y un número real k arbitrario. En algunos casos especiales, una definición es posible: potencias enteras de números reales negativos son los números reales, y los poderes racionales de la forma a ^{m / n,} donde n es impar puede ser calculada usando raíces. Pero puesto que no hay un número real x tal que x ² = -1, la definición de un ^{m / n} cuando n es par y m es impar debe utilizar la unidad imaginaria i, como se describe con más detalle en la siguiente sección.

El método logaritmo no se puede utilizar para definir una ^k como un número real cuando un <0 porque e ^x es no negativo para cada número real x, por lo que log (a) no puede ser un número real.

El método exponente racional no puede ser utilizado para valores negativos de un porque se basa en continuidad. La función f (r) = a ^r tiene una extensión continua única a partir de los números racionales para los números reales para cada a> 0. Pero cuando un <0, la función f no es continua, incluso en el conjunto de los números racionales r para el cual se define.

Por ejemplo, tomemos a = -1. La raíz enésima de -1 es -1 por cada impar número natural n. Así que si n es un entero positivo impar, (-1) ^{(m / n)} = -1 si m es impar, y (-1) ^{(m / n)} = 1 si m es par. Así, el conjunto de los números racionales q para que -1 ^q = 1 es denso en los números racionales, como es el conjunto de q para el que ^q = -1 -1. Esto significa que la función (-1) ^q no es continua en cualquier número racional q donde se define.

Poderes imaginarios de correo

La interpretación geométrica de las operaciones con números complejos y la definición de poderes de correo es la clave para entender e ^{i · x} para x real. Considera el triángulo rectángulo (0, 1, 1 + i · x / n). Para valores grandes de n del triángulo es casi un sector circular con un pequeño ángulo central igual a x / n radianes. Los triángulos (0, (1 + i · x / n) ^k, (1 + i · x / n) ^{k 1)} son mutuamente similar para todos los valores de k. Así que para valores grandes de N el punto de (1+ ix / n) la limitación de ^N es el punto de la unidad de círculo cuyo ángulo desde el eje real positivo es x radianes . Las coordenadas polares de este punto son (r, θ) = (1, x), y las coordenadas cartesianas son (cos (x), sin (x)). Así E ^{I · x} = cos (x) + i · sen (x), y esto es La fórmula de Euler, la conexión de álgebra a la trigonometría por medio de los números complejos .

Las soluciones de la ecuación e ^z = 1 son los múltiplos enteros de 2 · π · i:

$\ {Z: e ^ z = 1 \} = \ {k \ cdot 2 \ cdot \ pi cdot \ i: k \ in \ mathbb {Z} \}.$

Más generalmente, si e ^b = a, entonces cada solución a E ^z = A se puede obtener mediante la adición de un múltiplo entero de 2 · π · i a B:

$\ {Z: e ^ z = a \} = \ {b + k \ cdot 2 \ cdot \ pi \ cdot i: k \ in \ mathbb {Z} \}$ .

Así, la función exponencial compleja es una función periódica de período 2 · π · i.

Funciones trigonométricas

Se deduce de La fórmula de Euler que la funciones trigonométricas coseno y seno son

$\ cos (z) = \ frac {e ^ {i \ cdot z} + e ^ {- i \ cdot z}} {2} \ qquad \ sin (z) = \ frac {e ^ {i \ cdot z} - e ^ {- i \ cdot z}.} {2 \ cdot i} \,$

Históricamente, coseno y seno se definen geométricamente antes de la invención de los números complejos. La fórmula anterior reduce las complicadas fórmulas para funciones trigonométricas de la suma en la fórmula exponenciación sencilla

$e ^ {i \ cdot (x + y)} = e ^ {i \ cdot x} \ cdot e ^ {i \ cdot y}. \,$

Uso de exponenciación con exponentes complejos uno no necesita estudiar trigonometría.

Poderes de los estándares e

El poder e ^{x + i · y} se calcula e ^{x i} · e ^{· y.} El factor real e ^x es el valor absoluto de ^{x +} e ^{i · Y} y el factor complejo e ^{i · y} la identifica dirección de e ^{x + i · y.}

Potencias complejas de números reales positivos

Si a es un número real positivo, y z es cualquier número complejo, la potencia de una ^z se define como ^z e ^{· ln (a),} donde x = ln (a) es la única solución real a la ecuación e ^x = a. Así mismo método de trabajo exponentes reales también funciona para los exponentes complejos. Por ejemplo:

2 ⁱ = e ^{i · ln (2)} = cos (ln (2)) + i · sen (ln (2)) = 0.7692+ i · 0.63896

e ⁱ = 0.54030+ i · 0.84147

10 ⁱ = -0.66820+ i · 0.74398

(E ^{2 · π) i} = 535,49 ⁱ = 1

Poderes de los números complejos

Potencias enteras de números complejos se definen por la multiplicación repetida o división que el anterior. Potencias complejas de reales positivos se definen a través de correos ^x que el anterior. Estas son funciones continuas. Tratando de extender estas funciones para el caso general de poderes no entero de números complejos que no son reales positivos conduce a dificultades. O nos definimos funciones discontinuas o funciones multiformes. Ninguna de estas opciones son del todo satisfactorios.

El poder racional de un número complejo debe ser la solución de una ecuación algebraica. Por ejemplo, w = z ^media debe ser una solución a la ecuación w = ² z. Pero si w es una solución, entonces también lo es - w, porque (-1) ² = 1. Así que la ecuación algebraica w ² = z no es suficiente para definir z ^media. La elección de una de las dos soluciones como el valor principal de z ^medio nos deja con una función que no es continua, y las normas habituales para la manipulación de poderes nos llevan por mal camino.

El logaritmo de un número complejo

Una solución, z = log a, a la ecuación e ^z = a, se llama la valor principal del logaritmo complejo. Es la única solución imaginaria cuya parte se encuentra en el . intervalo (-π, π] Por ejemplo, log 1 = 0, log (-1) = π i, i = π sesión i / 2, y log (-. i) = i -π / 2 El valor principal de el logaritmo se conoce como una rama del logaritmo; otras ramas pueden ser especificados por la elección de un rango diferente para la parte imaginaria del logaritmo El límite entre las ramas se conoce como a. rama cortada. El valor principal tiene una rama cortada que se extiende desde el origen a lo largo del eje real negativo, y es discontinua en cada punto de la rama cortada.

Potencia compleja de un número complejo

El complejo de poder un general ^b de un número complejo distinto de cero se define como una

$a ^ b = e ^ {\ log (a ^ b)} = e ^ {b \ cdot \ log A}. \,$

Cuando el exponente es un número racional z potencia = a ^{n / m} es una solución de la ecuación z = ^m a ^n.

El cálculo de potencias complejas se facilita mediante la conversión de la base una a la forma polar, como se describe en detalle a continuación .

Raíces complejas de la unidad

Un número complejo a tal que a ⁿ = 1 para un número entero positivo n es un n-ésimo de la raíz de la unidad. Geométricamente, la enésima raíces de la unidad en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de un n gon regular con un vértice en el verdadero número 1.

Si z ⁿ = 1, pero z ^k ≠ 1 para todos los números naturales k tal que 0 <k <n, entonces z se denomina n º raíz primitiva de la unidad. La unidad negativo -1 es la única raíz cuadrada primitiva de la unidad. La unidad imaginaria i es uno de los dos primitivas 4-th raíces de la unidad; el otro es - i.

El número e ^{2 πi (1 / n)} es el n º raíz primitiva de la unidad con el más pequeño positivo argumento complejo. (A veces se llama el director enésima raíz de la unidad, aunque esta terminología no es universal y no se debe confundir con la valor principal de ⁿ √ 1, que es 1.)

Los otros n th raíces de la unidad están dadas por

$\ Left (e ^ {2 \ pi i (1 / n)} \ right) ^ k = e ^ {2 \ pi ik / n}$

para 2 ≤ k ≤ n.

Las raíces de números complejos arbitrarios

Aunque hay un número infinito de valores posibles para un logaritmo complejo en general, sólo hay un número finito de valores para la potencia de una ^z en el caso especial importancia cuando z = 1 / n y n es un entero positivo. Estos son el n-ésimo raíces de una; son soluciones de la ecuación x ⁿ = a. Al igual que con raíces reales, una segunda raíz también se llama una raíz cuadrada y una tercera raíz también se llama una raíz cúbica.

Es convencional en matemáticas para definir un ^{1 / n} como el valor principal de la raíz. Si a es un número real positivo, también es convencional para seleccionar un número real positivo como el valor principal de la raíz de un ^{1 / n.} Para los números complejos generales, la n-ésima raíz con el argumento más pequeño a menudo se selecciona como el valor principal de la n-ésima operación de raíz, al igual que con los valores principales de raíces de la unidad.

El conjunto de n-ésimo raíces de un número complejo a se obtiene multiplicando el valor principal de un ^{1 / n} por cada uno de los n-ésimo raíces de la unidad. Por ejemplo, las raíces de la cuarta 16 son 2, -2, 2 i, i y -2, porque el valor principal de la raíz cuarta de 16 es 2 y el cuarto raíces de la unidad son 1, -1, i, y - yo.

Cálculo de potencias complejas

A menudo es más fácil de calcular potencias complejas escribiendo el número que se va a exponentes en forma polar . Cada número complejo z se puede escribir en la forma polar

$z = re ^ {i \ theta} = e ^ {\ log (r) + i \ theta} \ ,,$

donde r es un número real no negativo y θ es el (real) argumento de z. El argumento, como el logaritmo complejo, tiene muchos valores posibles para cada z y así una rama cortada se utiliza para elegir un valor específico. La forma polar tiene una interpretación geométrica simple: si un número complejo u + iv se considera como la representación de un punto (u, v) en el plano complejo usando coordenadas cartesianas , entonces (r, θ) es el mismo punto en coordenadas polares . Es decir, r es el "radio" r ² = u ² + v ² y θ es el "ángulo" θ = atan2 (v, u). El corte rama corresponde a la idea de que un ángulo polar θ es ambigua, ya que se podría añadir cualquier múltiplo de 2π a θ sin cambiar la ubicación del punto. El valor principal (la rama cortada más común), como se mencionó anteriormente, corresponde a θ elegido en el intervalo (-π, π].

Con el fin de calcular la potencia compleja a ^b, escribir una en forma polar:

$a = r e ^ {i \ theta} \,$ .

Entonces

$\ Log a = \ log r + i \ theta \ ,,$

y por lo tanto

$a ^ b = e ^ {b \ un registro} = e ^ {b (\ log r + i \ theta)}. \,$

Si b se descompone como c + di, a continuación, la fórmula para una ^b se puede escribir de forma más explícita como

$\ Left (r ^ ce ^ {- d \ theta} \ right) e ^ {i (d \ log r + c \ theta)} = \ left (r ^ ce ^ {- d \ theta} \ right) \ left [\ cos (d \ log r + c \ theta) + i \ sin (d \ log r + c \ theta) \ right].$

Esta fórmula final permite potencias complejas para ser calculadas fácilmente de descomposiciones de la base en forma polar y el exponente en forma cartesiana. Se muestra aquí tanto en forma polar y en forma cartesiana (a través de la identidad de Euler).

Los siguientes ejemplos utilizan el valor principal, la rama cortada que causa θ estar en el intervalo (-π, π] Para calcular ⁱ i, i escribir en formas polares y cartesianas.:

$i = 1 \ cdot e ^ {i \ pi / 2}, \,$

$i = 0 + 1i. \,$

Entonces la fórmula anterior, con r = 1, θ = π / 2, c = 0, y d = 1, se obtiene:

$\ I ^ i = \ left (1 ^ 0 e ^ {- \ pi / 2} \ right) e ^ {i (1 \ cdot \ log 1 + 0 \ cdot \ pi / 2)} = e ^ {- \ pi / 2} \ aprox 0.2079.$

Del mismo modo, para encontrar (-2) ^{3 + 4 i,} calcular la forma polar de -2,

$-2 = 2e ^ {i \ pi} \,,$

y utilizar la fórmula anterior para calcular

$(-2) ^ {3 + 4i} = \ left (2 ^ 3 e ^ {- 4 \ pi} \ right) e ^ {i (4 \ log (2) + 3 \ pi)} \ aprox (2.602 - 1.006 i) \ cdot 10 ^ {- 5}.$

El valor de una potencia compleja depende de la rama utilizado. Por ejemplo, si la forma polar i = 1 e ^{i (5π / 2)} se utiliza para calcular i ^i, la alimentación se encontró que e ^{-5π / 2;} el valor principal de ⁱ i, calculado anteriormente, es e ^{-π / 2.}

El fracaso de las identidades de potencia y logaritmo

Identidades para potencias y logaritmos que tienen para los números reales positivos pueden fallar cuando los números reales positivos son reemplazados por números complejos arbitrarios. No hay un método para definir poderes complejos o el complejo logaritmo como funciones de valores complejos preservando al mismo tiempo las identidades estas operaciones poseen en los números reales positivos.

Un ejemplo que implica logaritmos se refiere a la regla log (a ^b) = b · conectarse a, que tiene cada vez que a es un número real positivo y b es un número real. El siguiente cálculo muestra que esta identidad no se sostiene, en general, para el valor principal del logaritmo complejo cuando una no es un número real positivo:

$i \ pi = \ log (-1) = \ log ((- i) ^ 2) \ neq 2 \ log (-i) = 2 (-i \ pi / 2) = -i \ pi.$

Independientemente de que se utilice la rama del logaritmo, siempre existirá un fallo similar de la identidad.

Un ejemplo que implica reglas de potencia se refiere a las identidades

$(Ab) ^ c = a ^ cb ^ c, \ qquad \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ c = \ frac {a ^ c} {b ^ c}.$

Estas identidades son válidas cuando a y b son números reales positivos y c es un número real. Sin embargo, un cálculo utilizando los valores principales muestra que

$1 = (-1 \ cdot -1) ^ {1/2} \ no = (-1) ^ {1/2} (- 1) ^ {1/2} = -1,$

$i = (-1) ^ {1/2} = \ left (\ frac {1} {- 1} \ right) ^ {1/2} \ no = \ frac {1 ^ {1/2}} {( -1) ^ {1/2}} = \ frac {1} {i} = -i.$

Estos ejemplos ilustran que los poderes complejos y logaritmos no se comportan de la misma manera que sus homólogos reales, por lo que se requiere precaución al trabajar con las complejas versiones de estas operaciones.

Zero a la potencia cero

Parcela de z = abs (x, ^y) con diferentes curvas (rojo) que muestran cómo 0 ⁰ puede evaluar a diferentes valores. Las curvas de color verde tienen un límite de 1.

La evaluación de 0 ⁰ presenta un problema, porque diferente razonamiento matemático conduce a resultados diferentes. La mejor opción para su valor depende del contexto. Según Benson (1999), "La opción si desea definir 0 ⁰ se basa en la conveniencia, no en la corrección." Existen dos tratamientos principales en la práctica, una de las matemáticas discretas y el otro de análisis.

En muchos lugares, especialmente en las fundaciones y la combinatoria, 0 ⁰ se define como 1. Esta definición surge en tratamientos fundamentales de los números naturales como cardenales finitos , y es útil para acortar las identidades combinatorias y eliminar los casos especiales de teoremas, como se ilustra a continuación. En muchos otros entornos, 0 ⁰ queda sin definir. En el cálculo , 0 ⁰ es un forma indeterminada, que debe ser analizado en lugar de evaluar. En general, el análisis matemático trata 0 ⁰ como indefinido a fin de que la función exponencial ser continua.

Justificaciones para definir 0 ⁰ = 1 incluyen:

Cuando 0 ⁰ se considerará como un vacío producto de ceros, su valor es 1.
La interpretación combinatoria de 0 ⁰ es el número de tuplas vacías de elementos del conjunto vacío. No es exactamente un vacío tupla.
De manera equivalente, la interpretación de teoría de conjuntos de 0 ⁰ es el número de funciones del conjunto vacío al conjunto vacío. Hay exactamente un tal función, el función vacía.
Simplifica enormemente la teoría de polinomios y series de potencias que un término constante puede hacha ⁰ escrito para una x arbitrario. Por ejemplo:
- La fórmula para los coeficientes en un producto de polinomios perdería gran parte de su simplicidad si términos constantes tuvieron que ser tratados de manera especial.
- Una serie de potencias como $\ Estilo de texto e ^ {x} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!}$ no es válida para x = 0 a menos que 0 ^0, que aparece en el numerador del primer término de la serie, es 1. De lo contrario habría que usar la identidad ya $\ Estilo de texto e ^ {x} = 1 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!}$ .
- La teorema del binomio $\ Estilo de texto (1 + x) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ Binom {n} {k} x ^ k$ no es válido para x = 0, a menos que 0 ⁰ = 1. Al definir 0 ⁰ ser 1, un caso especial del teorema puede ser eliminada.
En cálculo diferencial, el regla de la potencia $\ Frac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n-1}$ no es válida para n = 1 en x = 0 a menos que 0 ⁰ = 1. La definición de esta manera elimina la necesidad de un caso especial de la regla de la potencia.

En contextos donde el exponente puede variar de forma continua, por lo general es mejor para tratar 0 ⁰ como una cantidad definida. Las justificaciones para tratarla como indefinido incluyen:

El valor 0 ⁰ surge a menudo como el límite formal de funciones exponenciadas, f (x) ^{g (x),} cuando f (x) yg (x) Enfoque 0 cuando x tiende a un (una constante o infinito). Allí, 0 ^0, sugiere [lim f (x)] ^{lim g (x),} que es una cantidad bien definida y es el valor correcto de lim f (x) ^{g (x),} cuando no nulos constantes f y g de aproximación, pero no es bien definido cuando enfoque fyg 0. El mismo razonamiento se aplica a ciertos poderes que implican el infinito , $\ Infty ^ 0$ y $1 ^ \ infty$ . Una forma más abstracta de decir esto es la siguiente: La función real x ^y de las dos variables reales no negativos x e y no es continua en el punto (x, y) = (0, 0), y así 0 ⁰ no está determinado por la continuidad. Es decir, la función de x ^y no tiene extensión continua desde el primer cuadrante abierto para incluir el punto (0,0). La regla de cálculo, que $\ Lim_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = (\ lim_ {x \ to a} f (x)) ^ {\ g lim_ {x \ to a} (x)}$ cada vez que se definen los dos lados de la ecuación, sería un error si se definieron 0 ^0.
La función de ^z z, visto como una función de un número complejo z variable y definido como ^log e ^{z z} no está definida para z = 0 porque log z está definido en z = 0. Además, debido a z ^z tiene un logarítmica punto de ramificación en z = 0, no es común para extender el dominio de z ^z al origen en este contexto.

Tratamiento en lenguajes de programación

Los lenguajes de programación que evalúan 0 ⁰ sean 1 incluyen J, Java , Python , Ruby, Haskell, ML, Esquema, MATLAB y Calculadora de Microsoft Windows ".

Arce simplifica un ⁰ a 1 y 0 a ^un 0, incluso si no hay limitaciones se colocan en una, y evalúa 0 ⁰ a 1.

Google búsqueda cuando utiliza por su función de calculadora evalúa 0 ⁰ a 1.

Mathematica simplifica un ⁰ a 1, incluso si no hay limitaciones se colocan en una. No simplificar 0 ^a, y se tarda 0 ⁰ a haber una forma indeterminada.

En el .NET Framework, el método System.Math.Pow trata a 0 ⁰ que es 1.

Potencias con el infinito

Expresiones exponenciales que implican el infinito pueden ser considerados como generalizaciones de tipos más familiares de exponenciación, pero hay por lo menos dos tipos claramente distintas de generalización al caso infinito. Por un lado, existe la combinatoria interpretación teórica o conjunto; ver exponenciación de números cardinales .

Por otra parte, uno puede encontrar expresiones tales como $\ Infty ^ 0$ y $1 ^ \ infty$ Con origen en el análisis de la misma razón que 0 ^0, y ellos no están definidos por la misma razón. Es decir, es cierto que (lim f (x)) ^{lim g (x)} = lim f (x) ^{g (x)} cuando constantes distinto de cero finitos f y g de aproximación, pero no cuando se acercan a 0 o infinito; entonces, el límite de la potencia puede ser cualquier cosa, no predecible a partir de los límites de f y g.

Tiene sentido decir que $\ Infty = \ infty ^ \ infty$ si esto es simplemente interpretarse como una abreviatura para el teorema de que si fyg tanto enfoque infinito cuando x tiende a, entonces lim f (x) ^{g (x)} es también infinita. (Del mismo modo, $\ Infty = 7 ^ \ infty$ , $\ Infty = 1,3 ^ \ infty$ , Etc.)

De manera eficiente el cálculo de un poder

El método más simple de calcular un ⁿ requiere operaciones de multiplicación n -1, pero se puede calcular de manera más eficiente, como se ilustra mediante el siguiente ejemplo. Para calcular 2 ^100, tenga en cuenta que el 100 = 96 + 4 y 96 = 3 * 32. Calcule el siguiente orden:

2 ² = 4

(2 ^{2) 2} = 2 ⁴ = 16

(2 ^{4) 2} = 2 ⁸ = 256

(2 ^{8) 2} = 2 ¹⁶ = 65.536

(2 ^{16) 2} = 2 ³² = 4294967296

2 ³² 2 ³² 2 ³² 2 ⁴ = 2 ¹⁰⁰

Esta serie de pasos sólo requiere 8 operaciones de multiplicación en lugar de 99.

En general, el número de operaciones de multiplicación necesarios para calcular un ⁿ puede ser reducido a Θ (log n) mediante el uso de exponenciación elevando al cuadrado o (en general) exponenciación Además de cadena. Encontrar la secuencia mínima de multiplicaciones (la cadena Además de longitud mínima para el exponente) para un ⁿ es un problema difícil para los que se conocen actualmente no hay algoritmos eficientes, pero muchos algoritmos heurísticos razonablemente eficientes están disponibles.

Notación exponencial para los nombres de funciones

Depositar un exponente entero después del nombre o símbolo de una función, como si la función estuviera siendo elevado a una potencia, comúnmente se refiere a repetirse la composición de funciones en lugar de multiplicación repetida. Por lo tanto f ³ (x) puede significar f (f (f (x))); En particular, f ^-1 (x) generalmente denota la función inversa de f.

Sin embargo, por razones históricas, una sintaxis especial se aplica a las funciones trigonométricas : un exponente positivo aplicado a la abreviatura de la función significa que el resultado se eleva a ese poder, mientras que un exponente de -1 indica la función inversa. Es decir, el pecado ² x es sólo una forma abreviada de escribir (sen x) ² sin utilizar paréntesis, mientras que sin ^-1 x se refiere a la función inversa de la sinusoidal, también llamado arcsin x. No hay necesidad de una forma abreviada de los inversos de las funciones trigonométricas, ya que cada una tiene su propio nombre y abreviatura, por ejemplo 1 / sin (x) = (sen x) ^-1 es csc x. Una convención similar se aplica a logaritmos, donde log ² (x) = (log (x)) ² y no hay abreviatura común para log (log (x)).

Las generalizaciones de exponenciación

Exponenciación en álgebra abstracta

Exponenciación para exponentes enteros se puede definir para estructuras muy generales enálgebra abstracta.

Deje X ser un conjunto con un poder asociativo operación binaria, lo que vamos a escribir multiplicativamente. En esta situación muy general, podemos definir x ⁿ para cualquier elemento x de X y cualquier nulo número natural n , simplemente multiplicando x por sí mismo n veces; por definición, la asociatividad de energía significa que no importa en qué orden realizamos las multiplicaciones.

Ahora, además, suponer que la operación tiene un elemento de identidad 1. Entonces podemos definir x ⁰ sea igual a 1 para cualquier x . Ahora x ⁿ está definida para cualquier número natural n , incluyendo 0.

Finalmente, supongamos que la operación tiene inversos, y que la multiplicación es asociativa (de modo que el magma es un grupo ). Entonces podemos definir x ^-n ser la inversa de x ⁿ cuando n es un número natural. Ahora x ⁿ se define para cualquier número entero n y cualquier x en el grupo.

Exponenciación en este sentido puramente algebraica satisface las siguientes leyes (siempre que se definen ambos lados):

$\ x^{m+n}=x^mx^n$
$\ x^{m-n}=x^m/x^n$
$\ x^{-n}=1/x^n$
$\ x^0=1$
$\ x^1=x$
$\ x^{-1}=1/x$
$\ (x^m)^n=x^{mn}$

Aquí, nosotros usamos una división barra ("/") para indicar multiplicando por un inverso, con el fin de reservar el símbolo x ^-1 para elevar x a la potencia -1, en lugar de la inversa de x . Sin embargo, como una de las leyes anteriores estados, x ^-1 es siempre igual a la inversa de x , por lo que la notación no importa en el extremo.

Si, además, la operación de multiplicación esconmutativa(de modo que el conjuntoXes ungrupo abeliano), entonces tenemos algunas leyes adicionales:

(xy)ⁿ=xⁿyⁿ
(x/y)ⁿ=xⁿ/yⁿ

Si tomamos toda esta teoría de la exponenciación en un contexto algebraico pero escribimos la operación binaria aditiva ", multiplicación exponenciación se repite", entonces puede ser reinterpretado como " multiplicación se repite además ". Por lo tanto, cada una de las leyes de la exponenciación anterior tiene un análogo de entre leyes de la multiplicación.

Cuando uno tiene varias operaciones en todo, cualquiera de los cuales podría repetirse usando exponenciación, es común para indicar qué operación se repite colocando su símbolo en el exponente. Por lo tanto, x ^*n es x * ··· * x , mientras que x ^#n es x # ··· # x , cualesquiera que sean las operaciones * y # sean.

Se utiliza la notación superíndice también, especialmente en la teoría de grupos , para indicar la conjugación. Es decir, g ^h = h ^-1 gh , donde g y h son elementos de algún grupo . Aunque Conjugación obedece algunas de las mismas leyes que la exponenciación, no es un ejemplo de multiplicación repetida en ningún sentido. La quandle es una estructura algebraica en la que estas leyes de la conjugación juegan un papel central.

Exponenciación sobre conjuntos

Si n es un número natural y A es un conjunto arbitrario, la expresión A ⁿ menudo se utiliza para designar el conjunto de ordenadas n -tuplas de elementos de A . Esto es equivalente a dejar una ⁿ denotan el conjunto de funciones del conjunto {0, 1, 2, ..., n -1} al conjunto A ; el n tupla ( un ₀ , una ₁ , una ₂ , ..., a _n-1 ) representa la función que envía i una a _yo .

Para un infinito número cardinal κ y un conjunto A , la notación A ^κ también se utiliza para designar el conjunto de todas las funciones de un conjunto de κ tamaño a una . Esto se escribe a veces ^κ A para distinguirlo de exponenciación cardinal, se define a continuación.

Este exponencial generalizada también se puede definir para las operaciones en conjuntos o para conjuntos con supletoria estructura. Por ejemplo, en el álgebra lineal , que tiene sentido índice sumas directas de espacios vectoriales sobre conjuntos de índices arbitrarios. Es decir, podemos hablar de

$\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_{i},$

donde cada V _yo es un espacio vectorial. Entonces si V _yo = V para cada i , la suma directa resultante puede escribirse en notación exponencial como V ^(+)N , o simplemente V ^N con el entendimiento de que la suma directa es la opción predeterminada. Podemos nuevo reemplace el conjunto N con un número cardinal n para obtener V ⁿ , aunque sin elegir un estándar específico establecido con cardinalidad n , esto sólo se define hasta el isomorfismo. Tomando V para ser el campo R de los números reales (pensado como un espacio vectorial sobre sí mismo) y n que haber algún número natural , obtenemos el espacio vectorial que se estudia con mayor frecuencia en el álgebra lineal, el espacio euclidiano R ⁿ .

Si la base de la operación de exponenciación es un conjunto, la operación de exponenciación es el producto cartesiano menos que se indique lo contrario. Desde múltiples productos cartesianos producen un n - tupla, que puede representarse por una función en un conjunto de cardinalidad apropiada, S ^N se convierte en simplemente el conjunto de todas las funciones de N a S en este caso:

$S^N \equiv \{ f: N \to S \}.\,$

Esto concuerda con la potenciación de los números cardinales, en el sentido que | S ^N | = | S | ^|N| , donde | X | es la cardinalidad de X . Cuando N = 2 = {0,1}, tenemos | 2 ^X | = 2 ^|X| , donde 2 ^X , por lo general denota por P X , es el conjunto potencia de X ; cada subconjunto Y de X corresponde únicamente a una función de X toma el valor 1 para x ∈ Y y 0 para x ∉ Y .

Exponenciación en teoría de la categoría

En un Cartesiana categoría cerrada, la operación exponencial se puede utilizar para levantar un objeto arbitrario del poder de otro objeto. Esto generaliza el producto cartesiano en la categoría de conjuntos.

Exponenciación de números cardinales y ordinales

Enla teoría de conjuntos, hay operaciones exponenciales paracardinalyordinalnúmeros.

Si κ y λ son números cardinales, la κ expresión ^λ representa la cardinalidad del conjunto de las funciones de cualquier conjunto de cardinalidad λ a cualquier conjunto de cardinalidad κ. Si κ y λ son finitos, entonces esto está de acuerdo con la operación exponencial ordinaria. Por ejemplo, el conjunto de 3-tuplas de elementos de un conjunto de 2 elementos tiene cardinalidad 8.

Exponenciación de números cardinales es distinta de la exponenciación de números ordinales , que está definido por un límite de proceso. En los números ordinales, exponenciación se define por inducción transfinito. Para ordinales α y β, la α exponencial ^β es el supremo del producto ordinal alpha ^γ alpha sobre toda γ <β.

Exponenciación repetida

Así como la exponenciación de números naturales está motivada por la multiplicación repetida, es posible definir una operación basada en la exponenciación repetido; esta operación se denomina a veces tetración. Iterando tetración conduce a otra operación, y así sucesivamente. Esta secuencia de operaciones es capturada por la función de Ackermann.

Exponenciación en lenguajes de programación

La notación superíndice x ^y es conveniente en la escritura, pero inconveniente para máquinas de escribir y terminales de ordenador que se alinean las líneas de base de todos los caracteres de cada línea. Muchos lenguajes de programación tienen formas alternativas de expresar exponenciación que no usan superíndices:

x ↑ y:Algol,Commodore BASIC
x ^ y:BASIC, J, Matlab, R, Microsoft Excel,TeX(y sus derivados),Haskell (para exponentes enteros), y la mayoría delos sistemas de álgebra computacional
x ** y: Ada, Bash, Fortran, FoxPro,Perl,Python, Ruby, SAS,ABAP, Haskell (por exponentes de coma flotante), Turing
x * y: APL
Potencia (x, y): Microsoft Excel, Delphi / Pascal (declarada en "Math" -Unidad)
pow (x, y):C,C ++, PHP
Math.pow (x, y):Java, JavaScript Modula-3
Math.pow (x, y): C #
(Xy expt):Common Lisp, Esquema

En Bash, C, C ++, C #, Java, JavaScript, PHP y Python, el símbolo ^ representa bit a bit XOR. En Pascal, representa indirección.

Historia de la notación

El término de energía fue utilizado por Euclides para el cuadrado de una línea. Nicolas Chuquet utiliza una forma de notación exponencial en el siglo 15, que más tarde fue utilizado por Henricus grammateus y Michael Stifel. Samuel Jeake introducido el término índices en 1696. En el siglo 16 Robert Recorde utiliza los términos cuadrado, cubo, zenzizenzic (cuarto poder), surfolide (quinto), zenzicube (sexto), segundo surfolide (séptimo) y Zenzizenzizenzic (octavo).

Otro sinónimo histórico,la involución, es poco frecuente y no debe confundirse consu significado más común.

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