Funciones trigonométricas

Función	Abreviatura	Identidades (usando radianes )
Seno	pecado
Coseno	cos
Tangente	bronceado (O tg)
Cosecante	csc (O cosec)
Secante	segundo
Cotangente	cuna (O CTG o ctn)

En matemáticas , las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares) son funciones de un ángulo . Son importantes en el estudio de los triángulos y modelado fenómenos periódicos, entre otras muchas aplicaciones. Funciones trigonométricas se definen comúnmente como proporciones de dos lados de un triángulo rectángulo que contienen el ángulo, y equivalentemente puede ser definida como las longitudes de los distintos segmentos de línea de una círculo unidad. Más definiciones técnicas modernas que se expresen como serie infinita o como soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales , permitiendo su extensión a valores positivos y negativos arbitrarios e incluso a números complejos .

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ se puede construir geométricamente en términos de una unidad de círculo con centro en O.

En el uso moderno, hay seis funciones trigonométricas básicas, que se tabulan aquí junto con las ecuaciones relativas a la otra. Especialmente en el caso de los últimos cuatro, estas relaciones se toman a menudo como las definiciones de estas funciones, pero uno puede definirlos igualmente bien geométricamente o por otros medios y luego derivar estas relaciones.

Historia

La noción de que debe haber una cierta correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo y los ángulos del triángulo viene tan pronto como se reconoce que los triángulos similares mantienen las mismas proporciones entre sus lados. Es decir, para cualquier triángulo similar, la proporción de la hipotenusa (por ejemplo) y otro de los lados sigue siendo el mismo. Si la hipotenusa es el doble de tiempo, por lo que son los lados. Está a sólo estas proporciones que las funciones trigonométricas expresan.

Funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 aC), Ptolomeo de Egipto (90-180 dC), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī , Abu al-Wafa al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (siglo 14), Ulugh pide (siglo 14), Regiomontano (1464), Rheticus, y el estudiante de Rheticus Valentin Otho.

Madhava de Sangamagramma (c. 1400) hizo primeros pasos en el análisis de las funciones trigonométricas en términos de serie infinita. Leonhard Euler Introductio 's en infinitorum analysin (1748) fue mayormente responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, también definirlos como serie infinita y presentar " La fórmula de Euler ", así como el abreviaturas casi moderna pecado., Cos., Tang., Cuna., Sec., Y cosec.

Unas pocas funciones eran comunes históricamente (y aparecieron en las primeras tablas), pero ahora rara vez se utilizan, como el acorde (crd (θ) = 2 sen (θ / 2)), la versine (versin (θ) = 1 - cos (θ) = 2 sin² (θ / 2)), la haversine (Haversin (θ) = versin (θ) / 2 = sin² (θ / 2)), el exsecant (exsec (θ) = s (θ) - 1) y la excosecant (excsc (θ) = exsec (π / 2 - θ) = csc (θ) - 1). Muchas más las relaciones entre estas funciones se enumeran en el artículo sobre identidades trigonométricas.

Definiciones triángulo rectángulo

La triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90 ° (π / 2 radianes), aquí la etiqueta C. ángulos A y B puede variar. Funciones trigonométricas especifican las relaciones entre longitudes de los lados y ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

Con el fin de definir las funciones trigonométricas para el ángulo A, comenzar con una arbitraria triángulo rectángulo que contiene el ángulo A:

Utilizamos los siguientes nombres para los lados del triángulo:

• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o define como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h.
• El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo estamos interesados en, en este caso a.
• El lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que nos interesa y el ángulo derecho, de ahí su nombre. En este caso el lado adyacente es b.

Se toman todos los triángulos de existir en el plano euclidiano de modo que los ángulos interiores de cada suma triángulo para π radianes (o 180 ° ); Por lo tanto, para un triángulo rectángulo los dos ángulos no rectos son entre cero y π / 2 radianes (o 90 ° ). El lector debe tener en cuenta que las siguientes definiciones, estrictamente hablando, sólo definen las funciones trigonométricas para ángulos de esta gama. Les extendemos a todo el conjunto de argumentos reales mediante el uso de la círculo unidad, o al requerir ciertas simetrías y que sean funciones periódicas.

1) El seno de un ángulo es la relación de la longitud del lado opuesto a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

.

Tenga en cuenta que esta relación no depende de la triángulo rectángulo particular elegido, siempre y cuando que contiene el ángulo A, puesto que todos los triángulos son similar.

El conjunto de ceros de seno (es decir, los valores de para cual ) Es

.

2) El coseno de un ángulo es la relación de la longitud del lado adyacente a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

.

El conjunto de ceros de coseno es

.

3) La tangente de un ángulo es la relación de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

.

El conjunto de ceros de tangente es

.

El mismo conjunto de la función seno desde

.

Las tres funciones restantes se definen mejor el uso de las tres funciones anteriores.

4) El csc cosecant (A) es el inverso multiplicativo de sin (A), es decir, la relación de la longitud de la hipotenusa a la longitud del lado opuesto:

.

5) La sec secante (A) es el inverso multiplicativo de cos (A), es decir, la relación de la longitud de la hipotenusa a la longitud del lado adyacente:

.

6) La cuna cotangente (A) es el inverso multiplicativo de tan (A), es decir, la relación de la longitud del lado adyacente a la longitud del lado opuesto:

.

Definiciones Slope

Equivalente a las definiciones derecha del triángulo, las funciones trigonométricas se puede definir en términos de aumento, correr, y pendiente de un segmento de línea en relación con alguna línea horizontal. La pendiente se enseña comúnmente como "lugar más de correr" o subida / run. Las tres principales funciones trigonométricas se enseñan comúnmente en el orden seno, coseno, tangente. Con un círculo unidad, la siguiente correspondencia de definiciones existe:

1. Sine es primero, el aumento es de primera. Sine toma un ángulo y le dice a la subida.
2. Coseno es el segundo, de ejecución es segundos. Coseno toma un ángulo y le dice a la carrera.
3. Tangente es la fórmula de la pendiente que combina la subida y la carrera. Tangente toma un ángulo y le dice a la pendiente.

Esto demuestra que el principal uso de la tangente y arco tangente: la conversión entre las dos formas de contar la inclinación de una línea, es decir, los ángulos y pendientes. (Tenga en cuenta que el arco tangente o "tangente inversa" es que no debe confundirse con la cotangente, que es cos dividido por el pecado.)

Mientras que el radio del círculo no hace ninguna diferencia para la pendiente (la pendiente no depende de la longitud de la línea inclinada), que afecta lugar y se ejecuta. Para ajustar y encontrar la subida real y ejecutar, sólo multiplique el seno y el coseno por el radio. Por ejemplo, si el círculo tiene un radio 5, la carrera en un ángulo de 1 ° 5 es cos (1 °)

Definiciones Unidad de círculo

La círculo unidad

Las seis funciones trigonométricas también pueden definirse en términos de la unidad de círculo, el círculo de radio de una centrada en el origen. La definición círculo unidad ofrece poco en el camino de cálculo práctico; de hecho se basa en triángulos rectángulos para la mayoría de los ángulos. La definición círculo unidad, sin embargo, permite la definición de las funciones trigonométricas para todos los argumentos positivos y negativos, no sólo para los ángulos entre 0 y π / 2 radianes. También proporciona una sola imagen visual que encapsula a la vez todos los triángulos importantes. Desde el teorema de Pitágoras la ecuación para el círculo unitario es:

En la imagen, algunos ángulos comunes, medidos en radianes, se les da. Mediciones en el sentido contrario a las agujas del reloj son los ángulos positivos y mediciones en la dirección de las agujas del reloj son ángulos negativos. Deje una línea a través del origen, formando un ángulo de θ con la mitad positiva del eje x de intersección del círculo unitario. Las x - coordenadas x e y de este punto de intersección son igual a cos θ y θ pecado, respectivamente. El triángulo en el gráfico hace cumplir la fórmula; la radio es igual a la hipotenusa y tiene longitud 1, así que tenemos pecado θ = y / 1 y cos θ = x / 1. El círculo unidad puede ser pensado como una manera de mirar a un número infinito de triángulos mediante la variación de las longitudes de sus piernas, pero manteniendo las longitudes de sus hipotenusas igual a 1.

El f (x) = sin (x) y f (x) = cos (x) funciones representadas en el plano cartesiano.

Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente

Para ángulos mayores de 2π o menos de -2π, simplemente continuar girando alrededor del círculo. De esta manera, seno y el coseno convertirse funciones periódicas con periodo 2π:

para cualquier ángulo θ y cualquier número entero k.

El período positivo más pequeño de una función periódica se denomina período primitivo de la función. El período primitivo del seno, coseno, secante, cosecante o es un punto de partida, es decir, 2π radianes o 360 grados; el período primitivo de la tangente o cotangente es sólo un medio círculo, es decir, π radianes o 180 grados. Por encima, sólo seno y coseno se definieron directamente por el círculo unidad, pero las otras cuatro funciones trigonométricas pueden ser definidos por:

El f (x) = función tan (x) representada gráficamente en el plano cartesiano.

A la derecha hay una imagen que muestra un gráfico notablemente diferente de la función trigonométrica f (θ) = tan (θ) graficada en el plano cartesiano. Tenga en cuenta que sus intersecciones x corresponden a la de sin (θ), mientras que sus valores no definidos corresponden a las intersecciones x de los cos (θ). Observe que los resultados de la función cambian lentamente alrededor de los ángulos de k π, pero cambian rápidamente en ángulos cercanos a (k + 1/2) π. La gráfica de la función tangente también tiene un verticales asíntota en θ = (k + 1/2) π. Este es el caso porque la función se aproxima al infinito como θ enfoques (k + 1/2) π desde la izquierda y menos infinito cuando se aproxima a (k + 1/2) π desde la derecha.

Por otra parte, todas las funciones trigonométricas básicas pueden definirse en términos de un círculo unitario con centro en O (a la derecha, cerca de la parte superior de la página), y tales definiciones geométricas similares fueron utilizados históricamente. En particular, para un acorde AB del círculo, donde θ es la mitad del ángulo subtendido, sen (θ) es AC (media de la cuerda), una definición introducida en la India (véase más arriba). cos (θ) es el OC distancia horizontal y versin (θ) = 1 - cos (θ) es CD. tan (θ) es la longitud del segmento de AE de la recta tangente a través de A, por lo tanto, la palabra tangente para esta función. cuna (θ) es otro segmento tangente, AF. seg (θ) = OE y csc (θ) = OF son segmentos de líneas secantes (que interseca el círculo en dos puntos), y también pueden ser vistos como proyecciones de OA a lo largo de la tangente en A a los ejes horizontal y vertical, respectivamente. DE es exsec (θ) = s (θ) - 1 (la parte de la secante exterior, o ex, el círculo). A partir de estas construcciones, es fácil ver que las funciones secantes y tangentes divergen como θ π / 2 se acerca (90 grados) y que la cosecante y cotangente divergen como θ se aproxima a cero. (Muchas construcciones similares son posibles, y las identidades trigonométricas básicas también se pueden probar de forma gráfica.)

Definiciones Series

La función seno (azul) está estrechamente aproximarse por su polinomio de Taylor de grado 5 (rosa) para un ciclo completo centrada en el origen.

Usando sólo la geometría y las propiedades de los límites , se puede demostrar que el derivado de seno es el coseno y el derivado de coseno es el negativo de sinusoidal. (Aquí, y en general en el cálculo , todos los ángulos se miden en radianes ; véase también la importancia de radianes a continuación.) Uno puede entonces usar la teoría de la serie de Taylor para demostrar que las siguientes identidades se mantienen para todos los números reales x:

Estas identidades se toman a menudo como las definiciones de la función seno y coseno. A menudo se utilizan como punto de partida en un tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo, en Las series de Fourier), ya que la teoría de la serie infinita se puede desarrollar a partir de los fundamentos del sistema de números reales , independientemente de cualquier consideración geométricas. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones son entonces establece a partir de las definiciones de la serie por sí solos.

Otras series se puede encontrar:

donde

es el n-ésimo arriba / abajo número,

es el n-ésimo Número de Bernoulli, y

(Abajo) es el n-ésimo Número de Euler.

Cuando esto se expresa en una forma en la que los denominadores son los factoriales correspondientes, y los numeradores, llamado los "números tangentes", tienen una combinatoria interpretación: se enumeran permutaciones alternas de conjuntos finitos de cardinalidad impar.

Cuando esto se expresa en una forma en la que los denominadores son los factoriales correspondientes, los numeradores, llamados los "números secantes", tienen una combinatoria interpretación: se enumeran permutaciones alternas de conjuntos finitos de incluso cardinalidad.

Desde un teorema en análisis complejo, hay una extensión analítica única de esta función real a los números complejos. Tienen la misma serie de Taylor, y por lo tanto las funciones trigonométricas se definen en los números complejos utilizando la serie de Taylor anteriormente.

Relación con la función exponencial y números complejos

sine complejo

coseno compleja

Se puede demostrar a partir de las definiciones de la serie que las funciones seno y coseno son los imaginarios partes y reales, respectivamente, de la función exponencial compleja cuando su argumento es puramente imaginario:

.

Esta identidad se llama La fórmula de Euler. De esta manera, las funciones trigonométricas se convierten en esencial en la interpretación geométrica de análisis complejo. Por ejemplo, con la identidad anteriormente, si se considera el círculo unidad en el plano complejo , definido por e ^{i x,} y, como antes, podemos parametrizar este círculo en términos de cosenos y senos, la relación entre la exponencial compleja y el trigonométrica funciones hace más evidente.

Además, esto permite la definición de las funciones trigonométricas para argumentos complejo z:

donde i ² = -1. También, para puramente real x,

También se sabe que los procesos exponenciales están íntimamente ligados a comportamiento periódico.

Definiciones a través de ecuaciones diferenciales

Tanto las funciones seno y coseno satisfacen la ecuación diferencial

.

Es decir, cada uno es el negativo de su propia segunda derivada. Dentro de la 2-dimensional espacio de la función V que consta de todas las soluciones de esta ecuación, la función seno es la única solución que satisface las condiciones iniciales y (0) = 0 y y '(0) = 1, y la función coseno es la única solución que satisface las condiciones iniciales y (0) = 1 y y '(0) = 0. Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntos forman una base de V. Este método de definición de las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a usar la fórmula de Euler. (Ver ecuación diferencial lineal.) Resulta que esta ecuación diferencial puede ser utilizado no sólo para definir las funciones seno y coseno, sino también para probar la identidades trigonométricas para las funciones seno y coseno. Además, la observación de que seno y coseno satisface significa que son funciones propias de la segunda derivada del operador.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

que satisface la condición inicial y (0) = 0. Hay una prueba visual muy interesante que satisface la función tangente esta ecuación diferencial; ver Análisis Visual Complex de Needham.

La importancia de radianes

Radianes especifican un ángulo mediante la medición de la longitud alrededor de la trayectoria de la unidad de círculo y constituyen un argumento especial para las funciones seno y coseno. En particular, sólo los senos y cosenos que mapean radianes a proporciones satisfacen las ecuaciones diferenciales que describen clásicamente ellos. Si un argumento de seno o coseno en radianes es escalado por la frecuencia,

a continuación, los derivados escalarán por amplitud.

.

Aquí, k es una constante que representa una asignación entre unidades. Si x está en grados, a continuación,

.

Esto significa que la segunda derivada de un seno en grados no satisface la ecuación diferencial

,

sino

;

segundo derivado de coseno comporta de manera similar.

Esto significa que estos senos y cosenos son diferentes funciones, y que el cuarto derivado de sine serán sinusoidal de nuevo sólo si el argumento es en radianes.

Identidades

Existen muchas identidades que se interrelacionan las funciones trigonométricas. Entre los más utilizados es la identidad de Pitágoras, que establece que para cualquier ángulo, la plaza del seno más el cuadrado del coseno es siempre 1. Esto es fácil de ver por el estudio de un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y aplicando el teorema de Pitágoras . En forma simbólica, la identidad de Pitágoras dice:

,

¿Qué es más comúnmente escrito con el exponente "dos" junto al símbolo de seno y el coseno:

.

En algunos casos los paréntesis interiores se pueden omitir.

Otras relaciones clave son las fórmulas de suma y diferencia, que dan el seno y el coseno de la suma y diferencia de dos ángulos en términos de senos y cosenos de los propios puntos de vista. Estos se pueden derivar geométricamente, usando argumentos que se remontan a Ptolomeo ; también se puede producir algebraicamente utilizando la fórmula de Euler.

Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma reducen a las ecuaciones simples conocidas como las fórmulas del ángulo doble.

Estas identidades también pueden utilizarse para derivar la identidades de producto a suma que se utilizaban en la antigüedad para transformar el producto de dos números en una suma de números y en gran medida acelerar las operaciones, al igual que la función logarítmica .

Cálculo

Por integrales y derivados de las funciones trigonométricas, consulte las secciones pertinentes de mesa de derivados, tabla de integrales, y lista de integrales de funciones trigonométricas. A continuación se muestra la lista de las derivadas e integrales de las seis funciones trigonométricas básicas.

Definiciones utilizando ecuaciones funcionales

En análisis matemático , se puede definir las funciones trigonométricas usando ecuaciones funcionales basados en las propiedades como las fórmulas de suma y diferencia. Tomando como dadas estas fórmulas y la identidad de Pitágoras, por ejemplo, se puede probar que sólo dos funciones reales cumplen esos requisitos. Simbólicamente, decimos que existe exactamente un par de funciones reales y tal que para todos los números reales x e y, las siguientes ecuaciones son válidas:

con la condición adicional de que

.

Otras derivaciones, a partir de otras ecuaciones funcionales, también son posibles, y tales derivaciones pueden extenderse a los números complejos. Como ejemplo, esta derivación puede ser utilizado para definir trigonometría en los campos de Galois.

Cálculo

El cálculo de las funciones trigonométricas es un tema complicado, que puede hoy ser evitado por la mayoría de la gente debido a la amplia disponibilidad de computadoras y calculadoras científicas que proporcionan funciones incorporadas trigonométricas de cualquier ángulo. En esta sección, sin embargo, se describen más detalles de su cómputo en tres contextos importantes: el uso histórico de tablas trigonométricas, las técnicas modernos utilizados por las computadoras, y unos ángulos "importantes" en las que se encuentran fácilmente los valores exactos simples. (A continuación, es suficiente con considerar una pequeña gama de ángulos, por ejemplo 0 a π / 2, ya que todos los otros ángulos pueden reducirse a este rango por la periodicidad y simetrías de las funciones trigonométricas.)

Antes de las computadoras, la gente normalmente evalúan funciones trigonométricas por interpolación a partir de una tabla detallada de sus valores, calculados a muchos personajes importantes. Estas tablas han estado disponibles durante tanto tiempo como funciones trigonométricas se han descrito (véase Historia arriba), y típicamente fueron generados por la aplicación repetida de la media de ángulo y el ángulo de adición identidades a partir de un valor conocido (como sin (π / 2) = 1).

Las computadoras modernas utilizan una variedad de técnicas. Un método común, especialmente en los procesadores de gama alta con unidades de punto flotante, es combinar un polinomio o racional aproximación (tales como Aproximación de Chebyshev, aproximación mejor uniforme, y Aproximación Padé, y típicamente para precisiones más altas o más variables, Taylor y Serie de Laurent) con reducción de rango y una búsqueda en la tabla - ven por primera vez hasta el ángulo más cercano en una pequeña mesa, y luego usar el polinomio para calcular la corrección. En los dispositivos más simples que carecen multiplicadores de hardware, hay un algoritmo llamado CORDIC (así como técnicas relacionadas) que es más eficiente, ya que utiliza sólo cambios y adiciones. Todos estos métodos se implementan comúnmente en hardware por razones de rendimiento.

Para los cálculos de muy alta precisión, cuando convergencia expansión de la serie se vuelve demasiado lento, funciones trigonométricas se pueden aproximar por el media aritmética geométrica, que a su vez se aproxima a la función trigonométrica por el ( complejo ) integral elíptica.

Finalmente, para algunos ángulos simples, los valores pueden ser fácilmente computado a mano usando el teorema de Pitágoras , como en los siguientes ejemplos. De hecho, el seno, coseno y la tangente de cualquier múltiplo entero de radianes (3 °) se pueden encontrar exactamente con la mano.

Considere un triángulo rectángulo donde los otros dos ángulos son iguales, y por lo tanto son ambos radianes (45 °). A continuación, la longitud del lado b y la longitud de la cara A son iguales; podemos elegir . Los valores de seno, coseno y tangente de un ángulo de radianes (45 °) a continuación, se pueden encontrar usando el teorema de Pitágoras:

.

Por lo tanto:

,

.

Para determinar las funciones trigonométricas para ángulos de π / 3 radianes (60 grados) y π / 6 radianes (30 grados), comenzamos con un triángulo equilátero de lado 1. Todos sus ángulos son π / 3 radianes (60 grados). Dividiéndola en dos, obtenemos un triángulo rectángulo con π / 6 radianes (30 grados) y π / 3 radianes (60 grados) ángulos. Para este triángulo, el lado más corto = 1/2, el siguiente secundarios más grande = (√3) / 2 y la hipotenusa = 1. Esto produce:

,

,

.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas, y por lo tanto no inyectiva, tan estrictamente que no tienen una función inversa . Por lo tanto para definir una función inversa debemos restringir sus dominios de modo que la función trigonométrica es biyectiva. A continuación, las funciones de la izquierda se definen por la ecuación a la derecha; estos no son identidades probadas. Los principales inversas suelen definirse como:

Para las funciones trigonométricas inversas, las notaciones pecan ^-1 y cos ^-1 se utilizan a menudo para arcsin y arccos, etc. Cuando se utiliza esta notación, las funciones inversas podrían confundirse con los inversos multiplicativos de las funciones. La notación utilizando el prefijo "de arco" evita tal confusión, aunque "segundos de arco" puede confundirse con " segundo de arco ".

Al igual que el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden definir en términos de serie infinita. Por ejemplo,

Estas funciones también pueden ser definidos por demostrando que son primitivas de otras funciones. El arcoseno, por ejemplo, se puede escribir como la siguiente integral:

Fórmulas análogos para las otras funciones se pueden encontrar en Función trigonométrica inversa. Usando el logaritmo complejo, se puede generalizar todas estas funciones a los argumentos complejos:

Propiedades y aplicaciones

Las funciones trigonométricas, como su nombre indica, son de importancia crucial en la trigonometría , principalmente a causa de los dos resultados.

Ley de los senos

La ley de los senos establece que para que una arbitraria triángulo de lados a, b, y c y ángulos opuestos esos lados A, B y C:

También conocido como:

donde R es el radio del triángulo de circunferencia circunscrita.

La Curva de Lissajous, una figura formada con una función basada en la trigonometría.

Se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectos y el uso de la definición anterior de seno. La ley de los senos es útil para el cálculo de las longitudes de los lados desconocidos en un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común ocurre en triangulación, una técnica para determinar las distancias desconocidos mediante la medición de dos ángulos y una distancia cerrado accesible.

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos (también conocido como la fórmula del coseno) es una extensión del teorema de Pitágoras :

También conocido como:

En esta fórmula el ángulo en C es opuesto al lado c. Este teorema se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectos y utilizando el teorema de Pitágoras .

La ley de los cosenos se utiliza sobre todo para determinar un lado de un triángulo si se conocen dos lados y un ángulo, aunque en algunos casos puede haber dos soluciones positivas como en el Caso ambiguo SSA. Y también se puede utilizar para encontrar el coseno de un ángulo (y por consiguiente el ángulo de sí mismo) si se conocen todos los lados.

Otras propiedades útiles

También hay una ley de las tangentes:

Funciones periódicas

Animación de la síntesis aditiva de un onda cuadrada con un número creciente de armónicos

Las funciones trigonométricas son también importantes en la física. Las funciones seno y el coseno, por ejemplo, se utilizan para describir la movimiento armónico simple, que los modelos de muchos fenómenos naturales, tales como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa que cuelga de una cuerda. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales de la movimiento circular uniforme.

Funciones trigonométricas también demuestran ser útiles en el estudio del General funciones periódicas. Estas funciones tienen los patrones de ondas características como gráficos, útiles para el modelado de fenómenos recurrentes como sonido o la luz olas . Cada señal puede ser escrita como una (típicamente infinito) suma de funciones seno y coseno de diferentes frecuencias; esta es la idea básica de Análisis de Fourier, donde se utilizan series trigonométricas para resolver una variedad de problemas de límites de valor en las ecuaciones en derivadas parciales. Por ejemplo, la onda cuadrada, se puede escribir como la Series de Fourier

.

En la animación de la derecha se puede ver que sólo unos pocos términos ya producen una aproximación bastante buena.