Estructura algebraica

En álgebra abstracta , una estructura algebraica consiste en uno o más conjuntos , llamado conjuntos o portadores o tipo subyacentes, cerrado bajo una o más operaciones, satisfaciendo algunas axiomas. Resumen álgebra es principalmente el estudio de las estructuras algebraicas y sus propiedades. La noción de algebraica estructura se ha formalizado en álgebra universal.

Como una abstracción, una "estructura algebraica" es la colección de todas las posibles modelos de un determinado conjunto de axiomas. Más concretamente, una estructura algebraica es un modelo particular de algún conjunto de axiomas. Por ejemplo, el grupo monstruo tanto "es" una estructura algebraica en el sentido concreto y abstracto, "tiene" la estructura del grupo en común con todos los demás grupos . En este artículo se emplea ambos sentidos de "estructura".

Esta definición de una estructura algebraica no debe tomarse como restrictivo. Cualquier cosa que satisface los axiomas que definen una estructura es una instancia de esa estructura, independientemente del número de otros axiomas esa instancia pasa a tener. Por ejemplo, todos los grupos son también semigrupos y magmas.

Estructuras cuyos axiomas son todas las identidades

Si los axiomas que definen una estructura son todos identidades, la estructura es una variedad (que no debe confundirse con variedad algebraica en el sentido de geometría algebraica). Las identidades son ecuaciones formuladas utilizando sólo las operaciones de la estructura permite, y variables que son tácitamente universalmente cuantificado sobre el relevante universo. Las identidades no contienen conectivas, existencialmente variables cuantificadas, o relaciones de ninguna otra índole que las operaciones permitidas. El estudio de las variedades es una parte importante de álgebra universal.

Todas las estructuras de esta sección son variedades. Algunas de estas estructuras son más naturalmente axiomatizada utilizando uno o más nonidentities, pero son sin embargo las variedades porque existe una axiomatización equivalente, uno tal vez menos perspicaz, compuesto únicamente de las identidades. Estructuras algebraicas que no son variedades se describen en el apartado siguiente, y difieren de variedades en su propiedades metamatemáticos.

En esta sección y la siguiente, las estructuras se enumeran en orden aproximado de complejidad creciente, operacionalizar la siguiente manera:

• Estructuras simples que requieren, pero un juego, el universo S, se enumeran antes de los compuestos que requieren dos conjuntos;
• Estructuras que tienen el mismo número de conjuntos requeridos se ordenan por el número de operaciones binarias (0 a 4) que requieren. Por cierto, hay una estructura mencionada en esta entrada requiere una operación cuyo aridad supera 2;
• Sean A y B son los dos conjuntos que conforman una estructura compuesta. A continuación, una estructura compuesta puede incluir 1 o 2 funciones de la forma A x A → B o A x B → A;
• Estructuras que tienen el mismo número y tipo de operaciones y funciones binarias son más o menos clasificadas por el número de requerido unario y 0-ary (elementos distinguidos) operaciones, de 0 a 2 en ambos casos.

La estructura sangría empleada en esta sección y la siguiente se pretende transmitir la información. Si la estructura B es bajo la estructura A y más sangría, entonces todos los teoremas de A son teoremas de la B; la contrario no se sostiene.

Ringoids y celosías se pueden distinguir con claridad a pesar de tanto tener dos definir operaciones binarias. En el caso de ringoids, las dos operaciones están unidos por la ley distributiva; en el caso de celosías, que están unidos por la la ley de absorción. Ringoids también tienden a tener numérica modelos, mientras celosías tienden a tener teóricos set- modelos.

Estructuras simples: Sin operación binaria:

• Ajuste : una estructura algebraica degenerado no tener operaciones.
• Conjunto en punta: S tiene una o más distinguidos elementos, a menudo 0, 1, o ambos.
• Sistema unario: S y una sola operación unaria sobre S.
• Sistema unitario señalado: un sistema unitario con S un conjunto puntiagudo.

Estructuras de grupos como:

Una operación binaria, denotado por concatenación. Para monoides, álgebras de límites y balandras, S es un conjunto puntiagudo.

• Magma o groupoid: S y una sola operación binaria sobre S.
  • Steiner magma: A conmutativa magma satisfacer x (xy) = y.
    • Squag: una idempotente Steiner magma.
    • Balandra: un magma Steiner con el distinguido elemento 1, de tal manera que xx = 1.
• Semigrupo: un asociativa magma.
  • Monoid: una semigrupo unital.
    • Grupo : un monoide con una operación unaria, inversa, dando lugar a una elemento inverso.
      • Grupo abeliano: un grupo conmutativo.
  • Banda: un semigrupo de idempotents.
    • Semirretículo: una banda conmutativa. La operación binaria puede ser llamado ya sea cumplir o unirse.
      • Álgebra de límites: un semirretículo unital (equivalentemente, un monoide conmutativo idempotente) con una operación singular, complementación, denota encerrando su argumento entre paréntesis, dando lugar a un elemento inverso que es el complemento de la elemento de identidad. Los elementos de identidad e inversas obligados S. También, x (xy) = x (y) sostiene.

Tres operaciones binarias. Cuasigrupos se enumeran aquí, a pesar de tener 3 operaciones binarias, porque son (no asociativa) magmas. Cuasigrupos cuentan con 3 operaciones binarias sólo porque se establece el cuasigrupo propiedad de cancelación por medio de identidades solo requiere dos operaciones binarias, además de la operación del grupo.

• Cuasigrupo: un magma cancellative. De manera equivalente, ∀ x, y ∈ S, ∃! A, b ∈ S, tal que xa = y y bx = y.
  • Loop: un cuasigrupo unital con una operación singular, inversa.
    • Moufang bucle: un bucle en el que una forma debilitada de la asociatividad, (zx) (yz) = z (xy) z, sostiene.
      • Grupo: un bucle asociativo.

Entramado: Dos o más operaciones binarias, entre ellos se encuentran y unirse, conectados por la ley de absorción. S es a la vez un conocer y unirse semirretículo, y es un conjunto en punta si y sólo si S es acotado. Rejas con frecuencia no presentan operaciones unarios. Cada declaración verdadera tiene una dual, obtenido mediante la sustitución de todas las instancias de encuentro con unirse, y viceversa.

• Bounded celosía: S cuenta con dos elementos distinguidos, los extremo inferior y el extremo superior. Dualizing requiere reemplazar todas las instancias de un salto por la otra, y viceversa.
  • Celosía Complementado: una celosía con una operación unaria, complementación, denotado por postfix "'", dando lugar a un elemento inverso. Ese elemento y su complemento obligados la red.
• Celosía modular: un entramado en el que la identidad modular sostiene.
  • Retículo distributivo: un entramado en el que cada una de conocer y unirse distribuye sobre el otro. Enrejados distributivos son modulares, pero lo contrario no se sostiene.
    • Kleene álgebra: un retículo distributivo acotado con una operación singular cuyas identidades son x estructuras de anillo "= x (x + y) '= x'y', y (x + x ') yy' = yy 'Ver." "por otra estructura que tiene el mismo nombre.
    • Álgebra de Boole: un retículo distributivo complementado. Cualquiera de cumplir o unirse puede definirse en términos de la otra y complementación.
      • Álgebra interior: un álgebra de Boole con una operación unaria adicional, el operador de interior, denotado por postfix "'" y que obedecen a las identidades x'x = x, x "= x, (xy)' = x'y 'y 1' = 1.
    • Álgebra de Heyting: un retículo distributivo acotado con una operación binaria añadido, relativa pseudo-complemento, denotado por infijo "'", y se rige por los axiomas x'x = 1, x (x'y) = xy, x' (yz) = (x'y) (x'z), (xy) 'z = (x 'z) (y'z).

Ringoids: Dos operaciones binarias, además y multiplicación , con la multiplicación distribuyendo más de adición. Semirings son conjuntos apuntados.

• Semiring: a Ringoid tales que S es un monoide debajo de cada operación. Cada operación tiene un elemento de identidad distinta. Además también conmuta, y tiene un elemento de identidad que aniquila la multiplicación.
  • Semiring conmutativa: semiring con la multiplicación conmutativa.
  • Anillo: a semiring con una operación unaria, aditivo inversa, dando lugar a un elemento -x inversa, que cuando se añade a x, se obtiene el elemento de identidad aditivo. De ahí que S es un grupo abeliano bajo la adición.
    • Rng: un anillo que carece de una identidad multiplicativa.
    • Anillo conmutativo : un anillo con la multiplicación conmutativa.
      • Anillo de Boole: un anillo conmutativo con la multiplicación idempotente, lo que equivale a un álgebra de Boole.
  • Kleene álgebra: semiring con adición idempotente y una operación singular, la Estrella de Kleene, denotado por postfix * y obedecer las identidades (1 + x * x) x * = x * y (1 + xx *) x * = x *. Consulte "estructuras de rejilla" para otra estructura que tiene el mismo nombre.

NB: La definición anterior de anillo no manda asentimiento universal. Algunas autoridades emplean "anillo" para denotar lo que aquí se llama un generador de números aleatorios, y se refieren a un anillo en el sentido anterior como un "anillo con identidad".

Módulos: Sistemas compuesto definido más de dos conjuntos, M y R: Los miembros de:

1. R son escalares, denotado por letras griegas R es un anillo en virtud de las operaciones binarias de adición y multiplicación escalar.;
2. M son elementos del módulo (a menudo, pero no necesariamente vectores ), denotados por las letras latinas. M es un grupo abeliano bajo la adición. Puede haber otras operaciones binarias.

La multiplicación escalar de escalares y elementos del módulo es una función de R x M → M que va y viene, los asociados (∀ r, s ∈ R, ∀ x ∈ M, r (sx) = (rs) x), tiene 1 como elemento de identidad, y distribuye más de módulo y además escalar. Si se define únicamente la multiplicación pre (post) de elementos de módulo por escalares, el resultado es un (a la derecha) módulo de la izquierda.

• Módulo gratuito: un módulo que tiene un país libre base, {e _1, ... e _n} ⊂ M, donde el entero positivo n es el dimensión del módulo libre. Por cada v ∈ M, existen κ _1, ..., _n κ ∈ R tal que v = κ ₁ e ₁ + ... + κ _{n e} s. Vamos a 0 y 0 ser los elementos de identidad respectivos para módulo y además escalar. Si r ₁ e ₁ + ... + r _{n e} s = 0, r ₁ = ... = r _n = 0.
  • Álgebra sobre un anillo (también R-álgebra): un módulo (gratis) en la que R es un anillo conmutativo . Hay una segunda operación binaria sobre M, llamado multiplicación y denotado por concatenación, que distribuye sobre la suma módulo y es bilineal: α (xy) = (α x) y = x (α y).
    • Anillo de Jordan: un álgebra sobre un anillo cuya multiplicación módulo desplazamientos, no se asocia, y respeta el Identidad Jordania.

Los espacios vectoriales , estrechamente relacionados con los módulos, se definen en la siguiente sección.

Estructuras con algunos axiomas que no son identidades

Las estructuras de esta sección no son variedades porque no pueden ser axiomatizada con identidades solos. Casi todos los nonidentities continuación son uno de dos tipos muy elementales:

1. El punto de partida para todas las estructuras de esta sección es un anillo de "trivial", es decir, uno de esos que S ≠ {0}, siendo 0 el aditivo elemento de identidad. Lo más cercano a una identidad que implica S ≠ {0} es la no-identidad 0 ≠ 1, el cual requiere que las identidades de aditivos y multiplicativos ser distintos.
2. Casi todas las estructuras descritas en esta sección incluyen identidades que tienen para todos los miembros de S excepto 0. Para que una estructura algebraica a ser una variedad, sus operaciones deberán ser definidos para todos los miembros de S; no puede haber operaciones parciales.

Estructuras cuyos axiomas inevitablemente incluir nonidentities se encuentran entre las más importantes de las matemáticas, por ejemplo, campos y espacios vectoriales . Además, gran parte de la física teórica se pueden refundir como modelos de álgebras multilineales. Aunque las estructuras con nonidentities conservan un sabor algebraica indudable, adolecen de defectos de variedades no tienen. Por ejemplo, ni el producto de existen dominios de integridad ni con espacio libre sobre cualquier conjunto.

Aritmética: Dos operaciones binarias, la suma y la multiplicación. S es un conjunto infinito. Aritmética se señalan los sistemas unitarios, cuyos operación unaria es inyectiva sucesor, y con el distinguido elemento 0.

• Aritmética Robinson. La suma y la multiplicación son definida recursivamente mediante sucesor. 0 es el elemento de identidad para la suma y la multiplicación aniquila. Robinson aritmética está aquí, aunque es una variedad, debido a su cercanía con la aritmética de Peano.
  • Aritmética de Peano. Aritmética Robinson con una axioma esquema de inducción. La mayoría de los axiomas de anillo y de campo que influyen en las propiedades de la suma y la multiplicación son teoremas de la aritmética de Peano o de extensiones adecuadas de los mismos.

Estructuras de campo como:. Dos operaciones binarias, de suma y multiplicación S es no trivial, es decir, S ≠ {0}.

• Dominio: un anillo cuyo único cero divisor es 0.
  • Dominio integral: un dominio cuya multiplicación desplazamientos. También un conmutativa anillo cancellative.
    • Dominio euclidiano: un dominio integral de una función f: S → N satisfacer la división de la propiedad restante.
• Anillo de división (o sfield, campo de inclinación): un anillo en el que cada miembro de S distinto de 0 tiene un inverso multiplicativo de dos caras. Los miembros distintos de cero de S forman un grupo bajo la multiplicación.
  • Campo: un anillo de división cuya multiplicación desplazamientos. Los miembros distintos de cero de S forman una grupo abeliano bajo multiplicación.
    • Campo pedido: un campo cuyos elementos son totalmente ordenado.
      • Campo real: una Dedekind completar campo ordenado.

Las siguientes estructuras no son variedades de razones, además de S ≠ {0}:

• Anillo simple: un anillo que no tiene ideales distintos de 0 y S.
  • Weyl álgebra:
• Anillo artiniano: un anillo cuyos ideales satisfacer la descendente condición de cadena.

Sistemas Compuestos: Espacios vectoriales y álgebras sobre campos. Dos conjuntos, M y R, y al menos tres operaciones binarias.

Los miembros de:

1. M son vectores, denotados por las letras minúsculas. M es al menos un grupo abeliano bajo la suma de vectores, con el miembro distinguido 0.
2. R son escalares, denotados por las letras griegas. R es un campo, casi siempre el verdadero o campo complejo , con 0 y 1 como miembros distinguidos.

Tres operaciones binarias.

• Espacio vectorial : un libre módulo de dimensión n, excepto que R es una campo.
  • Normado espacio vectorial: un espacio vectorial y con un norma, a saber, una función M → R que es positivo homogéneo, subaditiva, y definida positiva.
    • Espacio del producto interior (también espacio Vector): un espacio vectorial normado tal que R es el campo de bienes, cuya norma es la raíz cuadrada de la producto interno, M × M → R. Deje i, j, y n ser números enteros positivos tales que 1≤ i, j ≤ n. Entonces M tiene una base ortonormal tal que e _i • e _j = 1 si i = j y 0 en caso contrario; ver módulo libre arriba.
    • Espacio unitario: Se diferencia de los espacios interiores de productos en que R es el campo complejo, y el producto interior tiene un nombre diferente, el producto interno hermitiano, con diferentes propiedades: simétrica conjugada, bilineal, y definida positiva. Ver Birkhoff y Mac Lane (1979: 369).
  • Calificado espacio vectorial: un espacio vectorial de tal manera que los miembros del M tienen un descomposición suma directa. Ver graduada álgebra a continuación.

Cuatro operaciones binarias.

• Álgebra sobre un campo: Un álgebra sobre un anillo excepto que R es un campo en lugar de un anillo conmutativo.
  • Álgebra de Jordan: un anillo de Jordan, excepto que R es un campo.
  • Álgebra de Lie: una álgebra sobre un campo respetando el Identidad de Jacobi, cuyo vector de multiplicación, la Corchete de Lie denota [u, v], anticommutes, no asocia, y es nilpotente.
  • Álgebra asociativa: un álgebra sobre un campo, o una módulo, cuya multiplicación de vectores asociados.
    • Álgebra lineal : un asociativa álgebra unital con los miembros del M son matrices . Cada matriz tiene una dimensión n x m, n y m números enteros positivos. Si uno de n o m es 1, la matriz es un vector; si ambos son 1, es un escalar. La adición de matrices sólo se define si tienen las mismas dimensiones. La multiplicación de matrices , denotado por concatenación, es el vector de multiplicación. Deje que la matriz A sea n x m y la matriz B sean i x j. Entonces AB se define si y sólo si m = i; BA, si y sólo si j = n. También existe una matriz m m x I y J una matriz n n x tal que AI = JA = A. Si u y v son vectores que tienen las mismas dimensiones, que tienen un producto interno, denotado <u, v>. Por tanto, existe una base ortonormal; ver espacio con producto interno anteriormente. Hay una función unaria, el factor determinante , de la plaza (n x n para cualquier n) matrices a R.
    • Álgebra conmutativa: un álgebra asociativa cuya multiplicación del vector desplazamientos.
      • Álgebra simétrica: una álgebra conmutativa con unital vector multiplicación.

Sistemas Compuestos: Álgebras multilineales. Dos juegos, V y K cuatro operaciones binarias.:

1. Los miembros de V son multivectores (incluyendo los vectores), denotan con minúsculas letras latinas. V es un grupo abeliano bajo la adición multivectorial, y un monoide bajo producto externo. El producto exterior se conoce con diversos nombres, y es multilineal, en principio, pero por lo general bilineal. El producto exterior define los multivectores de forma recursiva a partir de los vectores. Así, los miembros de V tienen un "grado" (ver álgebra graduada abajo). Multivectores pueden tener un producto interno así, denota u • v: V × V → K, es simétrico , lineal y definida positiva; ver espacio con producto interno anteriormente.
2. Las propiedades y la notación de K son los mismos que los de R anteriormente, excepto que K puede tener -1 como miembro distinguido. K es generalmente el campo de bienes, como álgebra de multilineales están diseñados para describir los fenómenos físico sin números complejos .
3. La multiplicación de escalares y multivectores, V × K → V, tiene las mismas propiedades que la multiplicación de los escalares y los elementos de módulo que es parte de un módulo.

• Álgebra graduada: un álgebra asociativa con el producto exterior unital. Los miembros de V tienen una descomposición suma directa y se produce su tener un "grado", con vectores que tienen grado 1. Si u y v tienen grado i y j, respectivamente, el producto exterior de u y v es de grado i + j. V también tiene un miembro distinguido 0 para cada posible grado. De ahí que todos los miembros de V que tienen el mismo grado forman un grupo abeliano bajo la adición.
  • Exterior álgebra (también Grassmann álgebra): un álgebra graduada cuya producto externo anticonmutativo, denotado por infija ∧, se denomina exterior del producto. V tiene una base ortonormal. v ₁ v ₂ ∧ ∧ ... ∧ v _k = 0 si y sólo si v _1, ..., v _k son linealmente dependientes. Multivectores también tienen un producto interno.
    • Clifford álgebra: un álgebra exterior con un simétrico forma bilineal Q: V × V → K. El caso especial de Q = 0 se obtiene un álgebra exterior. El producto exterior se escribe <u, v>. Por lo general, <e _i, e _i> = -1 (por lo general) o 1 (en caso contrario).
    • Álgebra geométrica: un álgebra exterior cuyo exterior (llamado geométrica) producto se denota por concatenación. El producto geométrica de multivectores trayectos paralelos, el de vectores ortogonales anticommutes. El producto de un escalar con A conmuta multivectoriales. Vv produce un escalar.
      • Grassmann-Cayley álgebra: un álgebra geométrica sin un producto interno.

Ejemplos

Algunos universos recurrentes: N = números naturales ; Z = enteros ; Q = números racionales ; R = números reales ; C = números complejos .

N es un sistema unitario en punta, y debajo de la suma y la multiplicación, es a la vez la interpretación estándar de Aritmética de Peano y conmutativa semiring.

Álgebras booleanas son a la vez semigrupos, celosías, y anillos. Incluso podría ser grupos abelianos si los elementos de identidad e inversas eran idénticos en lugar de complementos.

Estructuras de grupo como

• Nonzero N bajo adición (+) es un magma.
• N bajo la adición es un magma con una identidad.
• Z bajo la resta (-) es un cuasigrupo.
• Q Nonzero bajo división (÷) es un cuasigrupo.
• Cada grupo es un bucle, porque a * x = b si y sólo si x = a * ^-1 b, e Y * a = b si y sólo si y = b * a ^-1.
• 2x2 matrices (de determinante distinto de cero) con la multiplicación de matrices forman un grupo.
• Z bajo la suma (+) es un grupo abeliano.
• Q Nonzero bajo multiplicación (×) es un grupo abeliano.
• Cada grupo cíclico G es abeliano, porque si x, y están en G, entonces xy = a ^{n m} a = a a ^{n + m + n} = ^m = a ⁿ a ^m = yx. En particular, Z es un grupo abeliano bajo la adición, tal como se los enteros módulo n Z / Z n.
• La monoide es un categoría con un solo objeto, en cuyo caso la composición de morfismos y la morfismo identidad interpretar multiplicación monoide y elemento de identidad, respectivamente.
• La Álgebra de Boole 2 es un álgebra de límites.
• Más ejemplos de grupos y lista de grupos pequeños.

Rejas

• La subgrupos normales de un grupo, y el submódulos de un módulo, son celosías modulares.
• Cualquier campo de juegos, y la conectivos de la lógica de primer orden , son modelos de álgebra de Boole.
• Los conectores de lógica intuicionista formar un modelo de Álgebra de Heyting.
• La lógica modal S4 es un modelo de interior álgebra.
• Aritmética de Peano y más teorías axiomática de conjuntos , incluyendo ZFC, NBG, y Nuevas fundaciones, pueden proceder a la refundición como modelos de álgebra relación.

Estructuras en forma de anillo

• El conjunto R [X] de todos los polinomios sobre un poco de anillo coeficiente R es un anillo.
• Matrices 2x2 con la suma de matrices y multiplicación forman un anillo.
• Si n es un entero positivo, entonces el conjunto Z _n = Z / n Z de los enteros módulo n (el grupo cíclico aditivo de orden n) forma un anillo que tiene n elementos (véase la aritmética modular).
• Conjuntos de números hipercomplejos fueron los primeros prototipos de estructuras algebraicas ahora llamados anillos.

Dominios Integral

• Z bajo la suma y la multiplicación es un dominio de integridad.
• La enteros p-adic.

Campos

• Cada uno de Q, R y C, bajo la adición y multiplicación, es un campo.
• R totalmente ordenado por "<" en la forma habitual es una campo ordenado y es categórica. Los motivos reales de campo resultantes real y análisis funcional.
  • R contiene varios subcampos interesantes, la algebraica, el computable, y la números definibles.
• Una campo de números algebraicos es un finito extensión campo de Q, es decir, un campo que contiene Q que tiene dimensión finita como un espacio vectorial sobre Q. Campos de números algebraicos son muy importantes en la teoría de números .
• Si q> 1 es una potencia de un número primo , entonces existe ( hasta isomorfismo) exactamente un campo finito con elementos q, _q denota generalmente F, o en el caso de que q es en sí misma prime, por Z / Z q. Tales campos se denominan Campos de Galois, de donde el GF notación alternativa (q). Todos los campos son finitos isomorfo a algún campo de Galois.
  • Dado un número primo p, el conjunto Z = Z _p / p Z de los enteros módulo p es el campo finito con p elementos: F _p = {0, 1, ..., p - 1} donde las operaciones se definen mediante la realización de la operación en Z, dividiendo por p y tomando el resto; ver la aritmética modular.

Permitir estructura adicional

Estructuras algebraicas también se pueden definir en conjuntos con estructura adicional de carácter no algebraica, como una topología . La estructura añadida debe ser compatible, en cierto sentido, con la estructura algebraica.

• Grupo Ordenado: un grupo con una compatible orden parcial. Es decir, S está parcialmente ordenado.
• Grupo linealmente ordenado: un grupo cuyo S es una orden lineal.
• Grupo de Arquímedes: un grupo linealmente ordenado para que la Axioma de Arquímedes sostiene.
• Grupo de Lie: un grupo cuyo S tiene un suave compatible colector estructura.
• Grupo topológico: un grupo cuyo S tiene una topología compatible.
• Topológica espacio vectorial: un espacio vectorial cuya M tiene una topología compatible; un superconjunto de espacios vectoriales normados.
• Espacios de Banach, Espacios de Hilbert, Espacios de producto interior
• Vertex álgebras de operadores

Teoría de la categoría

La discusión anterior se ha echado en términos de primaria abstracto y álgebra universal. Teoría de la categoría es otra manera de razonar acerca de las estructuras algebraicas (véase, por ejemplo, Mac Lane, 1998). Una categoría es una colección de objetos con morfismos asociados. Cada estructura algebraica tiene su propia noción de homomorfismo, es decir, cualquier función compatible con la operación (s) que define la estructura. De esta manera, cada estructura algebraica da lugar a una categoría. Por ejemplo, el categoría de los grupos tiene todos los grupos como objetos y todo grupo homomorfismos como morfismos. Este Categoría de hormigón puede ser vista como una categoría de conjuntos con agregado categoría teórico- estructura. Del mismo modo, la categoría de grupos topológicos (cuyos morfismos son los homomorfismos de grupos continuos) es un categoría de espacios topológicos con estructura adicional. La funtor de olvido entre las categorías de estructuras algebraicas "olvida" una parte de una estructura.

Hay varios conceptos en la teoría de categorías que tratan de capturar el carácter algebraico de un contexto, por ejemplo,

• algebraico
• esencialmente algebraico
• presentable
• localmente presentable
• funtores monádicos y categorías
• propiedad universal.