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Energía cinética

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Los vagones de un montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando en la parte inferior de su camino. Cuando empiezan a subir, la energía cinética comienza a ser convertida en energía potencial gravitatoria, pero la cantidad total de energía en el sistema permanece constante; suponiendo despreciable fricción y otra factores de conversión de energía.

La energía cinética de un objeto es el extra de energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo a su velocidad actual. Una vez conseguida esta energía durante su aceleración , el cuerpo mantiene esta energía cinética a menos que sus cambios de velocidad. Trabajo negativo de la misma magnitud sería necesaria para devolver el cuerpo a un estado de descanso de que la velocidad.

Etimología

Buscar cinética en Wikcionario, el diccionario libre.

El adjetivo "cinética" al sustantivo energía tiene sus raíces en el griego palabra "movimiento" ( kinesis). Los términos de energía cinética y trabajo y sus significados científicos actuales se remontan a mediados del siglo 19. Los primeros entendimientos de estas ideas se pueden atribuir a Gaspard Coriolis que en 1829 publicó el artículo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines esbozando las matemáticas de la energía cinética.

William Thomson , Lord Kelvin más tarde, se le da el crédito de haber acuñado el término cinético de energía c. 1849.

Introducción

Hay varias formas de energía: energía química, calor , radiación electromagnética , energía potencial (gravitatoria, eléctrica, elástica, etc.), energía nuclear, energía en reposo. Estos se pueden clasificar en dos clases principales: energía potencial y la energía cinética.

La energía cinética puede entenderse mejor con ejemplos que demuestran cómo se transforma de otras formas de energía y de las otras formas. Por ejemplo, un ciclista usará energía química que fue proporcionado por la comida para acelerar una bicicleta a una velocidad elegida. Esta velocidad se puede mantener sin más trabajo, excepto para superar la resistencia del aire y la fricción. La energía se ha convertido en la energía del movimiento, conocido como energía cinética pero el proceso no es completamente eficiente y el calor también se produce dentro del ciclista.

La energía cinética en el movimiento de la bicicleta y la ciclista se puede convertir en otras formas. Por ejemplo, el ciclista podría encontrar una colina justo lo suficientemente alto para la costa, por lo que la bicicleta viene a un alto completo en la parte superior. La energía cinética se ha en gran parte ahora convertida en energía potencial gravitatoria que puede ser liberada por marcha libre por el otro lado de la colina. (Desde la bicicleta pierde parte de su energía a la fricción, nunca recuperará la totalidad de su velocidad de pedaleo sin más. Tenga en cuenta que la energía no se pierde, ya que sólo ha sido convertida a otra forma por la fricción.) Alternativamente, el ciclista podría conectar una dínamo a una de las ruedas y también generar un poco de energía eléctrica en el descenso. La bicicleta estaría viajando más lentamente en la parte inferior de la colina, porque parte de la energía se ha desviado en la fabricación de energía eléctrica. Otra posibilidad sería que el ciclista para aplicar los frenos, en cuyo caso la energía cinética se disipa a través de la fricción en forma de energía de calor.

Como cualquier cantidad física que es una función de la velocidad, la energía cinética de un objeto no depende sólo de la naturaleza interior de ese objeto. También depende de la relación entre ese objeto y el observador (en la física de un observador se define formalmente por una clase particular de sistema de coordenadas llamado marco de referencia inercial). Las cantidades físicas como este se dice que no invariante. La energía cinética es co-ubicada con el objeto y contribuye a su campo gravitacional.

Cálculos

Hay varias ecuaciones diferentes que pueden utilizarse para calcular la energía cinética de un objeto. En muchos casos se dan casi la misma respuesta a bien dentro de la precisión medible. En lo que difieren, la elección de cuál utilizar se determina por la velocidad del cuerpo o su tamaño. Así, si el objeto se está moviendo a una velocidad mucho menor que la velocidad de la luz, los mecánica de Newton (clásico) serán suficientemente precisa; pero si la velocidad es comparable a la velocidad de la luz, la relatividad empieza a hacer diferencias significativas en el resultado y se debe utilizar. Si el tamaño del objeto es sub-atómico, la mecánica cuántica ecuación es más apropiado.

La energía cinética newtoniana

La energía cinética de los cuerpos rígidos

En la mecánica clásica , la energía cinética de un "objeto de punto" (un cuerpo tan pequeño que su tamaño puede ser ignorada), o de un no giratorio cuerpo rígido, está dada por la ecuación E_k = \ begin {matriz} \ frac {1} {2} \ end {matriz} mv ^ 2 donde m es la masa y v es la velocidad del cuerpo.

Por ejemplo - se podría calcular la energía cinética de un 80 kg de masa que viaja a 18 metros por segundo (40 mph) como \ Begin {matriz} \ frac {1} {2} \ end {matriz} \ cdot 80 \ cdot 18 ^ 2 = 12,960 \ \ mathrm {julios} .

Tenga en cuenta que la energía cinética aumenta con el cuadrado de la velocidad. Esto significa, por ejemplo, que si se viaja dos veces más rápido, tendrá cuatro veces más energía cinética. Como resultado de esto, un coche que viaja dos veces más rápido requiere cuatro veces más distancia para parar (suponiendo una fuerza de frenado constante. Ver trabajo mecánico ).

Por lo tanto, la energía cinética se puede calcular utilizando la fórmula:

E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2

donde:

E k es la energía cinética en julios
m es la masa en kilogramos, y
v es la velocidad en metros por segundo.

Para la energía cinética de traslación de un cuerpo con constante de masa m, cuyo centro de masa se mueve en una línea recta con velocidad v, como se ha visto anteriormente, es igual a

E_t = \ begin {matriz} \ frac {1} {2} \ end {matriz} mv ^ 2

donde:

m es la masa del cuerpo
v es la velocidad del centro de masa del cuerpo.

Por lo tanto la energía cinética es una medida relativa y ningún objeto puede decirse que tiene una energía cinética única. Un motor de cohete podría ser visto para transferir su energía a la nave espacial o de la corriente de escape dependiendo de la trama de referencia elegido. Pero la energía total del sistema, es decir, la energía cinética, energía química del combustible, la energía térmica etc, se conserva independientemente de la opción del bastidor de medición.

La energía cinética de un objeto está relacionada con su impulso por la ecuación:

E_k = \ frac {p ^ 2} {2m}

Derivación y definición

El trabajo realizado acelerar una partícula infinitesimal durante el intervalo de tiempo dt es dada por el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento:

\ Mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ vec {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v})

La aplicación de la regla del producto, vemos que:

d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 ( \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v})

Por lo tanto (suponiendo una masa constante), la siguiente se puede ver:

\ Mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ frac {m} {2} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = \ frac {m} {2} dv ^ 2 = d \ left (\ frac {mv ^ 2} {2} \ right)

Como se trata de un diferencial total (es decir, que sólo depende del estado final, no cómo la partícula llegó allí), podemos integrar y llamar al resultado energía cinética:

E_k = \ int \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ frac {mv ^ 2} {2}

Esta ecuación establece que la energía cinética (E k) es igual a la integral de la dot producto de la velocidad (v) de un cuerpo y la cambio infinitesimal del cuerpo de impulso (p). Se supone que el cuerpo comienza sin energía cinética cuando está en reposo (inmóvil).

La energía cinética de los sistemas

Para un solo punto, o un cuerpo rígido que no está girando, la energía cinética va a cero cuando el cuerpo se detiene.

Sin embargo, para los sistemas que contienen varios cuerpos que se mueven de forma independiente, lo que puede ejercen fuerzas entre sí, y pueden (o no) ser giratoria; esto ya no es cierto.

Esta energía se llama "energía interna".

La energía cinética del sistema en cualquier instante en el tiempo es simplemente la suma de las energías cinéticas de la masas- incluyendo la energía cinética debido a las rotaciones.

Un ejemplo sería el sistema solar. En el centro del cuadro masa del sistema solar, el Sol es (casi) estacionaria, pero los planetas y planetoides están en movimiento respecto. Así, incluso en un estacionaria el centro del marco de masa, todavía hay energía cinética presente.

Sin embargo, volver a calcular la energía de los diferentes marcos sería tedioso, pero hay un truco. La energía cinética del sistema de un sistema inercial diferente puede calcularse simplemente a partir de la suma de la energía cinética en el centro del marco de la masa y la adición de la energía que la masa total de los cuerpos en el centro del marco de la masa tendría si fuera moviéndose a la velocidad relativa entre los dos marcos.

Esto puede ser simplemente muestra: sea V la velocidad relativa de la trama k desde el centro del marco de la masa i:

E_k = \ int \ frac {v_k ^ 2 dm} {2} = \ int \ frac {(v_i + V) ^ 2 dm} {2} = \ int \ frac {(v_i ^ 2 + 2 v_i V + V ^ 2) dm} {2} = \ int \ frac {v_i ^ 2 dm} {2} + V \ int v_i dm + \ frac {V ^ 2} {2} \ int dm

Sin embargo, por no \ Int \ frac {v_i ^ 2 dm} {2} = E_i la energía cinética en el centro del marco de la masa, \ Int v_i dm sería simplemente el impulso total que es, por definición, cero en el centro del cuadro de masas, y dejar que la masa total: \ Int dm = M . Sustituyendo, obtenemos:

E_k = E_i + \ frac {M V ^ 2} {2}

La energía cinética de un sistema depende por lo tanto en el sistema de referencia inercial y es más bajo con respecto al centro de masa marco de referencia, es decir, en un marco de referencia en el que el centro de masa es estacionaria. En cualquier otro marco de referencia hay una energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masa.

Los cuerpos en rotación

Si un cuerpo rígido está girando alrededor de cualquier línea a través del centro de masa, entonces tiene la energía cinética de rotación ( E_r ), Que es simplemente la suma de las energías cinéticas de sus partes móviles, por lo que es igual a:

E_r = \ int \ frac {v ^ 2 dm} {2} = \ int \ frac {(r \ omega) ^ 2 dm} {2} = \ frac {\ omega ^ 2} {2} \ int {r ^ 2} dm = \ frac {\ omega ^ 2} {2} I = \ begin {matriz} \ frac {1} {2} \ end {matriz} I \ omega ^ 2

donde:

ω es el cuerpo de la velocidad angular .
r es la distancia de cualquier masa dm de esa línea
I es el cuerpo de momento de inercia = \ Int {r ^ 2} dm

(En esta ecuación el momento de inercia se debe tomar alrededor de un eje a través del centro de masa y la rotación medido por ω debe ser alrededor de ese eje; existen ecuaciones más generales para sistemas en los que el objeto está sujeto a tambalearse debido a su forma excéntrica) .

La rotación en los sistemas

A veces es conveniente dividir la energía cinética total de un cuerpo en la suma de centro de masa de la energía cinética de traslación del cuerpo y la energía de rotación alrededor del centro de masa energía de rotación:

E_k = E_t + E_r \,

donde:

E k es la energía cinética total
E t es la energía cinética de traslación
E r es la energía de rotación o la energía cinética angular en el marco de reposo

Así, la energía cinética de una pelota de tenis en vuelo es la energía cinética debido a su rotación, además de la energía cinética debido a su traducción.

Energía cinética relativista de cuerpos rígidos

En la relatividad especial , tenemos que cambiar la expresión de la cantidad de movimiento. Integrando por partes, obtenemos:

E_k = \ int \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ int \ mathbf {v} \ cdot d (m \ gamma \ mathbf {v}) = m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} - \ int m \ gamma \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v} = m \ gamma v ^ 2 - \ {m} frac {2} \ int \ gamma d (v ^ 2)

Recordando que \ Gamma = (1 - v ^ 2 / c ^ 2) ^ {- 1/2} \! , Obtenemos:

E_k = m \ gamma v ^ 2 - \ frac {- mc ^ 2} {2} \ int \ gamma d (1 - v ^ 2 / c ^ 2) = m \ gamma v ^ 2 + mc ^ 2 (1 - v ^ 2 / c ^ 2) ^ {1/2} + C

Y por lo tanto:

E_k = m \ gamma (v ^ 2 + c ^ 2 (1 - v ^ 2 / c ^ 2)) + C = m \ gamma (v ^ 2 + c ^ 2 - v ^ 2) + C = m \ gamma c ^ 2 + C \!

La constante de integración se encuentra mediante la observación de que \ Gamma = 1 \! cuando \ Mathbf {v} = 0 , Por lo que tenemos la fórmula habitual:

E_k = m \ gamma c ^ 2 - mc ^ 2 = \ frac {mc ^ 2} {\ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2}} - mc ^ 2

Si la velocidad de un cuerpo es una fracción significativa de la velocidad de la luz , es necesario el uso de la mecánica relativista (la teoría de la relatividad como expuesta por Albert Einstein ) para calcular su energía cinética.

Para un objeto relativista del momento p es igual a:

p = \ frac {m v} {\ sqrt {1 - (v / c) ^ 2}} ,

donde m es el masa en reposo, v es la velocidad del objeto, y c es la velocidad de la luz en el vacío.

Así, el trabajo gastado acelerar un objeto desde el reposo hasta una velocidad relativista es:

E_k = \ frac {m c ^ 2} {\ sqrt {1 - (v / c) ^ 2}} - m c ^ 2 .

La ecuación muestra que la energía de un objeto se aproxima a infinito cuando la velocidad v se aproxima a la velocidad de la luz c, por lo que es imposible para acelerar un objeto a través de este límite.

La matemática subproducto de este cálculo es la fórmula de la equivalencia masa-energía del cuerpo en reposo debe tener contenido de energía igual a:

E_ \ mbox {} resto = m c ^ 2 \!

A una velocidad baja (v < aproximación binomial. De hecho, teniendo expansión de Taylor de raíz cuadrada y mantener dos primeros términos se obtiene:

Mc E_k \ aprox ^ 2 \ left (1 + \ frac {1} {2} v ^ 2 / c ^ 2 \ right) - mc ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 ,

Por lo tanto, la energía total E se puede dividir en la energía de la masa en reposo más la energía cinética newtoniana tradicional a bajas velocidades.

Cuando los objetos se mueven a una velocidad mucho más lenta que la luz (por ejemplo, en los fenómenos cotidianos en la Tierra), los dos primeros términos de la serie predominan. El siguiente término en la aproximación es pequeño para bajas velocidades, y se puede encontrar mediante la extensión de la expansión en serie de Taylor por un término más:

E \ aprox mc ^ 2 \ left (1 + \ frac {1} {2} v ^ 2 / c ^ 2 + \ frac {3} {8} v ^ 4 / c ^ 4 \ right) = mc ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 + \ frac {3} {8} mv ^ 4 / c ^ 2 .

Por ejemplo, para una velocidad de 10 km / s la corrección a la energía cinética newtoniana es de 0,07 J / kg (en una energía cinética newtoniana de 50 MJ / kg) y para una velocidad de 100 km / s es 710 J / kg (en una energía cinética newtoniana de 5 GJ / kg), etc.

Para velocidades más altas, la fórmula para la energía cinética relativista se deriva restando simplemente la energía de la masa en reposo de la energía total:

E_k = m \ gamma c ^ 2 - mc ^ 2 = mc ^ 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {1 - (v / c) ^ 2}} - 1 \ right) .

La relación entre la energía cinética y el impulso es más complicado en este caso, y está dada por la ecuación:

E_k = \ sqrt {p ^ 2 c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4} - m c ^ 2 .

Esto también se puede ampliar como una serie de Taylor , el primer término de las cuales es la simple expresión de la mecánica newtoniana.

Lo que esto sugiere es que las fórmulas para la energía y el impulso no son especiales y axiomático, sino más bien los conceptos que emergen de la ecuación de la masa con la energía y los principios de la relatividad.

Quantum energía cinética mecánica de cuerpos rígidos

En el ámbito de la la mecánica cuántica, el valor esperado de la energía cinética del electrón, \ Langle \ hat {T} \ rangle , Para un sistema de electrones descrito por el función de onda \ Vert \ psi \ rangle es una suma de valores esperados operador 1-electrón:

\ Langle \ hat {T} \ rangle = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2} m_e \ Bigg \ langle \ psi \ Bigg \ vert \ sum_ {i = 1} ^ N \ nabla ^ 2_i \ Bigg \ vert \ psi \ Bigg \ rangle

donde m_e es la masa del electrón y \ Nabla ^ 2_i es el Laplaciano actuación del operador sobre las coordenadas de la i-ésima de electrones y la suma corre sobre todos los electrones. Tenga en cuenta que esta es la versión cuantificada de la expresión no relativista de la energía cinética en términos de impulso:

E_k = \ frac {p ^ 2} {2m}

La formalismo funcional de la densidad de la mecánica cuántica requiere el conocimiento de la densidad electrónica única, es decir, que formalmente no requiere el conocimiento de la función de onda. Dada una densidad de electrones \ Rho (\ mathbf {r}) , La exacta N-electrón de energía cinética funcional es desconocida; sin embargo, para el caso específico de un sistema de 1-electrón, la energía cinética se puede escribir como

T [\ rho] = \ frac {1} {8} \ int \ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})} d ^ 3r

donde T [\ rho] que se conoce como la energía cinética Von Weizsacker funcional.

Algunos ejemplos

Uso de la nave espacial de la energía química para despegar y ganar una considerable energía cinética para llegar velocidad orbital. Esta energía cinética adquirida durante el lanzamiento permanecerá constante mientras que en órbita porque casi no hay fricción. Sin embargo se hace evidente en la re-entrada cuando la energía cinética se convierte en calor.

La energía cinética se puede pasar de un objeto a otro. En el juego de billares, el jugador da energía cinética a la bola blanca al golpear con el taco. Si la bola blanca choca con otra pelota, que se ralentizará drásticamente y la pelota chocó con acelerará a una velocidad que la energía cinética se pasa a ella. Las colisiones en el billar son efectivamente colisiones elásticas, donde se conserva la energía cinética.

Volantes se están desarrollando como un método de almacenamiento de energía (ver artículo volante de almacenamiento de energía). Esto ilustra que la energía cinética también puede ser de rotación. Note la fórmula en los artículos sobre los volantes para el cálculo de la energía cinética de rotación es diferente, aunque análoga.

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