Número primo

Juegos basados en la divisibilidad de números enteros Visión de conjunto Factorización de enteros Divisor Divisor unitario Función divisor Factor primordial Teorema fundamental de la aritmética Formas de factorización Número primo Número compuesto Número semiprimo Número PRONIC Número esfénico Número-Cuadrado libre Número Potente Poder perfecto Número de Aquiles Número liso Número Regular Número Rough Número inusual Sumas divisor restringidos Número perfecto Número casi perfecto Número cuasiperfecto Número perfecto Multiplicar Número Hemiperfect Número Hyperperfect Número superperfectos Número perfecto Unitaria Número semiperfecto Número práctico Con muchos divisores Número Abundante Abundante número Primitiva Muy abundante número Número sobreabundante Colosalmente abundante número Número altamente compuesto Número altamente compuesto Superior Número Weird Relacionado con secuencias alícuotas Número Intocable Número amistosa Número Sociable Número Prometida Otros juegos Número defectivo Número friendly Número Solitary Número sublime Número divisor Armónica Número Frugal Número Equidigital Número Extravagante

En las matemáticas , un número primo (o un primer) es un número natural (más de una), que tiene exactamente dos distintos números naturales divisores : 1 y en sí. Existe una infinidad de números primos, como se demuestra por Euclides alrededor 300 antes de Cristo. Los primeros treinta números primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113
(Secuencia A000040 en OEIS )

Vea el lista de números primos para una lista más larga. El número uno es, por definición, no es un número primo; véase la discusión más adelante bajo Primality de uno .

La propiedad de ser un número primo se llama primalidad, y la palabra prime también se utiliza como adjetivo. Desde dos es la única incluso número primo, el término primo impar se refiere a cualquier número primo mayor que dos.

El estudio de los números primos es parte de la teoría de números , la rama de las matemáticas que abarca el estudio de los números naturales. Los números primos han sido objeto de una intensa investigación, sin embargo, algunas cuestiones fundamentales, tales como la Hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach , han sido sin resolver durante más de un siglo. El problema de la modelización de la distribución de los números primos es un tema popular de investigación de teoría de números: cuando se mira en números individuales, los primos parecen estar distribuidos al azar, pero la distribución "global" de primos sigue leyes bien definidas.

La noción de número primo se ha generalizado en muchas ramas diferentes de las matemáticas.

• En la teoría de anillos, una rama del álgebra abstracta , el término "elemento principal" tiene un significado específico. Aquí, un no-cero, no la unidad de elemento de anillo A se define para ser primo si cada vez que se divide una bc para elementos del anillo B y C, a continuación, una brecha al menos uno de b o c. Con este sentido, el inverso aditivo de cualquier número primo también es primo. En otras palabras, cuando se considera el conjunto de los números enteros como anillo, -7 es un elemento primordial. Sin más especificaciones, sin embargo, "número primo" siempre significa un primer número entero positivo. Entre los anillos de complejo enteros algebraicos, Eisenstein ceba, y Primos gaussianos también pueden ser de interés.
• En la teoría de nudos , una nudo principal es una nudo que no se puede escribir como la suma de dos nudo menor nudos no triviales.

Historia de los números primos

La Criba de Eratóstenes es un simple, antiguo algoritmo para encontrar todos los números primos hasta un número entero especificado. Es el predecesor de la moderna Criba de Atkin, que es más rápido, pero más complejo. El Tamiz epónimo de Eratóstenes fue creado en el Siglo tercero antes de Cristo por Eratóstenes, un griego antiguo matemático .

Hay indicios en los registros supervivientes de los antiguos egipcios que tenían algún conocimiento de los números primos: el Desarrollo en fracciones egipcias en la Papiro Rhind, por ejemplo, tienen formas muy diferentes de los números primos y para materiales compuestos. Sin embargo, los registros más antiguos que sobreviven del estudio explícito de los números primos vienen de los antiguos griegos . Elementos de Euclides (circa 300 aC) contiene teoremas importantes sobre los números primos, incluyendo la infinitud de los números primos y el teorema fundamental de la aritmética . Euclides también mostró cómo construir un número perfecto de un Primo de Mersenne. La Criba de Eratóstenes, atribuye a Eratóstenes, es un método simple para calcular números primos, aunque los números primos grandes que se encuentran hoy en día con los ordenadores no se generan de esta manera.

Después de los griegos, no se hicieron con el estudio de los números primos hasta el siglo 17. En 1640 Pierre de Fermat afirmó (sin pruebas) Pequeño teorema de Fermat (más tarde resultó por Leibniz y Euler ). Un caso especial del teorema de Fermat se pudo haber conocido mucho antes por los chinos. Fermat conjeturó que todos los números de la forma 2 ^{2 n} + 1 son primos (se les llama Fermat números) y se verificaron esta hasta n = 4. Sin embargo, el siguiente número de Fermat 2 ³² 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como Euler descubrió más tarde, y de hecho no más números de Fermat se conocen ser primer. El monje francés Marin Mersenne miró primos de la forma 2 ^p - 1, con p primo. Se les llama Primos de Mersenne en su honor.

El trabajo de Euler en teoría de los números incluidos muchos resultados sobre los números primos. Mostró la serie infinita _^1/2 + _^1/3 + _^1/5 + _^1/7 + _^1/11 + ... es divergente. En 1747 demostró que los números perfectos incluso son precisamente los enteros de la forma 2 ^{p -1} (2 ^p -1) donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, pero todavía no hay prueba.

Al comienzo del siglo 19, Legendre y Gauss independientemente conjeturado que cuando x tiende a infinito, el número de números primos hasta x es asintótica a x / log (x), donde log (x) es el logaritmo natural de x. Las ideas de Riemann en su documento 1859 sobre la función zeta esbozaron un programa que daría lugar a una prueba del teorema del número primo. Este esquema fue completado por Hadamard y de la Vallée Poussin, que de forma independiente demostró el teorema del número primo en 1896.

Demostrando un número es primo no se hace (para grandes números) por la división de juicio. Muchos matemáticos han trabajado en pruebas de primalidad para grandes números, a menudo restringidas a las formas numéricas específicas. Esto incluye Test de Pépin de números de Fermat (1877), El teorema de Proth (alrededor de 1878), la Prueba de Lucas-Lehmer para los números de Mersenne (originada 1856), y la generalizada Prueba de Lucas-Lehmer. Más algoritmos recientes como APRT-CL, ECPP y AKS trabajan con números arbitrarios, pero siguen siendo mucho más lento.

Durante mucho tiempo, los números primos fueron pensados como que no fuera posible aplicación de matemáticas puras; esto cambió en la década de 1970 cuando los conceptos de criptografía de clave pública se inventaron, en la que los números primos formaron la base de los primeros algoritmos como el Algoritmo criptográfico RSA.

Desde 1951 todo el mayores números primos conocidos han sido encontrados por los ordenadores . La búsqueda de números primos cada vez más grandes ha generado interés fuera de los círculos matemáticos. La Great Internet Mersenne Prime Search y otros proyectos de computación distribuida para encontrar números primos grandes se han hecho populares en los últimos diez a quince años, mientras que los matemáticos continúan luchando con la teoría de los números primos.

Primality de uno

Hasta el siglo 19, la mayoría de los matemáticos consideran el número 1 a un primer, y todavía hay una gran cantidad de trabajo matemático que es válido a pesar de etiquetado 1 primo, tales como el trabajo de Stern y Zeisel. Lista de Derrick Norman Lehmer de los números primos hasta 10006721, reimpreso en fecha tan tardía como 1956 ,, comenzó con 1 como su primer jefe. Henri Lebesgue se dice que es el último matemático profesional para llamar 1 privilegiada. El cambio producido en la etiqueta de modo que el teorema fundamental de la aritmética , como se dijo, es válido, es decir, "cada número tiene una factorización única en primos"

Divisores primos

Ilustración que muestra que 11 es un número primo, mientras que 12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmética establece que cada número entero positivo mayor que 1 se puede escribir como un producto de uno o más números primos de una manera que es única posible excepción de la orden de los principales factores . El mismo factor primario puede aparecer varias veces. Primes por lo tanto se puede considerar los "bloques de construcción básicos" de los números naturales. Por ejemplo, podemos escribir

y cualquier otra factorización de 23.244 como el producto de los números primos será idéntico excepto por el orden de los factores. Hay muchos algoritmos de factorización prima para hacer esto en la práctica para los números más grandes.

La importancia de este teorema es una de las razones de la exclusión de 1 a partir del conjunto de los números primos. Si 1 fueron admitidos como un primo, la indicación precisa del teorema requeriría calificaciones adicionales.

Propiedades de los números primos

• Cuando escrito en base 10 , todos los números primos excepto 2 y 5 terminan en 1, 3, 7 o 9. (números que terminan en 0, 2, 4, 6 o 8 representan múltiplos de 2 y números que terminan en 0 o 5 representan múltiplos de 5.)

• Si p es un número primo y p divide un producto ab de números enteros, entonces p divide una o p divide b. Esta proposición fue demostrado por Euclides y se conoce como Lema de Euclides. Se utiliza en algunas pruebas de la singularidad de factores primos.

• La anillo Z / n Z (véase aritmética modular ) es un campo si y sólo si n es un número primo. Dicho de otra manera: n es primo si y sólo si φ (n) = n - 1.

• Si p es primo y a es cualquier número entero, y luego una ^p - a es divisible por p ( Pequeño teorema de Fermat).

• Si p es un número primo distinto de 2 y 5, ¹ / _p es siempre una decimal periódico, cuyo periodo es p - 1 o un divisor de p - 1. Esto puede deducirse directamente de Pequeño teorema de Fermat. ¹ / _p expresado igualmente en q base (aparte de base 10) tiene un efecto similar, siempre que p no es un factor primordial de q. El artículo sobre decimales recurrentes muestra algunas de las propiedades interesantes.

• Un número entero p> 1 es primo si y sólo si el factorial (p - 1)! + 1 es divisible por p ( El teorema de Wilson). Por el contrario, un número entero n> 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.

• Si n es un número entero positivo mayor que 1, entonces no es siempre un número primo p con n <p <2 n ( Postulado de Bertrand).

• Adición de los recíprocos de todos los primos juntos los resultados en una divergente serie infinita ( prueba). Más precisamente, si S (x) denota la suma de los inversos de todos los números primos p con p ≤ x, entonces S (x) = ln ln x + O (1) para x → ∞.

• En cada una progresión aritmética, una q +, a + 2 q, a + 3 q, ... donde los enteros a y q son positivos primos entre sí, hay infinitos números primos ( Teorema de Dirichlet).

• La característica de cada campo es cero o un número primo.

• Si G es un finito grupo y p ⁿ es el más alto poder del primo p que divide al orden de G, entonces G tiene un subgrupo de orden p ^n. ( Teoremas de Sylow.)

• Si G es un grupo finito y p es un número primo dividiendo el orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p. ( Cauchy Teorema)

• La teorema del número primo dice que la proporción de primos menores que x es asintótica a ¹ / _{ln x} (en otras palabras, cuando x se hace muy grande, la probabilidad de que un número menor que x es primo es inversamente proporcional al número de dígitos en x ).

• La Copeland-Erdős constante 0.235711131719232931374143 ..., obtenido mediante la concatenación de los números primos en base diez , se sabe que es un número irracional .

• El valor de la Función zeta de Riemann en cada punto en el plano complejo se administra como una continuación meromorphic de una función, definida por un producto sobre el conjunto de todos los números primos para Re (s)> 1:

La evaluación de esta identidad en diferentes enteros ofrece una infinidad de productos a través de los números primos cuyos valores pueden ser calculados, los dos primeros son

• Si p> 1, el polinomio es irreducible sobre Z / p Z si y sólo si p es primo.

Clasificación de los números primos

Dos maneras de clasificar los números primos, la clase n + y n - clase, fueron estudiados por Paul Erdös y John Selfridge.

Determinación de la clase n + de un número primo p implica mirar el factor primo más grande de p + 1. Si ese factor primo más grande es 2 o 3, entonces p es de clase 1+. Pero si ese factor primo más grande es otro primo q, entonces la clase n + p es de uno más que la clase n + de q. Secuencias A005105 través A005108 lista de clase 1+ a través de primos de clase 4+.

La clase n - es casi la misma que la clase n +, excepto que la factorización de p - 1 se mira en su lugar.

El número de números primos

Hay infinitos números primos

La prueba más antigua conocida para la afirmación de que hay infinitamente muchos números primos es dado por el matemático griego Euclides en sus Elementos (Libro IX, la Proposición 20). Euclides afirma el resultado como "hay más de un número dado [finito] de los números primos", y su prueba es esencialmente lo siguiente:

Considere cualquier conjunto finito de números primos. Multiplique todos ellos juntos y agregue (ver Número de Euclides). El número resultante no es divisible por ninguno de los primos en el conjunto finito nos planteamos, porque la división por cualquiera de estos daría un resto de uno. Debido a que todos los números no primos pueden descomponerse en un producto de primos subyacentes, a continuación, ya sea este número resultante es primo sí mismo, o hay un número primo o números primos que el número resultante podría descomponerse en, pero no están en el conjunto finito originales de los números primos. De cualquier manera, hay al menos un primer más que no estaba en el conjunto finito que empezamos. Este argumento se aplica no importa qué conjunto finito comenzamos con. Así que hay más números primos que cualquier número finito dado.

Este argumento anterior explica por qué el producto P de un número finito de números primos más 1 debe ser divisible por algún primo no entre esos un número finito de números primos (posiblemente en sí).

La prueba a veces se lo expresó en un camino que lleva al estudiante a la conclusión de que P + 1 debe ser en sí mismo prime, y pensar que la demostración de Euclides dice que el producto prime más 1 es siempre primordial. El ejemplo sencillo de (2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13) + 1 = 30 031 = 59 · 509 (ambos números primos) muestra que este no es el caso. De hecho, cualquier conjunto de números primos que no incluye 2 tendrá un producto extraño. Adición de 1 a este producto producirá siempre un número par, que será divisible por 2 (y por lo tanto no sea primo).

Otros matemáticos han dado otras pruebas. Uno de ellos (debido a Euler ) muestra que la suma de los inversos de todos los números primos diverge. Otro prueba sobre la base de Números de Fermat fue dada por Goldbach. Kummer de es particularmente elegante y Harry Furstenberg ofrece uno utilizando topología general.

Contar el número de números primos por debajo de un determinado número

A pesar de que el número total de los números primos es infinito, todavía se podría preguntar "¿Aproximadamente cuántos números primos hay debajo de los 100.000?", O "¿Qué tan probable es un número aleatorio de 20 dígitos para ser primo?".

La función π prime-conteo (x) se define como el número de primos hasta x. No se conocen algoritmos para calcular los valores exactos de π (x) más rápido de lo que sería posible calcular cada primo hasta x. Los valores tan grandes como π (10 ²⁰⁾ se pueden calcular con rapidez y precisión con las computadoras modernas. Así, por ejemplo, π (100,000) = 9,592, y π (10 ²⁰⁾ = 2.220.819.602.560.918.840.

Para valores grandes de x, más allá del alcance de los equipos modernos, la teorema del número primo proporciona una buena estimación: π (x) es aproximadamente x / ln (x). Se conocen aún mejores estimaciones.

Ubicación de los números primos

Encontrar números primos

La antigua Criba de Eratóstenes es una forma sencilla de calcular todos los números primos hasta un límite determinado, haciendo una lista de todos los números enteros y repetidamente ponchando a múltiplos de que ya se encuentra primos. El moderno Criba de Atkin es más complicado, pero más rápido cuando optimizado correctamente.

En la práctica a menudo se quiere comprobar si un número dado es primo, en lugar de generar una lista de números primos. Además, a menudo es satisfactorio saber la respuesta con una alta probabilidad . Es posible comprobar rápidamente si un gran número determinado (por ejemplo, hasta unos pocos miles de dígitos) es primo usando probabilística pruebas de primalidad. Estos suelen elegir un número aleatorio llamado "testigo" y comprobar alguna fórmula que involucra el testigo y el potencial prime N. Después de varias iteraciones, declaran que N sea "definitivamente compuesto" o "probablemente prime". Algunas de estas pruebas no son perfectos: puede haber algunos números compuestos, llamados pseudoprimes para la prueba respectiva, que se declaró "probablemente prime" no importa lo que los testigos se elija. Sin embargo, las pruebas probabilísticos más populares no sufren de este inconveniente.

Un método para determinar si un número es primo es dividir por todos los primos menos de o igual a la raíz cuadrada de ese número. Si alguna de las divisiones salen como un entero, entonces el número original no es un número primo. De lo contrario, es un número primo. Uno no necesita realmente calcular la raíz cuadrada; una vez que se ve que la cociente es menor que el divisor, se puede detener. Esto se conoce como sala de primera instancia; es la prueba de primalidad más simple y rápidamente se hace poco práctico para probar enteros grandes porque el número de posibles factores crece exponencialmente a medida que el número de dígitos en los aumentos de número-to-probados ser.

Pruebas de primalidad

La algoritmo de prueba de primalidad es un algoritmo que pone a prueba una serie de primalidad, es decir, si el número es un número primo.

• Prueba de primalidad AKS
• Test de primalidad de Fermat
• Prueba de Lucas-Lehmer
• Prueba de primalidad Solovay-Strassen
• Prueba de primalidad de Miller-Rabin
• Curva elíptica primality proving

La probable Prime es un número entero que, en virtud de haber transcurrido un determinado prueba, se considera que es probablemente prime. Números primos probables que son de hecho compuestos (tales como Números de Carmichael) se llaman pseudoprimes.

En 2002, científicos de la India en IIT Kanpur descubrieron un nuevo algoritmo determinista conocido como Algoritmo AKS. La cantidad de tiempo que este algoritmo toma para comprobar si un número N es primo depende de una función polinómica del número de dígitos de N (es decir, del logaritmo de N).

Fórmulas produciendo números primos

No se conoce fórmula de números primos que es más eficiente en la búsqueda de números primos que los métodos mencionados anteriormente en "Cómo encontrar números primos".

Hay un conjunto de Ecuaciones diofánticas en 9 variables y un parámetro con la siguiente propiedad: el parámetro es primo si y sólo si el sistema resultante de ecuaciones tiene una solución sobre los números naturales. Esto se puede utilizar para obtener una fórmula única con la propiedad de que todos sus valores positivos son primos.

No hay polinomio , incluso en diversas variables, que toma solamente valores primos. Por ejemplo, la curiosa polinomio en una variable f (n) = n ² - n + 41 rinde números primos para n = 0, ..., 40,43 pero f (41) y F (42) son de material compuesto. Sin embargo, hay polinomios en varias variables, cuyos valores positivos como las variables de tomar todos los valores enteros positivos son exactamente los números primos.

Otra fórmula es basado en el teorema de Wilson se mencionó anteriormente, y genera el número dos muchas veces y todos los demás primos exactamente una vez. Hay otras fórmulas similares que también producen primos.

Los tipos especiales de números primos de fórmulas de números primos

Un primo p se llama primorial o prime-factorial si tiene la forma p = n # ± 1 para un número n, donde n # es el producto de 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... de todos los primos ≤ n. Un primer se llama factorial si se trata de la forma ! n ± 1. Los primeros números primos factoriales son:

n! - 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, ... (secuencia A002982 en OEIS )

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, ... (secuencia A002981 en OEIS )

El mayor número primo conocido primorial es Π (392.113) + 1, que se encuentra por Heuer en 2001. El mayor número primo conocido factorial es 34.790! - 1, que se encuentra por Marchal, Carmody y Kuosa en 2002. No se sabe si existen infinitos primos primorial o factoriales.

Primos de la forma 2 ^p - 1, donde p es un número primo, se conocen como Primos de Mersenne, mientras primos de la forma que se conoce como Fermat prepara. Los números primos p donde p 2 + 1 también es primo que se conoce como Sophie Germain ceba. La siguiente lista es de otros tipos especiales de números primos que vienen de fórmulas:

Algunos números primos se clasifican de acuerdo a las propiedades de sus dígitos en decimal u otras bases. Por ejemplo, los números cuyos dígitos forman una secuencia palindrómica se llaman primos palindrómicas, y un número primo se llama Primer truncatable si retirar sucesivamente el primer dígito en el los rendimientos correctos sólo los nuevos números primos o izquierda.

• Para obtener una lista de las clases especiales de esto ver los números primos Lista de números primos

La distribución de los números primos

La distribución de todos los números primos en el intervalo de 1 a 76.800, de izquierda a derecha y de arriba a abajo, donde cada pixel representa un número. Los píxeles negros significan que número es primo y blanco significa que no es primo.

El problema de la modelización de la distribución de los números primos es un tema popular de la investigación para la teoría de números. Los números primos se distribuyen entre los números naturales en una forma impredecible (hasta ahora), pero no parecen ser las leyes que rigen su comportamiento. Leonhard Euler comentado

Los matemáticos han tratado en vano de este día para descubrir un poco de orden en la secuencia de los números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente nunca penetrará. (Havil 2003, p. 163)

Paul Erdös dijo

Dios no juega a los dados con el universo, pero algo extraño está pasando con los números primos. [Refiriéndose a Albert Einstein famosa creencia 's que "Dios no juega a los dados con el universo".]

En una conferencia de 1975 Don Zagier comentado

Hay dos hechos acerca de la distribución de los números primos de los cuales espero convencerte tan abrumadoramente que van a ser grabados permanentemente en sus corazones. La primera es que, a pesar de su sencilla definición y el papel como los componentes básicos de los números naturales, los números primos crecen como la mala hierba entre los números naturales, que parecía obedecer a ningún otro derecho que el de oportunidad, y nadie puede predecir dónde la siguiente brotará. El segundo hecho es aún más sorprendente, ya que afirma lo contrario: que los números primos exhiben impresionante regularidad, que hay leyes que rigen su comportamiento, y que obedezcan las leyes con precisión casi militar.

(Havil 2003, p. 171)

Imagen adicional con 2310 columnas se vincula aquí, preservando múltiplos de 2,3,5,7,11 en las columnas respectivas.

Los espacios entre los números primos

Sea p _n denotar el n-ésimo número primo (es decir, p ₁ = 2, p = ₂ 3, etc.). La brecha entre el _n g consecutivo números primos p y p _{n n + 1} es la diferencia entre ellos, es decir,

g _n = p _{n + 1} - p _n.

Tenemos g ₁ = 3 - 2 = 1, g = ₂ 5 - 3 = 2, G ₃ = 7-5 = 2, ₄ g = 11-7 = 4, y así sucesivamente. La secuencia (g _n) de las brechas principales ha sido ampliamente estudiado.

Para cualquier número natural N mayor que 1, la secuencia (para la notación N Leer factorial )

N! + 2, N! + 3, ..., N! + N

es una secuencia de N - 1 números enteros compuestos consecutivos. Por lo tanto, existen huecos entre los números primos que son arbitrariamente grande, es decir, para cualquier número natural n, no es un número entero n con g _n> N. (Elige n de manera que p _n es el mayor número primo menor que N! + 2.)

Por otro lado, los huecos quedan arbitrariamente pequeño en proporción a los números primos: el cociente g _n / p _n se aproxima a cero a medida que n se aproxima al infinito. Tenga en cuenta también que el Conjetura de los números primos gemelos afirma que g _n = 2 para un número infinito de números enteros n.

Localización del mayor número primo conocido

Wikinoticias tiene noticias relacionadas: Equipo de computación CMSU descubre otro récord tamaño prime

Wikinoticias tiene noticias relacionadas: La computación distribuida descubre mayor número primo conocido

El mayor número primo conocido, a partir de agosto de 2007, es 2 ^32582657 - 1 (este número es 9808358 dígitos de longitud); es la 44ª conocido Primo de Mersenne. M _32582657 fue encontrado en 4 de septiembre de 2006 por Curtis Cooper y Steven Boone, profesores de la University of Central Missouri (antigua Universidad Central del Estado de Missouri) y miembros de un esfuerzo de colaboración conocido como GIMPS. Antes de encontrar el mejor momento, Cooper y Boone corrían el software GIMPS en un pico de 700 computadoras de la universidad desde hace 9 años.

Los próximos dos números primos más grandes conocidos son también los números de Mersenne: M = 2 _30402457 ^30402457 - 1 (43a conocido primo de Mersenne, 9.152.052 dígitos) y M = 2 _25964951 ^25964951 - 1 (42a conocido primo de Mersenne, 7.816.230 dígitos de longitud). Históricamente, el primer grande conocido casi siempre ha sido un primo de Mersenne desde los albores de los equipos electrónicos, porque existe una prueba de primalidad especialmente rápido para los números de esta forma, la Prueba de Lucas-Lehmer para los números de Mersenne.

El primer grande conocido que no es un número primo de Mersenne es 19249 × 2 ^13018586 + 1 (3.918.990 dígitos), un Número Proth. Este es también el séptimo mayor primo conocido de cualquier forma. Se encontró en 26 de marzo de 2007 por el Diecisiete o proyecto Busto y les lleva un paso más cerca de resolver el Problema de Sierpinski.

Algunos de los mayores números primos no se sabe que tienen una forma particular (es decir, no hay una fórmula simple, como la de los números primos de Mersenne) se han encontrado tomando un pedazo de datos binarios semi-aleatorias, convirtiéndola en un número n, multiplicándolo por 256 ^k para algún entero positivo k, y la búsqueda de posibles números primos en el intervalo [256 ^k n + 1, 256 ^k (n + 1) - 1].

Premios para encontrar números primos

La Electronic Frontier Foundation (EFF) ha ofrecido un premio de US $ 100.000 a los primeros descubridores de un primo con al menos 10 millones de dígitos. También ofrecen 150.000 dólares por 100 millones de dígitos, y $ 250.000 para 1000 millones dígitos. En 2000 se pagaron 50.000 dólares por millón dígitos.

La RSA Factoring Desafío ofrece premios de hasta US $ 200.000 para encontrar los factores primos de cierta semiprimes de hasta 2048 bits. Sin embargo, el reto fue cerrada en 2007 después de los premios mucho más pequeñas para semiprimes más pequeños se habían pagado.

Las generalizaciones del concepto principal

El concepto de número primo es tan importante que se ha generalizado de forma diferente en las distintas ramas de las matemáticas.

Elementos principales en los anillos

Uno puede definir elementos principales y elementos irreducibles en cualquier dominio integral. Para cualquier dominio de factorización única, tal como el anillo Z de los números enteros, el conjunto de elementos principales es igual al conjunto de elementos irreducibles, que para Z es {..., -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, ...}.

Como ejemplo, tenemos en cuenta la Enteros de Gauss Z [i], es decir, los números complejos de la forma a + bi con A y B en Z. Este es un dominio de integridad, y sus elementos principales son la Primos de Gauss. Tenga en cuenta que 2 no es un número primo gaussiano, ya que los factores en el producto de los dos números primos de Gauss (1 + i) y (1 - i). El elemento 3, sin embargo, sigue siendo privilegiada en los enteros de Gauss. En primos generales y racionales (es decir, los elementos principales en el anillo Z de los números enteros) de la forma 4k + 3 son primos de Gauss, mientras que los números primos racionales de la forma 4k + 1 no son.

Ideales primos

En la teoría de anillos, uno generalmente sustituye a la noción de número con el de ideal. Ideales primos son una herramienta y objeto de estudio en importante álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometría algebraica. Los ideales primos del anillo de los enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), ...

Un problema central en la teoría algebraica de números es como una serie de factores ideal primo cuando se levantó a un campo de extensión. Por ejemplo, en el ejemplo número entero de Gauss arriba, (2) se ramifica en una potencia prime (1 + i y 1 - i generan el mismo ideal primo), ideales primos de la forma (4 k + 3) son inertes (siendo primer) , y los ideales primos de la forma (4 k + 1) partido (son el producto de 2 ideales primos distintos).

Primes en la teoría de valoración

En la teoría de campos de clase todavía se utiliza otra generalización. Dada una arbitraria campo K, uno considera valoraciones sobre K, algunas funciones de la K a los números reales R. Cada dicha valoración se obtiene un topología en K, y dos valoraciones se llaman equivalentes si producen la misma topología. Un primer de K (a veces llamado un lugar de K) es una clase de equivalencia de las valoraciones. Con esta definición, los números primos del campo Q de los números racionales están representados por la norma de valor absoluto función (conocido como el "primer infinita"), así como por el p valoraciones -adic sobre Q, para cada número primo p.

Nudos Prime

En la teoría de nudos , un nudo principal es una nudo que es, en cierto sentido, indescomponible. Específicamente, es uno que no se puede escribir como la nudo suma de dos nudos no triviales.

Preguntas abiertas

Hay muchas preguntas abiertas sobre los números primos. Una muy significativo es la Hipótesis de Riemann, que en esencia dice que los primos se distribuyen la mayor regularidad posible. Desde un punto de vista físico, se afirma más o menos que la irregularidad en la distribución de los números primos sólo proviene de ruido aleatorio. Desde un punto de vista matemático, se afirma más o menos que la distribución asintótica de los números primos (aproximadamente 1 / log x de números menores que x son números primos, los número primo teorema) también es válido para intervalos mucho más cortos de longitud aproximadamente la raíz cuadrada de x (para intervalos de cerca de x). Esta hipótesis se cree generalmente que ser correcta, en particular, el supuesto más simple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas sin una buena razón.

Muchas conjeturas famosos parecen tener una muy alta probabilidad de ser cierto (en un sentido formal, muchos de ellos siguen de argumentos probabilísticos heurísticas simples):

• Principal Números de Euclides: No se sabe si hay o no hay un número infinito de números primos Euclides.

• Fuerte conjetura de Goldbach : Cada entero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

• Débil conjetura de Goldbach: Cada entero impar mayor que 5 se puede escribir como una suma de tres primos.

• Conjetura de los números primos gemelos: Hay infinitos gemelo prepara, pares de números primos con diferencia 2.

• La conjetura de Polignac: Para todo entero positivo n, hay un número infinito de pares de primos consecutivos que se diferencian por 2 n. Cuando n = 1 esta es la conjetura de primos gemelos.

• Una forma más débil de la conjetura de Polignac: Cada número par es la diferencia de dos números primos.

• La opinión generalizada es que hay un número infinito Primos de Mersenne, pero no Fermat prepara.

• Se conjetura que hay infinitos números primos de la forma n ² + 1.

• Muchas conjeturas conocidos son casos especiales de la amplia Hipótesis H. Schinzel

• Se conjetura que existen infinitos Fibonacci ceba.

• La conjetura de Legendre: Hay un número primo entre n ² y (n + 1) ² para todo entero positivo n.

• La conjetura de Cramér: . Esta conjetura implica Legendre, pero su estado es más seguro.

• La conjetura de Brocard: Siempre hay por lo menos cuatro números primos entre los cuadrados de los números primos consecutivos superiores a 2.

Los cuatro de Problemas de Landau de 1912 se enumeran anteriormente y aún sin resolver: Goldbach, primos gemelos, Legendre, n ² 1 primos.

Aplicaciones

Durante mucho tiempo, la teoría de números, en general, y el estudio de los números primos, en particular, fue visto como el ejemplo canónico de la matemática pura, sin aplicaciones fuera del propio interés de estudiar el tema. En particular, los teóricos de números tales como British matemático GH Hardy se enorgullecían de hacer un trabajo que no tenía absolutamente ninguna importancia militar. Sin embargo, esta visión se hizo añicos en el 1970, cuando se anunció públicamente que los números primos podrían utilizarse como base para la creación de algoritmos de criptografía de clave pública. Los números primos también se utilizan para tablas hash y generadores de números pseudoaleatorios.

Algunos máquinas de rotor se diseñaron con un número diferente de pines de cada rotor, con el número de pines en cualquiera de rotor ya sea primo, o coprimo con el número de pines en cualquier otro rotor. Esto ayudó a generar el ciclo completo de posibles posiciones del rotor antes de repetir cualquier posición.

La criptografía de clave pública

Varios algoritmos de criptografía de clave pública, como RSA, se basan en grandes números primos (por ejemplo, con 512 bits).

Los números primos en la naturaleza

Muchos números se dan en la naturaleza, e inevitablemente algunos de estos son de primera. Hay, sin embargo, relativamente pocos ejemplos de números que aparecen en la naturaleza porque son primos. Por ejemplo, la mayoría estrellas de mar tienen 5 brazos, y 5 es un número primo. Sin embargo no hay evidencia para sugerir que las estrellas de mar tienen 5 brazos porque 5 es un número primo. De hecho, algunas estrellas de mar tienen diferente número de brazos. Echinaster luzonicus normalmente tiene seis brazos, Luidia senegalensis tiene nueve brazos, y Solaster Endeca puede tener hasta veinte brazos. ¿Por qué la mayoría de las estrellas de mar (y la mayoría de otros equinodermos) tienen simetría cinco veces sigue siendo un misterio.

Un ejemplo de la utilización de números primos en la naturaleza es como una estrategia evolutiva utilizado por cigarras del género Magicicada. Estos insectos pasan la mayor parte de sus vidas como subterránea larvas. Sólo pupan y luego salen de sus madrigueras después de 13 o 17 años, momento en el que vuelan alrededor, raza, y luego mueren después de un par de semanas a lo sumo. Se cree que la lógica de este ser que los intervalos de números primos entre emergencias hace que sea muy difícil para los depredadores evolucionen que podría especializarse como depredadores en Magicicadas . Si Magicicadas apareció en unos intervalos de números no primos, por ejemplo, cada 12 años, entonces depredadores apareciendo cada 2, 3, 4, 6, o 12 años sería seguro para reunirse con ellos. Durante un período de 200 años, las poblaciones de depredadores promedio durante los brotes hipotéticos de 14- y 15-años cigarras serían hasta un 2% más alto que durante los brotes de las cigarras de 13 y 17 años. Aunque pequeña, esta ventaja parece haber sido suficiente para conducir la selección natural a favor de un ciclo de vida de alto riesgo numerado para estos insectos.

Se especula que los ceros de la función zeta están conectados a los niveles de energía de los sistemas cuánticos complejos.

Los números primos en las artes y la literatura

Los números primos han influido en muchos artistas y escritores. Los franceses compositor Olivier Messiaen utilizado números primos para crear música ametrical través de "fenómenos naturales". En obras como La Nativité du Seigneur (1935) y Quatre études de rythme (1949-1950), se emplea simultáneamente motivos con longitudes dadas por diferentes números primos para crear ritmos impredecibles: los primos 41, 43, 47 y 53 aparecen en una de los études. Según Messiaen esta forma de composición fue "inspirada en los movimientos de la naturaleza, los movimientos de duraciones libres y desiguales".

En su novela de ciencia ficción de contacto, más tarde convertido en unapelícula del mismo nombre, laNASAcientíficoCarl Sagansugirió que los números primos podrían ser utilizados como un medio de comunicación con los extraterrestres, una idea que él había desarrollado primero informalmente con astrónomo estadounidenseFrank Drake en 1975.

Galardonado 1993 la obra de Tom Stoppard Arcadia fue un intento consciente para discutir ideas matemáticas en el escenario. En la escena inicial, los 13 años de edad rompecabezas heroína sobre el último teorema de Fermat , un teorema que involucra números primos.

Muchas películas reflejan una fascinación popular con los misterios de los números primos y la criptografía: películas como El Cubo, zapatillas de deporte, El amor tiene dos carasy Una mente maravillosa, basada en la biografía del matemático y premio NobelJohn Forbes Nash porSylvia Nasar.