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Ángulo

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"∠", el símbolo de ángulo.

En geometría y trigonometría , un ángulo (en, ángulo plano completo) es la figura formada por dos rayos que comparten un común punto final, denominado vértice del ángulo. La magnitud del ángulo es la "cantidad de rotación" que separa los dos rayos, y se puede medir teniendo en cuenta la longitud de arco circular barrido cuando un rayo se gira alrededor del vértice para coincidir con la otra (ver "ángulos de medición" , más abajo). Cuando no hay posibilidad de confusión, el término "ángulo" se utiliza indistintamente tanto para la propia configuración geométrica y de su magnitud angular (que es simplemente una cantidad numérica).

El ángulo de la palabra viene del latín palabra angulus, que significa "una esquina". La palabra angulus es un diminutivo, de las cuales la forma primitiva, angus, no se produce en América. Los cognados son los angere latín, que significa "de comprimir en una curva" o "estrangular", y el griego ἀγκύλος (ankylοs), que significa "torcido, curvas"; ambos están conectados con la PIE raíz * ank-, que significa "doblar" o "arco".

Historia

Euclides define un ángulo plano que la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se reúnen entre sí, y no se encuentran recta con respecto a la otra. De acuerdo a Proclo un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo, que consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta ; la segunda por Carpo de Antioquía, que lo consideraba como el intervalo o el espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos y obtusos son ciertamente cuantitativo.

Medición de ángulos

El ángulo θ es el cociente de s y r.

Con el fin de medir un ángulo θ, una arco circular centrado en el vértice del ángulo se extrae, por ejemplo, con un par de brújulas. La longitud de la s arco se divide por el radio del círculo r, y posiblemente multiplica por una constante k de escala (que depende de las unidades de medida que se eligen):

\ Theta = \ frac {s} {r} (k)

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si la longitud del radio se cambia a continuación, los cambios de longitud de arco en la misma proporción, de modo que la relación s / r es inalterada.

En muchas situaciones geométricas, ángulos que difieren en un múltiplo exacto de un círculo completo son efectivamente equivalente (no hay diferencia cuántas veces una línea se gira a través de un círculo completo, ya que siempre termina en el mismo lugar). Sin embargo, este no es siempre el caso. Por ejemplo, al trazar una curva tal como una espiral usando coordenadas polares , una vuelta completa adicional da lugar a un punto muy diferente de la curva.

Unidades

Los ángulos se consideran adimensional, ya que se define como la relación de longitudes. Hay, sin embargo, varias unidades utilizadas para medir ángulos, dependiendo de la elección de la constante k en la fórmula anterior. De estas unidades, tratadas en más detalle a continuación, el grado y el radián son, con mucho el más común.

Con la notable excepción de la radian, la mayoría de las unidades de medida angular se definen de tal manera que un círculo completo (es decir, una revolución) es igual a n unidades, para cualquier número entero n. Por ejemplo, en el caso de grados,

Un círculo completo de n unidades se obtiene mediante el establecimiento de

en la fórmula anterior. (Demostración. La fórmula anterior se puede reescribir como

Un círculo completo, por lo que

unidades, corresponde a un arco de longitud igual a la del círculo circunferencia, que es 2π r, por lo

. Sustituyendo n para θ y 2π r de s en la fórmula, resultados en

)

  • El grado , denotado por un pequeño círculo superíndice (°) es 1/360 de un círculo completo, por lo que un círculo completo es de 360 °. Una ventaja de este viejo subunidad sexagesimal es que muchos ángulos comunes en geometría simple se miden como toda una serie de grados. (El problema de tener todos los ángulos "interesantes" medidos en números enteros, por supuesto, insoluble.) Fracciones de un grado pueden ser escritos en notación decimal normal (por ejemplo, 3,5 ° grados de tres años y medio), pero las siguientes subunidades sexagesimales del "grados-minutos-segundos" sistema también están en uso, especialmente para coordenadas geográficas y en la astronomía y balística:
    • La minuto de arco (o MOA, minuto de arco, o simplemente minuto) es 1/60 de un grado. Se denota por una sola prima ('). Por ejemplo, 3 ° 30 'es igual a 3 + 30/60 grados, o 3,5 grados. Un formato mezclado con fracciones decimales veces también se usa, por ejemplo, 3 ° 5.72 '= 3 + 5.72 / 60 grados. La milla náutica fue históricamente definido como un minuto de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra.
    • La segundo de arco (o segundo de arco, o simplemente segundo) es 1/60 de un minuto de arco y 1/3600 de un grado. Se denota por un primer doble ("). Por ejemplo, 3 ° 7 '30 "es igual a 3 + 7/60 + 30/3600 grados, o 3.125 grados.
θ = s / r rad = 1 rad.
  • El radián es el ángulo subtendido por un arco de un círculo que tiene la misma longitud que el círculo de radio (k = 1 en la fórmula dada anteriormente). Un círculo completo es 2 π radianes y un radián es de 180 / π grados, o alrededor de 57,2958 grados. El radián es abreviado rad, aunque este símbolo se omite con frecuencia en los textos de matemáticas, donde se supone que radianes a menos que se especifique lo contrario. El radián es utilizado en prácticamente todo el trabajo matemático más allá de geometría práctica sencilla, debido, por ejemplo, a las propiedades "naturales" que los agradables y funciones trigonométricas aparecen cuando sus argumentos son en radianes. El radián es el (derivado) unidad de medida angular en el Sistema SI.
  • La MIL es aproximadamente igual a un miliradián . Hay varias definiciones.
  • El círculo completo (o revolución, rotación, lleno vuelta o ciclo) es una revolución completa. La revolución y la rotación se abrevian rev y la podredumbre, respectivamente, pero sólo en r rpm (revoluciones por minuto). 1 completo rad círculo = 360 ° = 2 π = 400 = gon 4 ángulos rectos.
  • La ángulo recto es un cuarto de un círculo completo. Es la unidad que se utiliza en los Elementos de Euclides . 1 ángulo recto = 90 ° = π / 2 rad = 100 gon.
  • El ángulo de la triángulo equilátero es 1/6 de un círculo completo. Fue la unidad utilizada por los babilonios , y es especialmente fácil de construir con regla y compás. El grado, minutos de arco y segundos de arco son subunidades sexagesimales de la unidad de Babilonia. 1 unidad de Babilonia = 60 ° = π / 3 rad ≈ 1.047197551 rad.
  • La graduado, también llamado grado, grados centesimales o gon es 1/400 de un círculo completo, por lo que un círculo completo es de 400 graduados y un ángulo recto es 100 grados centesimales. Es una subunidad decimal del ángulo recto. La kilómetro fue históricamente definido como un centi-gon de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra, por lo que el kilómetro es el análogo decimal a la milla náutica sexagesimal. El gon se utiliza sobre todo en triangulación.
  • El punto, usado en navegación, es 1/32 de un círculo completo. Es una subunidad binaria del círculo completo. Nombrar los 32 puntos en una rosa de los vientos se llama " el boxeo la brújula ". 1 punto = 1/8 de un ángulo recto = 11,25 ° = 12.5 gon.
  • La astronómica ángulo horario es 1/24 de un círculo completo. Las subunidades sexagesimales fueron llamados minutos de tiempo y segundos de tiempo (a pesar de que son unidades de ángulo). 1 hora = 15 ° = π / 12 rad = 1/6 ángulo recto ≈ 16.667 gon.
  • El grado binario, también conocido como el binario radián (o brad), es 1/256 de un círculo completo. El grado binario se utiliza en la computación de manera que un ángulo se puede representar de manera eficiente en una sola byte.
  • La grado de una pendiente o gradiente, no es realmente una medida del ángulo (a menos que se le da explícitamente en grados, como es el caso de vez en cuando). En cambio, es igual a la tangente del ángulo, o, a veces la sinusoidal. Los degradados a menudo se expresan como un porcentaje. Para los pequeños valores habituales encontradas (menos de 5%), el grado de la pendiente es aproximadamente la medida de un ángulo en radianes.

Los ángulos positivos y negativos

Una convención universalmente adoptado en la escritura matemática es que ángulos dados un signo son ángulos positivos si se mide a la izquierda, y los ángulos negativos si miden las agujas del reloj, desde una línea dada. Si no se especifica la línea, se puede suponer que es el eje x en el plano cartesiano . En muchas situaciones geométricas un ángulo negativo de - θ es efectivamente equivalente a un ángulo positivo de "un giro completo menos θ". Por ejemplo, una rotación en sentido horario de 45 ° (es decir, un ángulo de -45 °) a menudo es efectivamente equivalente a una rotación en sentido antihorario de 360 ° - 45 ° (es decir, un ángulo de 315 °).

En geometría tridimensional, "hacia la derecha" y "hacia la izquierda" no tienen ningún significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos se debe definir con relación a alguna referencia, que es típicamente un vector que pasa a través del vértice del ángulo y perpendicular al plano en el cual los rayos de la mentira ángulo.

En navegación, cojinetes se miden desde el norte, el aumento de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45 grados es norte-este. Cojinetes negativos no se utilizan en la navegación, por lo noroeste es de 315 grados.

Aproximaciones

  • 1 ° es aproximadamente del ancho de un dedo meñique con el brazo extendido
  • 10 ° es aproximadamente el grosor de un puño cerrado con el brazo extendido.
  • 20 ° es aproximadamente del ancho de un palmo con el brazo extendido.

Identificar ángulos

En las expresiones matemáticas, es común el uso de letras griegas (α, β, γ, θ, φ, ...) para servir como las variables de pie para el tamaño de un ángulo. (Para evitar la confusión con su otro significado, el símbolo π no se utiliza para este propósito.) letras romanas minúsculas (a, b, c, ...) también se utilizan. Véanse las figuras en este artículo para ejemplos.

En las figuras geométricas, ángulos también pueden ser identificados por las etiquetas pegadas a los tres puntos que las definen. Por ejemplo, el ángulo en el vértice A encerrada por los rayos AB y AC (es decir, las líneas del punto A al punto B y el punto A hasta el punto C) se denota ∠BAC o BAC. A veces, donde no existe ningún riesgo de confusión, el ángulo puede ser denominado simplemente por su vértice ("ángulo A").

Potencialmente, un ángulo denota, por ejemplo, ∠BAC podría referirse a cualquiera de los cuatro ángulos: el ángulo de las agujas del reloj de B a C, el ángulo en sentido antihorario de B a C, el ángulo de las agujas del reloj de C a B, o el ángulo en sentido antihorario de C a B , donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (véase ángulos positivos y negativos ). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas es evidente a partir del contexto que el ángulo positivo menor o igual a 180 ° grados se entiende, y no surge ninguna ambigüedad. De lo contrario, una convención puede ser adoptado de manera que ∠BAC siempre se refiere al ángulo en sentido antihorario (positivo) de B a C, y ∠CAB al ángulo en sentido antihorario (positivo) de C a B.

Tipos de ángulos

Ángulo recto.
Aguda (a), obtuso (b), y (c) los ángulos rectos. Aquí, a y b son ángulos suplementarios.
Ángulo Reflex.
La ángulos complementarios a y b (b es el complemento de una, y a es el complemento de b).
  • Un ángulo de 90 ° ( π / 2 radianes, o una cuarta parte del círculo completo) se llama ángulo recto.
    Dos líneas que forman un ángulo recto se dice que son perpendicular o ortogonal.
  • Ángulos menores que un ángulo recto (menos de 90 °) son llamados ángulos agudos ("aguda", que significa "fuerte").
  • Ángulos mayores que un ángulo recto y más pequeño que dos ángulos rectos (entre 90 ° y 180 °) se llaman ángulos obtusos ("obtuso", que significa "contundente").
  • Ángulos iguales a dos rectos (180 °) se llaman ángulos rectos.
  • Ángulos mayores que dos ángulos rectos pero menos de un círculo completo (entre 180 ° y 360 °) se llaman ángulos reflejos.
  • Ángulos que tienen la misma medida se dice que son congruentes.
  • Dos ángulos opuestos entre sí, el formado por dos líneas rectas que forman una "X" como la forma, son llamados ángulos verticales o ángulos opuestos. Estos ángulos son congruentes.
  • Los ángulos que comparten un vértice y el borde común, pero no comparten los puntos interiores se denominan ángulos adyacentes.
  • Dos ángulos que resumen a un ángulo recto (90 °) se denominan ángulos complementarios.
    La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina el complemento del ángulo.
  • Dos ángulos que resumen a un ángulo recto (180 °) se denominan ángulos suplementarios.
    La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina el suplemento del ángulo.
  • Dos ángulos que resumen a un círculo completo (360 °) se llaman ángulos explementary o ángulos conjugados.
  • Un ángulo que forma parte de una polígono simple se denomina ángulo interior si se encuentra en el interior de que el polígono simple. Tenga en cuenta que en un polígono simple que es cóncava, al menos un ángulo interior es superior a 180 °.
    En la geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman a radianes π, o 180 °; las medidas de los ángulos interiores de un sencillo cuadrilátero suman 2 π radianes o 360 °. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígono simple con n lados suman [(n - 2) × π] radianes o [(n - 2) × 180] °.
  • El ángulo complementario al ángulo interior se llama el ángulo exterior. Mide la cantidad de "giro" uno tiene que hacer en este vértice a trazar el polígono. Si el ángulo interior correspondiente excede 180 °, el ángulo exterior debe considerarse negativo. Incluso en un no-polígono simple puede ser posible definir el ángulo exterior, pero uno tendrá que elegir una orientación de la avión (o superficie) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.
    En la geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono simple será 360 °, una vuelta completa.
  • Algunos autores utilizan el nombre de ángulo exterior de un polígono simple a significar simplemente la explementary (no suplementarios!) Del ángulo interior . Esto entra en conflicto con el uso anterior.
  • El ángulo entre dos planos (tales como dos caras adyacentes de un poliedro ) se llama ángulo diedro. Puede ser definido como el ángulo agudo entre dos líneas normal a los planos.
  • El ángulo entre un plano y una línea recta de intersección es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea de intersección y la línea que pasa por el punto de intersección y es normal al plano.
  • Si una recta línea transversal interseca dos líneas paralelas, que corresponden (suplente) ángulos en los dos puntos de intersección son congruentes; ángulos adyacentes son complementario (es decir, sus medidas se suman a radianes π, o 180 °).

Una definición formal

Uso de las funciones trigonométricas

Un ángulo euclidiano está completamente determinado por el triángulo rectángulo correspondiente. En particular, si \ Theta es un ángulo euclidiana, es cierto que

\ Cos \ theta = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}

y

\ Sin \ theta = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}

para dos números x y y . Así que un ángulo en el plano euclidiano puede ser legítimamente dada por dos números x y y .

Para la relación \ Frac {y} {x} no corresponden dos ángulos en el intervalo geométrica 0 <\ theta <2 \ pi , Ya

\ Frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} = \ frac {y} {x} = \ frac {-y} {- x} = \ frac {\ sin (\ theta + \ pi)} {\ cos (\ theta + \ pi )}.

El uso de rotaciones

Supongamos que tenemos dos vectores unitarios \ Vec {u} y \ Vec {v} en el plano euclidiano \ Mathbb {R} ^ 2 . Entonces existe una positiva isometría (una rotación), y sólo una, a partir de \ Mathbb {R} ^ 2 a \ Mathbb {R} ^ 2 que los mapas u sobre v . Sea r tal rotación. Entonces la relación \ Vec {a} \ mathcal {R} \ vec {b} definido por \ Vec {b} = r (\ vec {a}) es una relación de equivalencia y llamamos ángulo de la rotación R la clase de equivalencia \ Mathbb {T} / \ mathcal {R} , Donde \ Mathbb {T} denota la unidad círculo de \ Mathbb {R} ^ 2 . El ángulo entre dos vectores será simplemente el ángulo de la rotación que se asigna una sobre la otra. No tenemos forma numérica de determinar un ángulo todavía. Para ello, elegimos el vector (1,0) , A continuación, para cualquier punto M en \ Mathbb {T} a distancia \ Theta desde (1,0) (En el círculo), y mucho \ Vec {u} = \ overrightarrow {OM} . Si llamamos r_ \ theta la rotación que transforma (1,0) en \ Vec {u} , A continuación, \ Left [r_ \ theta \ right] \ mapsto \ theta es una biyección, lo que significa que podemos identificar cualquier ángulo con un número entre 0 y 2 \ pi .

Los ángulos entre las curvas

El ángulo entre las dos curvas se define como el ángulo entre las tangentes A y B en P

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo de mezclado) o entre dos curvas de intersección (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Varios nombres (ahora rara vez, o nunca, se usa) se les ha dado a los casos particulares: - amphicyrtic (Gr ἀμφί, en ambos lados, κυρτόσ, convexas.) O cissoidal (Gr κισσόσ, hiedra.), Biconvexos; xystroidal o sistroidal (Gr . ξυστρίσ, una herramienta para raspar), cóncavo-convexo;. amphicoelic (Gr κοίλη, un hueco) o lunularis angulus, bicóncava.

El producto escalar y generalización

En el plano euclidiano , el ángulo θ entre dos vectores u y v se relaciona con su producto escalar y sus longitudes por la fórmula

\ Mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ cos (\ theta) \ \ | \ mathbf {u} \ | \ \ | \ mathbf {v} \ |.

Esto permite definir ángulos en cualquier verdadera espacio con producto interno, sustituyendo el producto euclidiana punto · por el Hilbert espacio con producto interno <·, ·>.

Ángulos en la geometría de Riemann

En La geometría de Riemann, la tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son los vectores tangentes y g ij son las componentes del tensor métrico G,

\ Cos \ theta = \ frac {g_ {ij} T ^ iV ^ j} {\ sqrt {\ left | g_ {ij} T ^ iU ^ j \ right | \ left | g_ {ij} V ^ iV ^ j \ right |}}.

Ángulos en la geografía y la astronomía

En geografía especificamos la ubicación de cualquier punto de la Tierra utilizando un Sistema de coordenadas geográficas. Este sistema especifica la latitud y longitud de cualquier ubicación, en términos de ángulos subtendido en el centro de la Tierra, usando el ecuador y (normalmente) la Meridiano de Greenwich como referencia.

En astronomía , que asimismo establecer un punto dado en el esfera celeste usando cualquiera de varios Astronómico sistemas de coordenadas, donde las referencias varían de acuerdo con el sistema particular.

Los astrónomos también pueden medir la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro de la Tierra , cada intersección de una de las estrellas. El ángulo entre las líneas se puede medir, y es la separación angular entre las dos estrellas.

Los astrónomos también miden la tamaño aparente de los objetos. Por ejemplo, la luna llena tiene una medida angular de aproximadamente 0,5 °, cuando se ve desde la Tierra. Se podría decir, "La Luna abarca un ángulo de medio grado." La fórmula de ángulo pequeño se puede utilizar para convertir una medición de este tipo angular en una relación de distancia / tamaño.

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