Logaritmo natural

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El logaritmo natural, antes conocido como el logaritmo hiperbólico, es el logaritmo de la base e, donde e es un irracional constante aproximadamente igual a 2,718 281 828 459. En términos simples, el logaritmo natural de un número x es la potencia a la que e habría que ser elevado a la igualdad x - por ejemplo, el logaritmo natural de correo en sí es 1 porque e ¹ = e, mientras que el logaritmo natural de 1 sería 0, ya que e = ⁰ 1. El logaritmo natural se puede definir para todos los positivos números reales x como el área bajo la curva y = 1 / t de 1 a x, y también se pueden definir para distintos de cero los números complejos como se explica a continuación .

Gráfica de la función logaritmo natural. La función va rápidamente a menos infinito cuando x tiende a 0, pero crece lentamente hasta el infinito positivo cuando x aumenta.

La función logaritmo natural también puede ser definido como la función inversa de la función exponencial , lo que lleva a las identidades:

$e ^ {\ ln (x)} = x \ qquad \ mbox {si} x> 0 \, \!$

$\ Ln (e ^ x) = x. \, \!$

En otras palabras, la función logaritmo es una biyección entre el conjunto de los números reales positivos para el conjunto de todos los números reales. Más precisamente, se trata de una isomorfismo del grupo de los números reales positivos bajo la multiplicación al grupo de los números reales menores de adición. Representada como una función :

$\ Ln: \ mathbb {R} ^ + \ a \ mathbb {R}$

Los logaritmos se pueden definir a cualquier base positivo distinto de 1, no sólo e, y son útiles para la resolución de ecuaciones en las que la incógnita aparece como el exponente de alguna otra cantidad.

Convenciones de notación

Los matemáticos, estadísticos, y algunos ingenieros generalmente entienden bien "log (x)" o "ln (x)" en el sentido de log _e (x), es decir, el logaritmo natural de x, y escribir "log ₁₀ (x)" si el logaritmo en base 10 de x está destinado.

Algunos ingenieros, biólogos, y algunos otros generalmente escriben "ln (x)" (o de vez en cuando "log _e (x)") cuando quieren decir el logaritmo natural de x, y toman "log (x)" en el sentido log ₁₀ (x) o, en el caso de algunos científicos de la computación , log ₂ (x) (lg aunque esto muchas veces se escribe (x) en su lugar).

En la mayoría de uso común de lenguajes de programación , incluyendo C , C ++ , MATLAB, Fortran, y BASIC , "log" o "log" se refiere al logaritmo natural.

En de mano calculadoras , el logaritmo natural se denota ln, mientras que de registro es el logaritmo en base 10.

¿Por qué se le llama "natural"

En un principio, podría parecer que ya que nuestro sistema de numeración es de base 10 , esta base sería más "natural" que la base e. Pero matemáticamente, el número 10 no es particularmente significativo. Su uso culturalmente como base para muchas sociedades de numeración sistemas-probablemente surge de los seres humanos número típico de los dedos. Y otras culturas han basado sus sistemas de conteo en estas elecciones como el 5, 20 y 60.

Entrar _electrónico es un registro "natural" porque brota automáticamente de, y aparece tan a menudo, en las matemáticas. Por ejemplo, considere el problema de la diferenciación de una función logarítmica:

$\ Frac {d} {dx} \ log_b (x) = \ frac {\ log_b (e)} {x} = \ frac {1} {\ ln (b) x}$

Si el base b es igual a E, entonces la derivada es simplemente 1 / x, y en x = 1 este derivado es igual a 1. Otro sentido en el que el logaritmo e basal es la más natural es que puede ser definido con bastante facilidad en términos de un sencillo integral o serie de Taylor y esto no es cierto de otros logaritmos.

Otros sentidos de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como un ejemplo, hay un número de serie simple que implica el logaritmo natural. De hecho, Pietro Mengoli y Nicholas Mercator llamó Logarithmus naturalis unas décadas antes de Newton y Leibniz desarrollaron cálculo.

Definiciones

Ln (x) se define como el área bajo la curva f (x) = 1 / x.

Formalmente, ln (a) puede ser definida como el área bajo la gráfica de 1 / x de 1 a a, es decir, como la integral ,

$\ Ln (a) = \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \, dx.$

Esto define un logaritmo porque satisface la propiedad fundamental de un logaritmo:

$\ Ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b) \, \!$

Esto se puede demostrar por dejar $t = \ tfrac xa$ como sigue:

$\ Ln (ab) = \ int_1 ^ {ab} \ frac {1} {x} \; dx = \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \; dx \; + \ Int_a ^ {ab} \ frac {1} {x} \; dx = \ int_1 ^ {a} \ frac {1} {x} \; dx \; + \ Int_1 ^ {b} \ frac {1} {t} \; dt = \ ln (a) + \ ln (b)$

El número e puede entonces ser definida como el único número real a tal que ln (a) = 1.

Alternativamente, si la función exponencial ha sido definido primero utilizando un serie infinita, el logaritmo natural se puede definir como su función inversa , es decir, ln (x) es que la función de tal manera que $e ^ {\ ln (x)} = x \!$ . Puesto que el rango de la función exponencial en argumentos reales es todos los números reales positivos y ya que la función exponencial es estrictamente creciente, esto está bien definido para todo x positivo.

Derivada, serie de Taylor

El derivado del logaritmo natural está dada por

$\ Frac {d} {dx} \ ln (x) = \ frac {1} {x}. \,$

Los polinomios de Taylor de $\ Log_e$ (1 + x) sólo proporcionan aproximaciones precisas en el rango -1 <x ≤ 1. Tenga en cuenta que, para x> 1, los polinomios de Taylor de grado superior son peores aproximaciones.

Esto conduce a la serie de Taylor para $\ Ln (1 + x)$ alrededor $0$ ; también conocido como el Serie de Mercator

$\ Ln (1 + x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} x ^ n = x - \ frac {x ^ 2} {2 } + \ frac {x ^ 3} {3} - \ cdots \ quad {\ rm para} \ quad \ left | x \ right | \ leq 1 \ quad$

${\ Rm menos} \ quad x = -1$

A la derecha hay una imagen de $\ Ln$ $(1 + x)$ y algunos de sus polinomios de Taylor en torno a $0$ . Estas aproximaciones convergen a la función sólo en la región de -1 <x ≤ 1; fuera de esta región los de grado superior polinomios de Taylor son peores aproximaciones para la función.

Sustituyendo x -1 para x, se obtiene una forma alternativa para ln (x) en sí, a saber,

$\ Ln (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} (x-1) ^ n$

$\ Ln (x) = (x - 1) - \ frac {(x-1) ^ 2} {2} + \ frac {(x-1) ^ 3} {3} - \ frac {(x-1) ^ 4} {4} \ cdots$

${\ Rm para} \ quad \ left | x-1 \ right | \ leq 1 \ quad {\ rm menos} \ quad x = 0.$

Mediante el uso de la Euler transforman en la serie de Mercator, se obtiene lo siguiente, que es válido para cualquier x con valor absoluto superior a 1:

$\ Ln {x \ over {x-1}} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty {1 \ over {nx ^ n}} = {1 \ over x} + {1 \ over {2x ^ 2} } + {1 \ over {3x ^ 3}} + \ cdots$

Esta serie es similar a una Fórmula de tipo BBP.

También tenga en cuenta que $x \ over {x-1}$ es su propia función inversa, por lo que dió el logaritmo natural de un número determinado n, simplemente poner en $n \ over {n-1}$ para x.

El logaritmo natural en la integración

El logaritmo natural permite sencilla la integración de funciones de la forma g (x) = f '(x) / f (x): un primitiva de g (x) viene dada por ln (| f (x) |). Este es el caso debido a la regla de la cadena y el siguiente hecho:

$\ {D \ over dx} \ left (\ ln \ left | x \ right | \ right) = {1 \ over x}.$

En otras palabras,

$\ Int {1 \ over x} dx = \ ln | x | + C$

$\ Int {\ frac {f '(x)} {f (x)} \, dx} = \ ln | f (x) | + C.$

He aquí un ejemplo en el caso de g (x) = tan (x):

$\ Int \ tan (x) \, dx = \ int {\ sin (x) \ over \ cos (x)} \, dx$

$\ Int \ tan (x) \, dx = \ int {- {d \ over dx} \ cos (x) \ over {\ cos (x)}} \, dx.$

Dejar que f (x) = cos (x) y f '(x) = - sen (x):

$\ Int \ tan (x) \, dx = - \ ln {\ left | \ cos (x) \ right |} + C$

$\ Int \ tan (x) \, dx = \ ln {\ left | \ sec (x) \ right |} + C$

donde C es una constante arbitraria de integración.

El logaritmo natural se puede integrar usando integración por partes:

$\ Int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) - x + C.$

Valor numérico

Para calcular el valor numérico del logaritmo natural de un número, la expansión en serie de Taylor se puede reescribir como:

$\ ln (1 + x) = x \, \ left (\ frac {1} {1} - x \, \ left (\ frac {1} {2} - x \, \ left (\ frac {1} { 3} - x \, \ left (\ frac {1} {4} - x \, \ left (\ frac {1} {5} - \ ldots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right) \ quad {\ rm para} \ quad \ left | x \ right | <1 \, \.!$

Para obtener una mejor tasa de convergencia, la siguiente identidad se puede utilizar.

$\ Ln (x) = \ ln \ left (\ frac {1 + y} {1-y} \ right)$	$= 2 \, y \, \ left (\ frac {1} {1} + \ frac {1} {3} y ^ {2} + \ frac {1} {5} y ^ {4} + \ frac { 1} {7} y ^ {6} + \ frac {1} {9} y ^ {8} + \ ldots \ right)$
	$= 2 \, y \, \ left (\ frac {1} {1} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {3} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {5} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {7} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {9} + \ ldots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right)$

a condición de que y = (x -1) / (x 1) y x> 0.

Para ln (x), donde x> 1, más cerca del valor de x es 1, más rápida será la velocidad de convergencia. Las identidades asociadas con el logaritmo se pueden aprovechar para explotar esta:

$\ Ln (123.456) \!$	$= \ Ln (1,23456 \ times 10 ^ 2) \, \!$
	$= \ Ln (1.23456) + \ ln (10 ^ 2) \, \!$
	$= \ Ln (1.23456) + 2 \ times \ ln (10) \, \!$
	$\ aprox \ ln (1.23456) + 2 \ veces 2.3025851 \, \!$

Se utilizaron Dichas técnicas antes de las calculadoras, al referirse a las tablas numéricas y realizar manipulaciones como las anteriores.

Alta precisión

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, el enfoque de Taylor no es eficiente ya que la convergencia es lenta. Una alternativa es utilizar el método de Newton para invertir la función exponencial, cuya serie converge más rápidamente.

Una alternativa para el cálculo de precisión extremadamente alta es la fórmula

$\ Ln x \ aprox \ frac {\ pi} {2 M (1,4 / s)} - m \ ln 2$

donde M indica la -aritmética y la media geométrica

$s = x \, 2 ^ m> 2 ^ {p / 2},$

con m elige de manera que los bits se alcanza p de precisión. De hecho, si se utiliza este método, Newton inversión del logaritmo natural puede por el contrario ser usado para calcular la función exponencial de manera eficiente. (Las constantes ln 2 y π pueden ser pre-computado a la precisión deseada utilizando cualquiera de varias series convergentes rápidamente conocido.)

Complejidad computacional

La complejidad computacional de calcular el logaritmo natural (usando la media aritmética geométrica) es O (M (n) ln n). Aquí n es el número de dígitos de precisión en el que el logaritmo natural se va a evaluar y M (n) es la complejidad computacional de la multiplicación de dos números de n -dígitos.

Logaritmos complejos

La función exponencial se puede extender a una función que da un número complejo como e ^x para cualquier número complejo arbitrario x; sólo tiene que utilizar la serie infinita con x compleja. Esta función exponencial puede ser invertida para formar un logaritmo complejo que exhibe la mayor parte de las propiedades del logaritmo ordinario. Hay dos dificultades que implica: no tiene x e ^x = 0; y resulta que e ^{2 πi} = 1 = e ^0. Desde la propiedad multiplicativa todavía trabaja para la función exponencial compleja, e ^z = e ^{z 2 nπi,} para todo z complejo y enteros n.

Así que el logaritmo no se puede definir para todo el plano complejo , y aún así tiene varios valores - cualquier logaritmo complejo se puede cambiar en un logaritmo "equivalente" al añadir cualquier múltiplo entero de 2 πi a voluntad. El logaritmo complejo sólo puede ser de un solo valor en el plano de corte . Por ejemplo, ln i = 1/2 o 5/2 πi πi o -3/2 πi, etc .; y aunque i ⁴ = 1, 4 log i se puede definir como 2 πi, o 10 πi o -6 πi, y así sucesivamente.

Los gráficos de la función logaritmo natural en el plano complejo (rama principal)
z = Re (ln (x + iy))
z = | Im (ln (x + iy)) |
z = | ln (x + iy) |
Superposición de los 3 gráficos anteriores

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