Superficie de Riemann

Superficie de Riemann para la función f (z) = sqrt (z)

En matemáticas , en particular en análisis complejo, una superficie de Riemann, estudiado por primera vez por y lleva el nombre de Bernhard Riemann , es un unidimensional colector de complejo. Superficies de Riemann se pueden considerar como "versiones deformadas" del plano complejo : local cerca de todos los puntos que parecen parches del plano complejo, pero el mundial topología pueden ser muy diferentes. Por ejemplo, pueden verse como una esfera o un toro o un par de hojas pegadas entre sí.

El punto principal de las superficies de Riemann es que funciones holomorfas se pueden definir entre ellos. Superficies de Riemann se consideran hoy en día el entorno natural para el estudio del comportamiento global de estas funciones, especialmente multivaluadas funciones tales como la raíz cuadrada y otra funciones algebraicas, o el logaritmo .

Cada superficie de Riemann es una analítica real de dos dimensiones colector (es decir, una de superficie), pero contiene más estructura (específicamente una estructura compleja) que es necesaria para la definición inequívoca de funciones holomorfas. Un colector de bienes de dos dimensiones se puede convertir en una superficie de Riemann (por lo general en varias formas no equivalentes) si y sólo si es orientable. Así la esfera y el toro admiten estructuras complejas, pero el Cinta de Moebius, botella de Klein y plano proyectivo no lo hacen.

Hechos geométricos sobre superficies de Riemann son tan "agradable" como sea posible, y que con frecuencia son la intuición y la motivación de las generalizaciones a otras curvas, colectores o variedades. La Riemann-Roch teorema es un buen ejemplo de esta influencia.

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes de una superficie de Riemann.

1. Una superficie de Riemann X es una complejo colector de complejo dimensión uno. Esto significa que X es una Buen comportamiento espacio dotado de una llamada atlas: por cada punto x ∈ X existe una medio ambiente, que se ve como el plano complejo . El mapa que lleva la estructura del plano complejo a la superficie de Riemann se llama gráfico. Dos cartas que se superponen se requieren para ser compatible en cierto sentido.
2. Una superficie de Riemann es una Variedad de Riemann de (real) de dos dimensiones - de ahí el nombre de Riemann superficie junto con una estructura conformal. Una vez más, el múltiple significa que a nivel local en cualquier punto x de X, se supone que el espacio para ser como el avión real. El suplemento "Riemann" significa que X está dotado de una llamada G métrica de Riemann, que permite medir ángulos en el colector. Dos de estos indicadores se consideran equivalente si los ángulos se miden son los mismos. La elección de una métrica, y por lo tanto una clase de equivalencia de metrices en X es el dato adicional de la estructura conforme.

Una estructura compleja da lugar a una estructura conformada por la elección de la norma Métrica euclidiana dada en el plano complejo y su transporte a X por medio de los gráficos.

Ejemplos

La esfera de Riemann.

• El plano complejo C es quizás la superficie más básico Riemann. La función f (z) = z (el mapa de identidad) define un gráfico para C, y {f} es un atlas para C. El mapa g (z) = z ^* (la mapa conjugado) también define una tabla en C y {g} es un atlas para C. La cartas fyg no son compatibles, por lo que este dota C con dos estructuras de superficie distintos de Riemann. De hecho, dada una superficie de Riemann X y su atlas A, el atlas conjugado B = {f ^*: f ∈ A} nunca es compatible con A, y dota a X con una estructura de Riemann incompatible distinta.

• En una forma análoga, cada subconjunto abierto del plano complejo se puede ver como una superficie de Riemann de una manera natural. De manera más general, cada subconjunto abierto de una superficie de Riemann es una superficie de Riemann.

• Sea S = C ∪ {∞} y dejar que f (z) = z, donde z está en S \ {∞} y G (z) = 1 / z, donde z está en S \ {0} y 1 / ∞ se define 0. son diagramas Entonces F y G, son compatibles, y {f, g} es un atlas de S, por lo que S en una superficie de Riemann. Esta superficie en particular se llama la Riemann esfera, ya que puede ser interpretado como envolviendo el plano complejo alrededor de la esfera. A diferencia del plano complejo, es compacto .

Un toro.

• La teoría de las superficies de Riemann compactas puede demostrarse que es equivalente a la de proyectiva curvas algebraicas que se definen en los números complejos y no singular. Por ejemplo, el toro C / (Z + τ Z), donde τ es un número no real complejo, corresponde, a través de la Función elíptica Weierstrass asociado a la Z celosía + τ Z, a una curva elíptica dada por una ecuación

y ² = x ³ + ax + b.

Tori son las únicas superficies de Riemann de género uno, superficies de mayor géneros g son proporcionados por el superficies hiperelípticas

y ² = P (x),

donde P es un complejo polinomio de grado 2 g 1.

• Ejemplos importantes de superficies no compactas de Riemann son proporcionados por continuación analítica.

Otras definiciones y propiedades

Como con cualquier mapa entre variedades complejas, una función f: M → N entre dos superficies de Riemann M y N se llama holomorfa si para cada tabla g en el atlas de M y cada carta h en el atlas de N, el mapa F o f o g ^-1 es holomorfa (como una función de C a C) donde se define. La composición de dos mapas holomorfas es holomorfa. Las dos superficies de Riemann M y N se llaman biholomorphic (o conformemente equivalente a enfatizar el punto de vista conformacional) si existe una función holomorfa biyectiva de M a N cuya inversa también es holomorfa (resulta que esta última condición es automático y por lo tanto se puede omitir). Dos superficies conformemente equivalentes de Riemann son para todos los propósitos prácticos idénticos.

Orientabilidad

Hemos tomado nota de la exposición de motivos que aflora todo Riemann, como todas las variedades complejas, son orientable como un colector real. La razón es que para los gráficos complejo f y g con función de transición h = f ^(-1 g (z)) podemos considerar h como un mapa de un conjunto abierto de R ² R ² cuya Jacobiano en un punto z es sólo el mapa lineal real dado por la multiplicación por el número complejo h '(z). Sin embargo, el verdadero determinante de la multiplicación por un número complejo es igual a α | α | ^2, por lo que el Jacobiano de H tiene determinante positivo. En consecuencia, el complejo atlas es un atlas orientadas.

Funciones

Cada superficie no compacta Riemann admite funciones holomorfas no constantes (con valores en C). De hecho, cada superficie no compacta Riemann es un Variedad de Stein.

Por el contrario, en una compacta superficie de Riemann X cada función holomorfa con valor de C es constante debido a la principio del máximo. Sin embargo, siempre existe no constante funciones meromorfas (= funciones holomorfas con valores en el {∞}) Esfera de Riemann C ∪. Más precisamente, la campo de función de X es un finito extensión de C (t), el campo de función en una variable, es decir, cualquier dos funciones meromorfas son algebraicamente dependiente. Esta declaración se generaliza a dimensiones superiores, ver Siegel (1955).

Analítica vs. algebraica

El hecho anterior acerca de la existencia de las funciones meromorfas no constantes se puede utilizar para demostrar que cualquier superficie compacta Riemann es una variedad proyectiva, es decir, puede ser dado por polinómicas ecuaciones dentro de una espacio proyectivo. En realidad, se puede demostrar que cada superficie compacta Riemann puede ser encajada en el plano proyectivo complejo. Este es un teorema sorprendente: las superficies de Riemann son dadas por tablas localmente parcheo. Si se añade una condición global, a saber, compacidad,, la superficie es necesariamente algebraica. Esta característica de las superficies de Riemann permite estudiarlos, ya sea con los medios de analítica o geometría algebraica. La declaración correspondiente para objetos de dimensiones superiores es falsa, es decir, no son complejas 2-pliegues compactos que no son algebraica. Por otro lado, cada colector de complejo proyectiva es necesariamente algebraica, ver El teorema de Chow.

Como ejemplo, consideremos el toroide T: = C / (Z + τ Z). La función de Weierstrass perteneciente a la red Z + τ Z es una función meromórfica en T. Esta función y su derivada generar el campo de la función de T. Hay una ecuación

donde los ₂ g y g ₃ coeficientes dependen de τ, dando así una _τ curva elíptica E en el sentido de la geometría algebraica. Revertir esta se lleva a cabo por el j j-invariante (E), que se puede utilizar para determinar τ y por lo tanto un toro.

Clasificación de las superficies de Riemann

El reino de las superficies de Riemann se puede dividir en tres regímenes: las superficies de Riemann hiperbólica, parabólica y elípticas. Esta distinción está dada por la uniformización teorema que establece que todos los superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a uno de los siguientes:

• el plano complejo C
• la Esfera de Riemann C ∪ {∞}, también denota P ¹ C

o

• la disco abierto D: = {z ∈ C: | z | <1} o equivalentemente la superior semiplano H: = {z ∈ C: Im (z)> 0}.

De acuerdo con la equivalencia de las dos definiciones dadas anteriormente, el teorema de uniformización también puede expresarse en términos de geometría conforme: toda superficie de Riemann conectado X admite una única bienes de 2 dimensiones completa Métrica de Riemann con constante curvatura -1, 0 o 1 inducir la misma estructura conformal. La superficie X se llama hiperbólica, parabólica, elíptica y, respectivamente. La existencia de estos tres tipos paralela a la varios (No) geometrías euclidianas.

La técnica general de asociar un colector X su Y una cobertura universal, y expresando el X original como el cociente de Y por el grupo de transformaciones de la cubierta ofrece una primera visión general de las superficies de Riemann.

Superficies elípticas Riemann

Por definición, estas son las superficies X con curvatura constante 1. La {∞} Esfera de Riemann C ∪ es el único ejemplo. ( Las curvas elípticas son ejemplos de superficies parabólicas Riemann La denominación proviene de la historia:. curvas elípticas están asociados a funciones elípticas, que a su vez aparecen en el cálculo de la circunferencia de elipses ).

Superficies parabólicas Riemann

Por definición, estas son las superficies X con curvatura constante 0. De manera equivalente, por el teorema de uniformización, la cubierta universal de X tiene que ser el plano complejo.

Hay, pues, tres posibilidades de X. Puede ser el avión en sí, una anillo, o un torus

T: = C / (Z ⊕ τ Z).

El conjunto de los representantes de las clases laterales se llaman dominios fundamentales. Se debe tener cuidado en la medida en dos toros son siempre homeomorfa , pero en general no biholomorphic el uno al otro. Esta es la primera aparición del problema de los módulos. El módulo de un toro puede ser capturado por una sola τ número complejo con parte imaginaria positiva. De hecho, el espacio de módulos marcada ( Teichmüller espacio) del toro es biholomorphic al semiplano superior o equivalentemente el disco unidad abierto.

Superficies de Riemann hiperbólica

El Riemann superficies con curvatura -1 se llaman hiperbólica. Este grupo es el "mayor" uno.

El celebrado Riemann Teorema establece que cualquier subconjunto estricto simplemente conexo del plano complejo es biholomorphic a la unidad de disco. Por lo tanto el disco abierto con la Poincaré-métrica de curvatura constante -1 es el modelo local de cualquier superficie de Riemann hiperbólica. Según el teorema de uniformización anteriormente, todas las superficies hiperbólicas son cocientes de la unidad de disco.

Los ejemplos incluyen todas las superficies con género g> 1 como curvas de hiper-elíptica.

Por cada superficie de Riemann hiperbólica, el grupo fundamental es isomorfo a un Fuchsian grupo, y por lo tanto la superficie se pueden modelar por un Fuchsian modelo H / Γ donde H es la semiplano superior y Γ es el grupo Fuchsian. El conjunto de los representantes de las clases laterales de H / Γ son conjuntos regulares libres y se puede formar en métrica polígonos fundamentales. Estructuras Quotient como H / Γ se generalizan a Variedades Shimura.

A diferencia de las superficies elípticas y parabólicas, hay una clasificación de las superficies hiperbólicas es posible. Cualquier subconjunto estricto abierto conectado del plano da una superficie hiperbólica; considerar el plano menos una Conjunto de Cantor. Una clasificación es posible que las superficies de tipo finito: los que tienen grupo fundamental finito. Cualquiera de ellos tiene un número finito de módulos y así un espacio finito Teichmüller dimensional. La problema de los módulos (resuelto por Lars Ahlfors y ampliado por Lipman Bers) fue justificar la afirmación de Riemann que para una superficie cerrada de género g, 3 g - 3 parámetros complejos bastan.

Cuando una superficie hiperbólica es compacto, entonces el área total de la superficie es 4π (g -1), donde g es la género de la superficie; la zona se obtiene mediante la aplicación de la Gauss-Bonnet teorema a la zona del polígono fundamental.

En el arte y la literatura

• Uno de Obras de MC Escher, Print Gallery, se presenta en una cuadrícula de forma cíclica cada vez que ha sido descrito como una superficie de Riemann.
• En La novela de Aldous Huxley Un mundo feliz ", Riemann Tenis Surface" es un juego popular.