משפט הערך הממוצע של קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הינו הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז'. זהו משפט טכני יותר, ולא קל לתת לו אינטואיציה גאומטרית. יש לו מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהיינה $\ f$ ו- $\ g$ פונקציות רציפות בקטע $\left[a,b\right]$ וגזירות בקטע $\left(a,b\right)$ . כמו כן, נניח שהנגזרת של $\ g$ אינה מתאפסת בקטע הפתוח (ולכן לפי משפט רול $\ g(b)\ne g(a)$ ). אזי קיימת נקודה $c\isin (a,b)$ כך שמתקיים $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

[עריכה] הוכחה

ראשית נשים לב כי אם $\ g(b)= g(a)$ אז על פי משפט רול קיימת נקודה $\ x\isin(a,b)$ כך ש- $\ g'(x)=0$ , וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח $\ g(b)\ne g(a)$ .

כעת נגדיר פונקציה חדשה: $\ F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\left(g(x)-g(a)\right)$ . פונקציה זו מוגדרת היטב שכן $\ g(b)\ne g(a)$ ולכן המכנה אינו אפס. $\ F(x)$ בנוייה מהפונקציות $\ f,g$ וקבועים על ידי פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק, ולכן כמו $\ f,g$ היא רציפה בקטע $\ [a,b]$ וגזירה בקטע $\ (a,b)$ .

כעת נשים לב כי מתקיים $\ F(a)=F(b)=0$ (ניתן לראות זאת פשוט על ידי הצבה). לכן מתקיימים תנאי משפט רול, וקיימת נקודה $\ c\isin(a,b)$ כך ש- $\ F'(c)=0$ .

נשים לב כעת כי $\ F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)$ ולכן $\ F'(c)=0=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)$ . על פי הנתון, $g'(c)\ne 0$ ולכן ניתן לחלק בו. לאחר העברת אגף וחלוקה נקבל:

$\ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ , כמבוקש.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטיסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל לופיטל \| כלל השרשרת
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה