פונקציה מונוטונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באנליזה מתמטית, פונקציה מונוטונית היא פונקציה שמשמרת את הסדר שבין שתי קבוצות שקיים עליהן סדר חלקי. בצורה אינטואיטיבית, הכוונה היא שעבור שני ערכים שהיא מקבלת, אם הראשון גדול מהשני, גם התוצאה של הפעלתה על הראשון תהיה גדולה מהתוצאה של הפעלתה על השני. ניתן גם לדרוש את ההפך: אם אחד הערכים גדול מהשני, התוצאה הראשונה תהיה קטנה מהשני, ואז הפונקציה הופכת את הסדר.

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהיו $\ A, B$ קבוצות שמוגדר עליהן סדר חלקי, ותהא $\ f:A\to B$ פונקציה. אז $\ f$ היא:

מונוטונית עולה אם $\ f(x)<f(y)\Leftarrow x<y$
מונוטונית עולה חלש (או עולה במובן הרחב) אם $\ f(x)\le f(y)\Leftarrow x<y$
מונוטונית יורדת אם $\ f(x)> f(y)\Leftarrow x<y$
מונוטונית יורדת חלש אם $\ f(x)\ge f(y)\Leftarrow x<y$

לעתים כדי להבדיל מונוטונית ממונוטונית חלש, מכנים את המונוטונית "מונוטונית חזק" או "מונוטונית ממש".

[עריכה] דוגמאות

כל הדוגמאות הבאות יהיו של פונקציות ממשיות:

הפונקציה $\ f(x)=x$ היא מונוטונית עולה.
הפונקציה $\ f(x)=-x$ היא מונוטונית יורדת.
הפונקציה $\ f(x)=c$ , כאשר $\ c$ קבוע, היא גם מונוטונית עולה וגם מונוטונית יורדת במובן החלש.
פונקציית מדרגה $H(x) =\left\{ \begin{matrix} 0 & x<0 \\ 1 & x\ge 0 \end{matrix} \right.$ היא מונוטונית עולה במובן החלש (ולא מונוטונית יורדת במובן החלש). פונקציה מהצורה הזו (שמקבלת ערכים קבועים על קטעים מסוימים) מכונה פונקציית מדרגות.
הפונקציה $\ f(x)=x^2$ בכללותה אינה מונוטונית, אך אם מסתכלים עליה רק בקטע $\ [0,\infty)$ היא מונוטונית עולה בו, ובקטע $\ (-\infty,0]$ היא מונוטונית יורדת.
לפונקציית דיריכלה, שמקבלת 1 על מספרים רציונליים ו-0 על אי רציונליים, אין קטע שהיא מונוטונית בו.
בסעיף 121 לפקודת מס הכנסה מוגדר גובה המס כפונקציה של השכר ברוטו. על הגדרה נאותה של פונציה זו לקיים שני תנאים:
- גובה המס יהיה פונקציה מונוטונית עולה של גובה הברוטו (במילים פשוטות: על הכנסה גבוהה יותר חל מס גבוה יותר)
- גובה השכר נטו (שהוא השכר שנותר מהברוטו לאחר הפחתת המס) יהיה פונקציה מונוטונית עולה של גובה הברוטו (במילים פשוטות: מהכנסה גבוהה יותר נשאר נטו גבוה יותר).

[עריכה] מונוטוניות ורציפות

נקודות אי הרציפות של פונקציה מונוטונית הן כולן "נקודות מסוג ראשון". קבוצות נקודות אי-הרציפות היא בת מניה, הגם שאינה חייבת להיות סופית, אפילו כאשר הפונקציה חסומה, כפי שמראה הדוגמה הפתולוגית הבאה:

אם נסדר את המספרים הרציונליים בסדרה $\ a_1,a_2,\dots$ ונגדיר $\ f(x)=\sum_{a_n<x}\frac{1}{2^n}$ , אז הפונקציה $\,f$ עולה וחסומה, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית.

מתכונות אלה של נקודות אי-הרציפות נובע שכל פונקציה מונוטונית המוגדרת בקטע סגור, היא אינטגרבילית.

לפונקציה מונוטונית במובן החזק, ורציפה, יש פונקציה הפכית שגם היא מונוטונית ורציפה.

את המונוטוניות אפשר לאבחן באמצעות הנגזרת, במקומות שבהם הפונקציה גזירה: אם פונקציה גזירה מונוטונית עולה בקטע מסוים נגזרתה אי-שלילית. אם היא מונוטונית יורדת, נגזרתה אינה חיובית. במסגרת מחקריו בתורת המידה, הוכיח אנרי לבג שפונקציה מונוטונית היא גזירה כמעט בכל מקום.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטיסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל לופיטל \| כלל השרשרת
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה