נקודת אי רציפות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באנליזה מתמטית, נקודת אי רציפות של פונקציה היא נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה, כלומר היא אינה מוגדרת בנקודה זו, או שהיא מוגדרת אך ערכי הפונקציה בסביבתה של הנקודה לא מתקרבים אל ערכה בנקודה עצמה. נהוג לחלק את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים, על פי גבול הפונקציה בנקודת אי הרציפות.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא $\ f$ פונקציה ותהא $\ a$ נקודה. נאמר כי $\ a$ היא נקודת אי רציפות של $\ f$ אם $\ \lim_{x\to a}f(x)\ne f(a)$ (ייתכן כי $\ f(a)$ כלל לא מוגדר). ניתן לחלק את אי הרציפות לשלושה סוגים:

אי רציפות סליקה: בנקודה $\ a$ קיימת אי רציפות סליקה אם הגבול $\ \lim_{x\to a}f(x)$ קיים. אי רציפות כזו נקראת "סליקה" שכן אפשר "לתקן" את הפונקציה $\ f$ על ידי הגדרת $\ f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$ וכך תתקבל פונקציה שרציפה בנקודה $\ a$ .
אי רציפות מהסוג הראשון ("קפיצה"): בנקודה $\ a$ קיימת אי רציפות מהסוג הראשון אם הגבול $\ \lim_{x\to a}f(x)$ אינו קיים, אך קיימים גבולות חלקיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד וקיימים ושונים זה מזה הגבולות $\ \lim_{x\to a^+}f(x),\lim_{x\to a^-}f(x)$ יש לפונקציה אי רציפות מסוג ראשון.
אי רציפות מהסוג השני: בנקודה מסוימת קיימת אי רציפות מהסוג השני אם זוהי נקודת אי-רציפות שאינה סליקה ואינה מן הסוג הראשון.

[עריכה] דוגמאות

הפונקציה $\ f(x)=\frac {\sin(x)}{x}$ אינה מוגדרת כלל בנקודה $\ x=0$ , אך ידוע כי מתקיים $\ \lim_{x\to 0}f(x)=1$ . על כן ניתן להגדיר $\ f(0)=1$ ותתקבל פונקציה שרציפה גם בנקודה $\ 0$ . לכן $\ x=0$ היא נקודת אי רציפות סליקה של הפונקציה.
פונקציית מדרגה $H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & & x < 0 \\ 1 & & x \ge 0 \end{matrix}\right.$ רציפה בכל הישר פרט ל- $\ x=0$ . בנקודה זו יש לה גבול מימין וגבול משמאל, ולכן זוהי נקודת אי רציפות מן הסוג הראשון.
הפונקציה $\ f(x)=\sin \left( \frac {1}{x} \right)$ היא בעלת אי רציפות מן הסוג שני בנקודה $\ x=0$ (בסביבת נקודה זו הפונקציה מתנודדת בקצב הולך וגדל ככל שמתקרבים ל-0 בין הערכים $\ 1$ ו- $\ -1$ ולכן לא קיים לה גבול, אפילו חלקי, בנקודה זו).

[עריכה] דוגמאות נוספות עם ייצוג גרפי

הפונקציה בדוגמה הראשונה

1. בפונקציה

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 2-x& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.$

הנקודה $\,x_0=1$ היא נקודת אי רציפות סליקה.

הפונקציה בדוגמה השנייה

2. בפונקציה

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.$

הנקודה $\,x_0=1$ היא נקודת אי רציפות מהסוג הראשון.

הפונקציה בדוגמה השלישית

3. בפונקציה

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ for } x< 1 \\ & \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.$

הנקודה $\,x_0=1$ היא נקודת אי רציפות מהסוג השני.

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטיסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל לופיטל \| כלל השרשרת
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה