סדרת פונקציות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

סדרת פונקציות היא סדרה (אינסופית) של פונקציות, בדרך כלל של פונקציות ממשיות.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 סוגי התכנסות
3 ראו עוד

[עריכה] הגדרה פורמלית

באופן פורמלי, סדרה של פונקציות היא פונקציה מהטבעיים אל מרחב פונקציות מסוים, בדרך כלל $\ \mathbb{N} \to ( A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} )$ או מרחב אחר, המתאימה לכל מספר טבעי פונקציה ממשית, שמסמנים $\ f_n (x)$ .

למעשה, מה שמקבלים היא סדרה אינסופית של פונקציות

$\ \{ f_n \}_{n=1}^{\infty} = f_1 , f_2 , f_3 ...$

לדוגמה: נגדיר את הסדרה הבאה $\ f_n (x) = x^n$ . זוהי למעשה סדרת המונומים $\ 1 , x , x^2 , x^3 , \cdots$ . נעיר שבדרך כלל חשוב לציין מהו תחום ההגדרה של הפונקציות בסדרה, וזאת לצרכי בדיקת התכנסותה.

[עריכה] סוגי התכנסות

בסדרות של פונקציות, בניגוד לסדרות מספריות, יש שני סוגי התכנסות עיקריים: התכנסות נקודתית ו-התכנסות במידה שווה. בנוסף אליהן יש עוד סוגי התכנסויות, שבהן דנים יותר באנליזה פונקציונלית ופחות בחשבון אינפיניטסימלי.

[עריכה] התכנסות נקודתית

אנו אומרים שהסדרה $\ \{ f_n \}_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת נקודתית ב־ $\ x=x_0$ אם הסדרה $\ \{ f_n (x_0) \}_{n=1}^{\infty}$ (שימו לב שמדובר בסדרת מספרים ממשיים) מתכנסת.

אנו אומרים שסדרת מספרים מתכנסת נקודתית בכל תחום הגדרתה אם לכל נקודה x בתחום זה, הסדרה $\ \{ f_n (x) \}_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת. בלשון פורמלית:

$\ \forall \varepsilon > 0 \ : \ \forall x \in A \ : \ \exist N_x > 0 \ : \ \mbox{such that} \ \forall n,m > N_x : | f_n (x) - f_m (x) | < \varepsilon$

(זהו למעשה קריטריון קושי להתכנסות הסדרה $\ \{ f_n (x) \}_{n=1}^{\infty}$ לכל $\ x$ .)

את פונקציית הגבול, נסמן ב־ $\ f$ והיא מוגדרת באופן הבא -

$\ \forall x \in A \ : \ f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n (x)$

[עריכה] התכנסות במידה שווה

ערך מורחב – התכנסות במידה שווה

זהו סוג חזק יותר של התכנסות סדרת פונקציות. בעוד שבהתכנסות נקודתית כל נקודה יכולה (ליתר דיוק, בכל נקודה סדרת הפונקציות יכולה) להתכנס בקצב משלה, הרי שבהתכנסות במידה שווה, קצב ההתכנסות חייב להיות אחיד לכל הנקודות בתחום ההגדרה. במלים אחרות, לכל אפסילון קיים $\ N>0$ גדול מספיק שעבורו כל הפונקציות בסדרה שהאינדקס שלהן גדול ממנו מרוחקות עד כדי אפסילון מהערכים שבפונקציית הגבול בכל הנקודות בתחום ההגדרה. כלומר: במילים אחרות, החסם העליון של הפרשי הפונקציות שואף לאפס כאשר N שואף לאינסוף.

באופן פורמלי, תהא $\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty$ סדרה של פונקציות ממשיות. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול בקבוצה $\ A$ אם ורק אם לכל $\ \varepsilon>0$ קיים $\ N$ טבעי כך שלכל $\ x\isin A$ ולכל $\ n>N$ מתקיים $\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ .

דרישה שקולה לכך היא ש $\ \sup_{x \in A}| f_n (x) - f(x) | \to 0$ כאשר n שואף לאינסוף.

הערה: התכנסות במידה שווה היא למעשה התכנסות בנורמה כאשר הנורמה כאן היא נורמת סופרמום: $\ \| g \| \equiv \sup_{x \in A}| g(x) |$ . לכן התכנסות זאת נקראת גם "התכנסות בנורמת סופרמום".

[עריכה] התכנסות בממוצע

זהו סוג התכנסות חלש יותר מהשניים הקודמים. זוהי למעשה התכנסות תחת סימן האינטגרל ולכן היא מחליקה פונקציות ואף מתעלמת מסינגולריות שמידתן היא אפס.

נאמר שסדרת פונקציות $\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת ל־ $\ f$ בממוצע אם:

$\ \int_{A}{ | f_n (x) - f(x) | dx } \to 0$ כאשר n שואף לאינסוף.

בצורה יותר ריגורוזית, מגדירים את האינטגרל כאן באמצעות אינטגרל לבג המבוסס על תורת המידה.

לעיתים קרובות, משתמשים בהגדרה החלופית הבאה: נאמר שסדרת פונקציות $\ \{f_{n}\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת ל- $\,f$ בממוצע אם

$\ \int_{A}{ | f_n (x) - f(x) |^2 dx } \to 0$ כאשר n שואף לאינסוף.

הסיבה לכך היא שזו בעצם נורמה (מתמטיקה) במרחב $\ L_2$ שהוא מרחב הילברט המופיע הרבה באנליזה פונקציונלית.

[עריכה] התכנסות חלשה

יהי $\ F$ מרחב הפונקציות שלנו עם נורמה כלשהי, ונניח שהוא מרחב בנך. תהי $\ \{ f_n \}_{n=1}^{\infty} \subset F$ סדרת פונקציות. נאמר ש $\ f_n \to^{w} f$ מתכנס באופן חלש אם לכל פונקציונל רציף וחסום מעל $\ F$ , כלומר: לכל $\ \phi \in F^{*}$ , מתקיים ש $\ \phi (f_n) \to \phi (f)$ כאשר $\ n$ שואף לאינסוף. זוהי למעשה התכנסות בטופולוגיה חלשה.

[עריכה] ראו עוד

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטיסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל לופיטל \| כלל השרשרת
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה